Jump to content

Риманова поверхность

(Перенаправлено с Конформно инвариантно )
Риманова поверхность для многозначной комплексной функции f ( z ) = log( z ) в окрестности начала координат. Координаты ( x , y ) — это координаты z в комплексной плоскости; координата z представляет мнимую часть f ( z ), действительная часть которой представлена ​​цветами.

В математике , особенно в комплексном анализе , риманова поверхность представляет собой связное одномерное комплексное многообразие . и названы в его честь Эти поверхности были впервые изучены Бернхардом Риманом . Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексной плоскости : локально вблизи каждой точки они выглядят как участки комплексной плоскости, но глобальная топология может быть совершенно иной. Например, они могут иметь вид сферы , тора или нескольких склеенных между собой листов.

Примеры римановых поверхностей включают графики многозначных функций, таких как √z или log(z) , например, подмножество пар ( z,w ) ∈ C 2 с w = log(z) .

Каждая риманова поверхность является поверхностью : двумерным вещественным многообразием , но она содержит больше структуры (в частности, комплексную структуру ). И наоборот, двумерное вещественное многообразие можно превратить в риманову поверхность (обычно несколькими неэквивалентными способами) тогда и только тогда, когда оно ориентируемо и метризуемо . Учитывая это, сфера и тор допускают сложные структуры, а лента Мёбиуса , бутылка Клейна и реальная проективная плоскость — нет. Каждая компактная риманова поверхность является комплексной алгебраической кривой по теореме Чоу и теореме Римана-Роха .

Определения

[ редактировать ]

Существует несколько эквивалентных определений римановой поверхности.

  1. Риманова поверхность X связное комплексное многообразие комплексной размерности один. Это означает, что X — связное хаусдорфово пространство наделенное атласом карт открытого , единичного круга комплексной плоскости : для каждой точки x X существует окрестность точки x открытому , гомеоморфная единичному диску комплекса. плоскости, а карты перехода между двумя перекрывающимися диаграммами должны быть голоморфными . [1]
  2. Риманова поверхность — это ориентированное многообразие (вещественной) размерности два — двусторонняя поверхность — вместе с конформной структурой . Опять же, многообразие означает, что локально в любой точке x пространства X гомеоморфно подмножеству вещественной плоскости. Дополнение «Риман» означает, что X наделено дополнительной структурой, позволяющей измерять углы на многообразии, а именно классом эквивалентности так называемых римановых метрик . Две такие метрики считаются эквивалентными , если измеряемые ими углы одинаковы. Выбор класса эквивалентности метрик на X является дополнительным данным конформной структуры.

Сложная структура порождает конформную структуру путем выбора стандартной евклидовой метрики, заданной на комплексной плоскости, и переноса ее в X с помощью диаграмм. Показать, что конформная структура определяет сложную структуру, сложнее. [2]

  • Комплексная плоскость C является основной римановой поверхностью.
  • Каждое открытое подмножество комплексной плоскости U C является римановой поверхностью. В более общем смысле, каждое непустое открытое подмножество римановой поверхности является римановой поверхностью.
    Сфера Римана и стереографическая проекция.
  • сфера 2- S 2 имеет уникальную структуру римановой поверхности, называемую сферой Римана . У него есть два открытых подмножества, которые мы отождествляем с комплексной плоскостью, стереографически проецируя ее с северного или южного полюса.

    На пересечении этих двух открытых множеств составление одного вложения с обратным другому дает

    Это отображение перехода голоморфно, поэтому эти два вложения определяют структуру римановой поверхности на S 2 . В качестве множеств S 2 = С ∪ {∞}. Сфера Римана имеет другое описание: проективная линия CP. 1 = ( С 2 - {0})/ С × .

    Тор
  • 2 -трубный Т 2 имеет множество различных структур римановой поверхности, все из которых имеют вид C /( Z + τ   Z ), где τ — любое комплексное недействительное число. Их называют эллиптическими кривыми .
  • Важные примеры некомпактных римановых поверхностей дает аналитическое продолжение .

Алгебраические кривые

[ редактировать ]
  • Если P ( x,y ) — любой комплексный многочлен от двух переменных, его точка исчезновения
    {( x,y ) : P ( x,y ) = 0} ⊆ C 2
    определяет риманову поверхность при условии, что на этом локусе нет точек с ∂P/∂x, ∂P/∂y = 0 (или мы ограничиваемся открытым подмножеством, не содержащим таких точек). Это пример алгебраической кривой .
  • Каждая эллиптическая кривая является алгебраической кривой, заданной (компактификацией) локуса
    и 2 = х 3 + топор + б
    для некоторых комплексных чисел a и b, зависящих от τ . Точка z C /( Z + τ   Z ) отправляется в ( x,y ) = (℘( z ),℘'( z )), где ℘ — эллиптическая функция Вейерштрасса .
  • Точно так же поверхности рода g имеют структуры римановой поверхности как (компактификации) гиперэллиптических поверхностей.
    и 2 = Q ( х ),
    где Q — комплексный многочлен степени 2 g + 1, такой, что указанное выше не имеет особых точек. Когда g > 1, существуют другие структуры римановой поверхности рода g .

Дальнейшие определения и свойства

[ редактировать ]

Как и любое отображение между комплексными многообразиями, f : M N между двумя римановыми поверхностями M и N называется голоморфной , если для каждой карты g в атласе M функция и каждой карты h в атласе N отображение h f г −1 голоморфен (как функция от C до C ), где бы он ни был определен. Композиция двух голоморфных отображений голоморфна. Две римановы поверхности M и N называются биголоморфными (или конформно эквивалентными , чтобы подчеркнуть конформную точку зрения), если существует биективная голоморфная функция из M в N, обратная которой также голоморфна (оказывается, что последнее условие является автоматическим и может поэтому опустим). Две конформно эквивалентные римановы поверхности практически идентичны.

Ориентируемость

[ редактировать ]

Каждая риманова поверхность, будучи комплексным многообразием, ориентируема как вещественное многообразие. Для сложных карт f и g с функцией перехода h = f ( g −1 ( z )), h можно рассматривать как отображение открытого множества R 2 в Р 2 чей якобиан в точке z представляет собой просто вещественное линейное отображение, заданное умножением на комплексное число h '( z ). Однако вещественный определитель умножения на комплексное число α равен | α | 2 , поэтому якобиан h имеет положительный определитель. Следовательно, сложный атлас является ориентированным атласом.

Каждая некомпактная риманова поверхность допускает непостоянные голоморфные функции (со значениями в C ). Фактически, каждая некомпактная риманова поверхность является многообразием Штейна .

Напротив, на компактной римановой поверхности X каждая голоморфная функция со значениями в C постоянна в силу принципа максимума . Однако всегда существуют непостоянные мероморфные функции (голоморфные функции со значениями в сфере Римана C ∪ {∞}). Точнее, функциональное поле X ), функционального поля с одной является конечным расширением C переменной, т.е. любые две мероморфные ( t функции алгебраически зависимы. Это утверждение распространяется на более высокие измерения, см. Siegel (1955) . Мероморфные функции могут быть заданы довольно явно в терминах тэта-функций Римана и Абеля – Якоби отображения поверхности .

Алгебраичность

[ редактировать ]

Все компактные римановы поверхности являются алгебраическими кривыми, поскольку их можно вложить в некоторые . Это следует из теоремы вложения Кодайры и того факта, что на любой комплексной кривой существует положительное линейное расслоение. [3]

Аналитический против алгебраического

[ редактировать ]

Существование непостоянных мероморфных функций можно использовать, чтобы показать, что любая компактная риманова поверхность является проективным многообразием , т. е. может быть задана полиномиальными уравнениями внутри проективного пространства . Фактически можно показать, что любую компактную риманову поверхность можно вложить в комплексное проективное 3-пространство . Это удивительная теорема: римановы поверхности задаются картами локальных исправлений. Если добавить одно глобальное условие, а именно компактность, поверхность обязательно будет алгебраической. Эта особенность римановых поверхностей позволяет изучать их средствами аналитической или алгебраической геометрии . Соответствующее утверждение для объектов более высокой размерности неверно, т. е. существуют компактные комплексные 2-многообразия, которые не являются алгебраическими. С другой стороны, каждое проективное комплексное многообразие обязательно алгебраично, см. теорему Чоу .

В качестве примера рассмотрим тор T := C /( Z + τ Z ). Вейерштрасса Функция принадлежащая решетке Z + τ Z, является мероморфной функцией на T . Эта функция и ее производная сгенерируйте функциональное поле T . Существует уравнение

где коэффициенты g 2 и g 3 зависят от τ, что дает эллиптическую кривую E τ в смысле алгебраической геометрии. Обращение этого достигается с помощью j-инварианта j ( E ), который можно использовать для определения τ и, следовательно, тора.

Классификация римановых поверхностей

[ редактировать ]

Совокупность всех римановых поверхностей можно разделить на три подмножества: гиперболические, параболические и эллиптические римановы поверхности. Геометрически они соответствуют поверхностям с отрицательной, исчезающей или положительной постоянной кривизной сечения . То есть каждая связная риманова поверхность допускает единственную полную двумерную действительную метрику Римана с постоянной кривизной, равной или которая принадлежит конформному классу римановых метрик, определяемому ее структурой как римановой поверхности. Это можно рассматривать как следствие существования изотермических координат .

Пуанкаре – Кебе В комплексных аналитических терминах теорема униформизации (обобщение теоремы об отображении Римана ) утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одному из следующих:

  • Сфера Римана , который изоморфен  ;
  • Сложный самолет ;
  • диск Открытый который изоморфен верхней полуплоскости .

Риманова поверхность бывает эллиптической, параболической или гиперболической в ​​зависимости от того, ли ее универсальное накрытие изоморфно , или . Элементы каждого класса допускают более точное описание.

Эллиптические римановы поверхности

[ редактировать ]

Сфера Римана является единственным примером, поскольку не существует группы, действующей на нее биголоморфными преобразованиями свободно и правильно разрывно , и поэтому любая риманова поверхность, универсальное накрытие которой изоморфно само должно быть изоморфно ему.

Параболические римановы поверхности

[ редактировать ]

Если — риманова поверхность, универсальное накрытие которой изоморфно комплексной плоскости то она изоморфна одной из следующих поверхностей:

  • сам;
  • Частное ;
  • Частное где с .

Топологически их всего три типа: плоскость, цилиндр и тор . Но хотя в двух первых случаях (параболическая) структура римановой поверхности уникальна, варьируя параметр в третьем случае дает неизоморфные римановы поверхности. Описание по параметру дает пространство Тейхмюллера «отмеченных» римановых поверхностей (в дополнение к структуре римановой поверхности добавляются топологические данные «маркировки», которую можно рассматривать как фиксированный гомеоморфизм тора). Чтобы получить аналитическое пространство модулей (забыв об маркировке), факторизуется пространство Тейхмюллера по группе классов отображений . В данном случае это модульная кривая .

Гиперболические римановы поверхности

[ редактировать ]

В остальных случаях — гиперболическая риманова поверхность, изоморфная фактору верхней полуплоскости по фуксовой группе (иногда это называют фуксовой моделью поверхности). Топологический тип может быть любой ориентируемой поверхностью, кроме тора и сферы .

Особый интерес представляет случай, когда компактен. Тогда его топологический тип описывается родом . Его пространство Тейхмюллера и пространство модулей равны -мерный. Можно дать аналогичную классификацию римановых поверхностей конечного типа (то есть гомеоморфных замкнутой поверхности за вычетом конечного числа точек). Однако, вообще говоря, пространство модулей римановых поверхностей бесконечного топологического типа слишком велико, чтобы допустить такое описание.

Карты между римановыми поверхностями

[ редактировать ]

Геометрическая классификация отражена в отображениях между римановыми поверхностями, как подробно описано в теореме Лиувилля и теореме Литтла Пикара : отображения от гиперболического к параболическому и эллиптическому просты, но отображения от эллиптического к параболическому или от параболического к гиперболическому очень ограничены (действительно, обычно постоянны). !). Встречаются включения диска в плоскости в сфере: но любое голоморфное отображение сферы на плоскость постоянно, любое голоморфное отображение плоскости в единичный круг постоянно (теорема Лиувилля), и фактически любое голоморфное отображение плоскости в плоскость минус две точки является постоянным (Литтл Пикард теорема)!

Проколотые сферы

[ редактировать ]

Эти утверждения проясняются при рассмотрении типа сферы Римана. с рядом проколов. Без проколов это эллиптическая сфера Римана. С одним проколом, который можно разместить на бесконечности, это комплексная плоскость, имеющая параболическую форму. При двух проколах это проколотая плоскость или, альтернативно, кольцо или цилиндр, который является параболическим. При трех и более проколах это гипербола – сравните пару штанов . Можно сопоставить один прокол с двумя с помощью экспоненциального отображения (которое является целым и имеет существенную особенность на бесконечности, поэтому не определено на бесконечности и пропускает ноль и бесконечность), но все отображения от нуля проколов до одного или нескольких, или постоянны от одного-двух проколов до трех и более.

Разветвленные покрывающие пространства

[ редактировать ]

Продолжая в том же духе, компактные римановы поверхности могут отображаться в поверхности более низкого рода, но не в более высокий род, за исключением постоянных отображений. Это связано с тем, что голоморфные и мероморфные отображения локально ведут себя как поэтому непостоянные карты являются разветвленными накрывающими картами , а для компактных римановых поверхностей они ограничены формулой Римана-Гурвица в алгебраической топологии , которая связывает эйлерову характеристику пространства и разветвленное накрытие.

Например, гиперболические римановы поверхности являются разветвленными накрывающими пространствами сферы (они имеют непостоянные мероморфные функции), но сфера не покрывает и не отображает иным образом поверхности более высокого рода, за исключением константы.

Изометрии римановых поверхностей

[ редактировать ]

Группа изометрий униформизированной римановой поверхности (эквивалентно группе конформных автоморфизмов ) отражает ее геометрию:

  • род 0 – группа изометрии сферы представляет собой группу Мёбиуса проективных преобразований комплексной прямой,
  • группа изометрий плоскости — это подгруппа , фиксирующая бесконечность, а проколотой плоскости — подгруппа, оставляющая инвариантным множество, содержащее только бесконечность и ноль: либо фиксируя их обе, либо меняя их местами (1/ z ).
  • группа изометрий верхней полуплоскости является вещественной группой Мёбиуса; это сопряжено с группой автоморфизмов диска.
  • род 1 - группа изометрии тора находится в общих переводах (как абелева разновидность ), хотя квадратная решетка и шестиугольная решетка имеют симметрию сложения от поворота на 90 ° и 60 °.
  • Для рода g ≥ 2 группа изометрий конечна и имеет порядок не более 84 ( g − 1) по теореме Гурвица об автоморфизмах ; поверхности, реализующие эту границу, называются поверхностями Гурвица.
  • Известно, что любую конечную группу можно реализовать как полную группу изометрий некоторой римановой поверхности. [4]
    • Для рода 2 порядок максимизируется поверхностью Больца с порядком 48.
    • Для рода 3 порядок максимизируется квартикой Клейна с порядком 168; это первая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна единственной простой группе порядка 168, которая является второй по величине неабелевой простой группой. Эта группа изоморфна как PSL(2,7), так и PSL(3,2) .
    • Для рода 4 поверхность Бринга представляет собой высокосимметричную поверхность.
    • Для рода 7 порядок максимизируется поверхностью Макбита с порядком 504; это вторая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна PSL(2,8), четвертой по величине неабелевой простой группе.

Теоретико-функциональная классификация

[ редактировать ]

Приведенная выше схема классификации обычно используется геометрами. Существует другая классификация римановых поверхностей, которую обычно используют специалисты по комплексной аналитике. Он использует другое определение слов «параболический» и «гиперболический». В этой альтернативной схеме классификации риманова поверхность называется параболической, если на поверхности нет непостоянных отрицательных субгармонических функций, и в противном случае называется гиперболической . [5] [6] Этот класс гиперболических поверхностей далее подразделяется на подклассы в зависимости от того, являются ли функциональные пространства, отличные от отрицательных субгармонических функций, вырожденными, например, римановы поверхности, на которых все ограниченные голоморфные функции постоянны, или на которых все ограниченные гармонические функции постоянны, или на которых все ограниченные голоморфные функции постоянны. положительные гармонические функции постоянны и т. д.

Во избежание путаницы классификацию, основанную на метрике постоянной кривизны, будем называть геометрической классификацией , а основанную на вырождении функциональных пространств — теоретико-функциональной классификацией . Например, риманова поверхность, состоящая из «всех комплексных чисел, кроме 0 и 1», является параболической в ​​теоретико-функциональной классификации, но гиперболической в ​​геометрической классификации.

См. также

[ редактировать ]

Теоремы о римановых поверхностях

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Фаркас и Кра 1980 , Миранда 1995
  2. ^ См. (Jost 2006 , гл. 3.11) построение соответствующей сложной структуры.
  3. ^ Ноллет, Скотт. «ТЕОРЕМА КОДАИРЫ И КОМПАКТИФИКАЦИЯ МОДУЛЕЙ МАМФОРДА ПРОСТРАНСТВА Mg» (PDF) .
  4. ^ Гринберг, Л. (1974). «Максимальные группы и сигнатуры» . Разрывные группы и римановы поверхности: материалы конференции 1973 года в Университете Мэриленда . Энн. Математика. Исследования. Том. 79. стр. 207–226. ISBN  0691081387 .
  5. ^ Альфорс, Ларс ; Сарио, Лео (1960), Riemann Surfaces (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 204
  6. ^ Роден, Бертон; Сарио, Лео (1968), Основные функции (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: D. Von Nostand Company, Inc. , стр. 199, ISBN  9781468480382
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e112eae5771b28b0c99abccdb0110a59__1718760000
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e1/59/e112eae5771b28b0c99abccdb0110a59.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Riemann surface - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)