Преобразование сферической волны

Сферические волновые преобразования оставляют форму сферических волн , а также законы оптики и электродинамики неизменными во всех инерциальных системах отсчета . Они были определены между 1908 и 1909 годами Гарри Бейтманом и Эбенезером Каннингемом , причем Бейтман дал трансформации название. Они соответствуют конформной группе «преобразований по обратным радиусам» по отношению к основам геометрии сфер Ли , которые были известны уже в XIX веке. Время используется как четвертое измерение , как и в пространстве Минковского , поэтому сферические волновые преобразования связаны с преобразованиями Лоренца , специальной теории относительности и оказывается, что конформная группа пространства-времени включает в себя группу Лоренца и группу Пуанкаре в качестве подгрупп. Однако только группы Лоренца/Пуанкаре представляют симметрию всех законов природы, включая механику, тогда как конформная группа связана с определенными областями, такими как электродинамика. Кроме того, можно показать, что конформная группа плоскости (соответствующая группе Мёбиуса расширенной комплексной плоскости ) изоморфна группе Лоренца.

Частным случаем геометрии сферы Ли является преобразование по обратным направлениям или инверсия Лагерра, являющаяся генератором группы Лагерра . Он превращает не только сферы в сферы, но и плоскости в плоскости. указали на близкую аналогию с преобразованием Лоренца, а также на изоморфизм группе Лоренца. Если время используется в качестве четвертого измерения, несколько авторов, таких как Бейтман, Картан или Пуанкаре ,

Преобразование по обратным радиусам

Развитие в 19 веке

Инверсии , сохраняющие углы между кругами, были впервые обсуждены Дюррандом (1820 г.), а Кетле (1827 г.) и Плюкером (1828 г.) записали соответствующую формулу преобразования: $k$ радиус инверсии:

$x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$.

Эти инверсии позже были названы «преобразованиями по обратным радиусам» и стали более известны, когда Томсон (1845, 1847) применил их к сферам с координатами $x,y,z$ в ходе разработки метода инверсии в электростатике . Жозеф Лиувилл (1847) продемонстрировал его математический смысл, показав, что оно принадлежит конформным преобразованиям , приводящим к следующей квадратичной форме :

$\delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)$.

сам Лиувилль и, более широко, Софус Ли (1871) показал, что соответствующая конформная группа может быть дифференцирована ( теорема Лиувилля ): Например, $\lambda =1$ включает евклидову группу обыкновенных движений; $\lambda \neq 1$ преобразования масштаба или подобия , в которых координаты предыдущих преобразований умножаются на ${\sqrt {\lambda }}$; и $\lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}$ дает преобразование Томсона по обратным радиусам (инверсиям):

$x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Впоследствии теорема Лиувилля была распространена на $n$ размеры Лия (1871) и другие, такие как Дарбу (1878):

$\delta x_{1}^{\prime 2}+\dots +\delta x_{n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\dots +\delta x_{n}^{2}\right)$.

Эта группа конформных преобразований обратными радиусами сохраняет углы и превращает сферы в сферы или гиперсферы (см. Преобразование Мёбиуса , конформная симметрия , специальное конформное преобразование ). Это группа из 6 параметров в плоскости R ² что соответствует группе Мёбиуса расширенной комплексной плоскости , группа из 10 параметров в пространстве R ³ и группа из 15 параметров в R ⁴ . В Р ² он представляет собой лишь небольшое подмножество всех конформных преобразований в нем, тогда как в R ^2+н он идентичен группе всех конформных преобразований (соответствующих преобразованиям Мёбиуса в более высоких измерениях) в нем в соответствии с теоремой Лиувилля. Конформные преобразования в R ³ часто применялись к тому, что Дарбу (1873) называл «пентасферическими координатами», связывая точки с однородными координатами, основанными на пяти сферах.

Ориентированные сферы

Другой метод решения таких задач о сфере заключался в записи координат вместе с радиусом сферы. Это было использовано Ли (1871) в контексте геометрии сферы Ли, которая представляет собой общую структуру сферических преобразований (являющихся частным случаем контактных преобразований ), сохраняющих линии кривизны и преобразующих сферы в сферы. Ранее упомянутая группа из 10 параметров в R ³ связанная с пентасферическими координатами, расширена до 15-параметрической группы сферических преобразований Ли, связанных с «гексасферическими координатами» (названными Кляйном в 1893 году), путем добавления шестой однородной координаты, связанной с радиусом. Поскольку радиус сферы может иметь положительный или отрицательный знак, одной сфере всегда соответствуют две преобразованные сферы. Эту двусмысленность выгодно устранить, придав радиусу определенный знак и, следовательно, придав сферам также определенную ориентацию, так что одной ориентированной сфере соответствует одна преобразованная ориентированная сфера. Этот метод иногда и неявно использовал Ли (1871). сам и явно представлен Лагерром (1880). Кроме того, Дарбу (1887) привел преобразования по обратным радиусам к виду, по которому можно определить радиус г сферы, если известен радиус другой:

${\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{\prime }&={\frac {\pm k^{2}r}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned}}$

Использование координат вместе с радиусом часто было связано с методом, названным Кляйном (1893) «минимальной проекцией». (1926) позже назвал «проекцией изотропии», которую Бляшке подчеркивая связь с ориентированными кругами и сферами. Например, круг с прямоугольными координатами $x,y$ и радиус $r$ в Р ² соответствует точке в R ³ с координатами $x,y,z$. Этот метод был некоторое время известен в геометрии окружности (хотя и без использования понятия ориентации) и в дальнейшем может дифференцироваться в зависимости от того, считается ли дополнительная координата мнимой или действительной: $z=ir$ использовался Часлем (1852 г.), Мёбиусом (1857 г.), Кэли (1867 г.) и Дарбу (1872 г.); $z=r$ использовался Кузинери (1826 г.), Друкенмюллером (1842 г.) и в «циклографии» Фидлера (1882 г.), поэтому последний метод называли еще «циклографической проекцией» – см. Э. Мюллера (1910 г.). краткое содержание Этот метод был также применен к сферам Дарбу (1872 г.), Ложь (1871), или Кляйн (1893). Позволять $x,y,z,r$ и $x',y',z',r'$ — координаты центра и радиусы двух сфер в трехмерном пространстве R ³ . Если сферы касаются друг друга с одинаковой ориентацией, их уравнение имеет вид

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(r-r')^{2}=0$.

Параметр $t=ir$, эти координаты соответствуют прямоугольным координатам в четырехмерном пространстве R ⁴ :

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(t-t')^{2}=0$.

В целом Ли (1871) показал, что конформные точечные преобразования в R ^н (состоящие из движений, подобий и преобразований по обратным радиусам) соответствуют в R ^n-1 к тем сферным преобразованиям, которые являются контактными преобразованиями . Кляйн (1893) указал, что при использовании минимальной проекции на гексасферические координаты 15-параметрические преобразования сферы Ли в R ³ являются просто проекциями 15-параметрических конформных точечных преобразований в R ⁴ , тогда как точки в R ⁴ можно рассматривать как стереографическую проекцию точек сферы в R ⁵ .

электродинамикой

Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем (1909) показал, что электромагнитные уравнения являются не только лоренц-инвариантами, но также масштабными и конформными инвариантами. Они инвариантны относительно 15-параметрической группы конформных преобразований. $G_{15}$ (преобразования по обратным радиусам) в R ⁴ создание отношения

$\delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)$,

где $u=ict$ включает $t$ как компонент времени и $c$как скорость света . Бейтман (1909) также заметил эквивалентность ранее упомянутых преобразований сферы Ли в R ³ , поскольку радиус $r$ используемый в них можно интерпретировать как радиус $ct$ сферической волны, сжимающейся или расширяющейся с $c$, поэтому он назвал их «преобразованиями сферических волн». Он написал:

Когда мы используем представление Дарбу точки в $S_{4}$ сферической волной в $S_{3}$, группа $G_{15}$становится группой преобразований сферических волн, которые преобразуют сферическую волну в сферическую волну. Эта группа преобразований обсуждалась С. Лием; это группа преобразований, которые преобразуют линии кривизны на поверхности, окутанной сферическими волнами, в линии кривизны на поверхности, окутанной соответствующими сферическими волнами.

В зависимости от $\lambda$ их можно дифференцировать на подгруппы:

(а) $\lambda =1$соответствуют отображениям, преобразующим не только сферы в сферы, но и плоскости в плоскости. Их называют преобразованиями/инверсиями Лагерра, образующими группу Лагерра, которые в физике соответствуют преобразованиям Лоренца, образующим 6-параметрическую группу Лоренца или 10-параметрическую группу Пуанкаре со сдвигами.

(б) $\lambda \neq 1$ представляет собой преобразования масштаба или подобия путем умножения пространственно-временных переменных преобразований Лоренца на постоянный коэффициент, зависящий от $\lambda$. Например, если $l={\sqrt {\lambda }}$ используется, то следует преобразование, данное Пуанкаре в 1905 году:

$x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)$.

показали, Однако Пуанкаре и Эйнштейн что только $l=1$ образует группу, которая представляет собой симметрию всех законов природы, как того требует принцип относительности (группа Лоренца), тогда как группа масштабных преобразований представляет собой лишь симметрию оптики и электродинамики.

(в) Обстановка $\lambda =r^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\right)^{2}$особенно относится к широкой конформной группе преобразований по обратным радиусам. Он состоит из элементарных преобразований, представляющих собой обобщенную инверсию в четырехмерную гиперсферу :

${\begin{aligned}x'&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z'&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},&u'&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\end{aligned}}$

которые становятся реальными сферическими волновыми преобразованиями с точки зрения геометрии сферы Ли, если реальный радиус $ct$ используется вместо $u=ict$, таким образом $x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}$ дается в знаменателе.

Феликс Кляйн (1921) указал на сходство этих соотношений с исследованиями Лия и его собственными исследованиями 1871 года, добавив, что конформная группа не имеет того же значения, что и группа Лоренца, поскольку первая применима к электродинамике, тогда как вторая представляет собой симметрию. всех законов природы, включая механику. Некоторое время обсуждалась возможность того, допускают ли конформные преобразования преобразование в равномерно ускоренные системы отсчета. Позже конформная инвариантность снова стала важной в некоторых областях, таких как конформная теория поля .

изоморфная

Дополнительная информация: преобразование Мёбиуса § преобразование Лоренца и группа Лоренца § Связь с группой Мёбиуса.

Оказывается, что и 6-параметрическая конформная группа R ² (т.е. группа Мёбиуса , состоящая из автоморфизмов сферы Римана ), которая, в свою очередь, изоморфна 6-параметрической группе гиперболических движений (т.е. изометрическим автоморфизмам гиперболического пространства ) в R ³ , можно физически интерпретировать: она изоморфна группе Лоренца.

Например, Фрике и Кляйн (1897) начали с определения «абсолютной» метрики Кэли в терминах одночастной криволинейной поверхности второй степени, которая может быть представлена ​​сферой, внутренняя часть которой представляет собой гиперболическое пространство с уравнением

$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0$,

где $z_{1},\ z_{2},\ z_{3},\ z_{4}$являются однородными координатами. Они указывали, что движения гиперболического пространства в себя также преобразуют эту сферу в себя. Они разработали соответствующее преобразование, определив комплексный параметр $\xi$ сферы

$\xi ={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}$

который связан с другим параметром $\xi '$ путем замены

$\xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}$

где $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$являются комплексными коэффициентами. Кроме того, они показали, что, установив $z_{1}:z_{2}:z_{3}:z_{4}=X:Y:Z:1$, указанные выше соотношения принимают форму в терминах единичной сферы в R ³ :

$X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1,\quad \xi ={\frac {X+iY}{1-Z}}$.

что идентично стереографической проекции $\xi$-плоскость на сферической поверхности, уже данная Клейном в 1884 году. Поскольку замены $\xi ,\xi '$ являются преобразованиями Мёбиуса ( нем . Kreisverwandtschaften ) в $\xi$-самолет или на $\xi$-сферы, они пришли к выводу, что, совершая произвольное движение гиперболического пространства в себе, $\xi$-сфера подвергается преобразованию Мёбиуса, что вся группа гиперболических движений дает все прямые преобразования Мёбиуса и, наконец, что любое прямое преобразование Мёбиуса соответствует движению гиперболического пространства.

На основе работ Фрике и Кляйна изоморфизм этой группы гиперболических движений (и, следовательно, группы Мёбиуса) группе Лоренца был продемонстрирован Густавом Герглотцем (1909). А именно, метрика Минковского соответствует указанной выше метрике Кэли (основанной на реальном коническом сечении), если координаты пространства-времени отождествляются с указанными выше однородными координатами.

$z_{1}=x,\quad z_{2}=y,\quad z_{3}=z,\quad z_{4}=t$,

благодаря чему вышеуказанный параметр становится

${\mathsf {\xi }}={\frac {x+iy}{t-z}},\quad \xi '={\frac {x'+iy'}{t'-z'}},$ снова связано заменой $\xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}$.

Герглотц пришел к выводу, что любая такая замена соответствует преобразованию Лоренца, устанавливая взаимно однозначное соответствие гиперболическим движениям в R. ³ . Связь между группой Лоренца и метрикой Кэли в гиперболическом пространстве была также указана Кляйном (1910). а также Паули (1921). Соответствующий изоморфизм группы Мёбиуса группе Лоренца использовался, среди прочего, Роджером Пенроузом .

Трансформация по взаимным направлениям

Развитие в 19 веке

Выше упоминалась связь конформных преобразований с координатами, в том числе с радиусом сфер, в геометрии сферы Ли. Особый случай $\lambda =1$ соответствует сферному преобразованию, данному Эдмоном Лагерром (1880-1885), который назвал его «преобразованием по взаимным направлениям» и заложил основы геометрии ориентированных сфер и плоскостей . По мнению Дарбу и Бейтман, подобные отношения ранее обсуждались Альбертом Рибокуром (1870 г.). и самого Лия (1871). Стефанос (1881) указал, что геометрия Лагерра действительно является частным случаем геометрии сферы Лия. Он также представил ориентированные сферы Лагерра кватернионами (1883).

Прямые, окружности, плоскости или сферы с радиусами определенной ориентации называются Лагерром полупрямыми, полукругами (циклами), полуплоскостями, полусферами и т. д. Касательная — это полупрямая, пересекающая цикл при точка, в которой оба имеют одинаковое направление. Преобразование обратными направлениями преобразует ориентированные сферы в ориентированные сферы и ориентированные плоскости в ориентированные плоскости, оставляя инвариантным «касательное расстояние» двух циклов (расстояние между точками каждой из их общих касательных), а также сохраняет линии кривизны. . Лагерр (1882) применил преобразование к двум циклам при следующих условиях: их радикальная ось является осью преобразования, а их общие касательные параллельны двум фиксированным направлениям полупрямых, преобразующихся в себя (Лагер назвал этот специфический метод «преобразование обратными полупрямыми», которое позже назвали «инверсией Лагерра» ). Параметр $R$ и $R'$ как радиусы циклов, и $D$ и $D'$ как расстояния их центров до оси, он получил:

$D^{2}-D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},\quad D-D'=\alpha (R-R'),\quad D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R'),$

с трансформацией:

$D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.$

Дарбу (1887) получил те же формулы в других обозначениях (с $z=D$ и $k=\alpha$) в своей трактовке «преобразования по взаимным направлениям», хотя он включил $x$ и $y$ координаты также:

${\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}R,\end{aligned}}$

с

$z'+R'={\frac {1+k}{1-k}}(z-R),\quad z'-R'={\frac {1-k}{1+k}}(z+R),$

следовательно, он получил соотношение

$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}$.

Как упоминалось выше, ориентированные сферы в R ³ могут быть представлены точками четырехмерного пространства R ⁴ использование минимальной (изотропной) проекции, что стало особенно важным в геометрии Лагерра. Например, Э. Мюллер (1898) основывал свое обсуждение ориентированных сфер на том факте, что они могут быть отображены на точки плоского четырехмерного многообразия (которое он сравнил с «циклографией» Фидлера 1882 года). Он систематически сравнивал преобразования по обратным радиусам (называя это «инверсией на сфере») с преобразованиями по обратным направлениям (называя это «инверсией в комплексе плоской сферы»). Следуя статье Мюллера, Смит (1900) обсудил преобразование Лагерра и связанную с ним «группу геометрии обратных направлений». Ссылаясь на трактовку минимальной проекции Кляйном (1893), он указал, что эта группа «просто изоморфна группе всех смещений и преобразований симметрии в четырехмерном пространстве». Смит получил то же преобразование, что и Лагерр и Дарбу, в других обозначениях, назвав его «инверсией в сферический комплекс»:

$p'={\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}R,\quad R'={\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}R$

с отношениями

$\kappa ={\frac {R'-R}{p'-p}},\quad p^{\prime 2}-p^{2}=R^{\prime 2}-R^{2}.$

Инверсия Лагерра

В 1905 году и Пуанкаре, и Эйнштейн отметили, что преобразование Лоренца в специальной теории относительности (установление $c=1$)

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2}}}}$

покидает отношения $x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}$ инвариант. Эйнштейн подчеркивал, что в результате этого преобразования сферическая световая волна в одном кадре превращается в сферическую световую волну в другом. Пуанкаре показал, что преобразование Лоренца можно рассматривать как вращение в четырехмерном пространстве со временем в качестве четвертой координаты, а Минковский еще больше углубил это понимание (см. Историю специальной теории относительности ).

Как показано выше, также преобразование Лагерра по обратным направлениям или полупрямым, позже названное инверсией Лагерра. – в форме, данной Дарбу (1887), оставляет выражение $x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}$инвариант. Впоследствии связь с преобразованием Лоренца отмечали ряд авторов. Например, Бейтман (1910) утверждал, что это преобразование (которое он приписывал Рибокуру) «идентично» преобразованию Лоренца. В частности, он утверждал (1912), что вариант, данный Дарбу (1887), соответствует преобразованию Лоренца в $z$ направление, если $R=ct$, $R'=ct'$и $k$ члены заменяются скоростями. Бейтман (1910) также нарисовал геометрические представления релятивистских световых сфер, используя такие сферические системы. Однако Кубота (1925) ответил Бейтману, утверждая, что инверсия Лагерра является инволютивной , тогда как преобразование Лоренца - нет. Он пришел к выводу, что для того, чтобы сделать их эквивалентными, инверсию Лагерра необходимо объединить с изменением направления циклов.

Конкретную связь между преобразованием Лоренца и инверсией Лагерра можно также продемонстрировать следующим образом (см. HR Müller (1948) для аналогичных формул в других обозначениях). Формулы обращения Лагерра 1882 года (эквивалентные формулам Дарбу 1887 года) гласили:

$D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.$

установив

${\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}=w$

следует

${\frac {1-\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}}}={\sqrt {1-w^{2}}},\quad {\frac {2\alpha }{1-\alpha ^{2}}}={\frac {w}{\sqrt {1-w^{2}}}},$

наконец, установив $D=x,D'=x',R=t,R'=t'$ инверсия Лагерра становится очень похожей на преобразование Лоренца, за исключением того, что выражение $t-vx$ переворачивается в $wx-t$:

$x'={\frac {x-wt}{\sqrt {1-w^{2}}}},\quad t'={\frac {wx-t}{\sqrt {1-w^{2}}}}$.

По мнению Мюллера, преобразование Лоренца можно рассматривать как произведение четного числа таких инверсий Лагерра, меняющих знак. Сначала проводится инверсия в плоскость $\pi _{1}$ которая наклонена относительно плоскости $\pi$ под определённым углом, после чего следует ещё один инверс обратно в $\pi$. См. раздел #Группа Лагерра, изоморфная группе Лоренца, для получения более подробной информации о связи инверсии Лагерра с другими вариантами преобразований Лагерра.

Преобразование Лоренца

Таймердинг (1911) использовал концепцию ориентированных сфер Лагерра, чтобы представить и вывести преобразование Лоренца. Дана сфера радиуса $r$, с $x$ как расстояние между его центром и центральной плоскостью, он получил отношения к соответствующей сфере

$x'+r'={\sqrt {\frac {1+\lambda ^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}(x+r),\quad {\frac {x'-r'}{x'+r'}}={\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\cdot {\frac {x-r}{x+r}},$

в результате трансформации

${\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot x'=x-\lambda r,\quad {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot r'=r-\lambda x.$

Установив $\lambda =v/c$ и $r=ct$, оно становится преобразованием Лоренца.

Вслед за Тимердингом и Бейтманом Огура (1913) проанализировал преобразование Лагерра формы

$\alpha '=\alpha {\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}-R{\frac {\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}},\quad \beta '=\beta ,\quad \gamma '=\gamma ,\quad R'=\alpha {\frac {-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}+R{\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}$,

которые становятся преобразованием Лоренца с

${\begin{aligned}x&=\alpha ,&y&=\beta ,&z&=\gamma ,&R&=ct,\\x'&=\alpha ',&y'&=\beta ',&z'&=\gamma ',&R'&=ct',\end{aligned}}$    $\lambda ={\frac {v}{c}}$.

Он заявил, что «преобразование Лагерра в многообразии сферы эквивалентно преобразованию Лоренца в многообразии пространства-времени».

Группа Лагерра, изоморфная

Как было показано выше, группа конформных точечных преобразований в R ^н (состоящее из движений, подобий и инверсий) можно связать минимальной проекцией с группой контактных преобразований в R ^n-1 преобразование кругов или сфер в другие круги или сферы. Кроме того, Ли (1871, 1896) указывал, что в R ³ существует 7-параметрическая подгруппа точечных преобразований, состоящая из движений и подобий, которая с помощью минимальной проекции соответствует 7-параметрической подгруппе контактных преобразований в R ² превращая круги в круги. Эти отношения были дополнительно изучены Смитом (1900). Бляшке (1910), Кулидж (1916) и другие, указавшие на связь с геометрией Лагерра обратных направлений, связанных с ориентированными линиями, кругами, плоскостями и сферами. Поэтому Смит (1900) назвал ее «группой геометрии обратных направлений». и Бляшке (1910) использовали выражение «группа Лагерра». «Расширенная группа Лагерра» состоит из движений и подобий, имеющих 7 параметров в R ² преобразование ориентированных линий и окружностей или 11 параметров в R ³ преобразование ориентированных плоскостей и сфер. Если исключить сходство, она становится «ограниченной группой Лагерра», имеющей 6 параметров в R. ² и 10 параметров в R ³ , состоящий из движений, сохраняющих или изменяющих ориентацию, и сохраняющих тангенциальное расстояние между ориентированными кругами или сферами. Впоследствии стало общепринятым, что термин группа Лагерра относится только к ограниченной группе Лагерра. Было также отмечено, что группа Лагерра является частью более широкой группы, сохраняющей тангенциальные расстояния, названной Шефферсом ( 1905) «группой эквилонги».

В Р ² группа Лагерра оставляет инвариантным соотношение $dx^{2}+dy^{2}-dr^{2}$, который можно продолжить на произвольный R ^н также. Например, в Р ³ это оставляет инвариантным соотношение $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{2}$. Это эквивалентно отношению $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dr^{2}$ в Р ⁴ используя минимальную (изотропную) проекцию с координатой мнимого радиуса или циклографическую проекцию (в начертательной геометрии ) с координатой реального радиуса. Преобразования, образующие группу Лагерра, можно далее дифференцировать на «прямые преобразования Лагерра», которые связаны с движениями, сохраняющими как тангенциальное расстояние, так и знак; или «косвенные преобразования Лагерра», которые связаны с движениями, меняющими ориентацию, сохраняющими тангенциальное расстояние с обратным знаком. Обращение Лагерра, впервые данное Лагерром в 1882 году, является инволютивным , поэтому оно относится к непрямым преобразованиям Лагерра. Сам Лагерр не обсуждал группу, связанную с его инверсией, но оказалось, что каждое преобразование Лагерра может быть порождено не более чем четырьмя инверсиями Лагерра, а каждое прямое преобразование Лагерра является продуктом двух инволютивных преобразований, поэтому инверсии Лагерра имеют особое значение, поскольку они порождают операторы всей группы Лагерра.

Было отмечено, что группа Лагерра действительно изоморфна группе Лоренца (или группе Пуанкаре, если включены сдвиги), поскольку обе группы оставляют инвариантной форму $dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}$. После первого сравнения преобразований Лоренца и обращения Лагерра Бейтманом (1910), как упоминалось выше , на эквивалентность обеих групп указал Картан в 1912 году. и 1914 год, и он подробно изложил это в 1915 году (опубликовано в 1955 году) во французской версии энциклопедии Кляйна . Также Пуанкаре (1912, опубликовано в 1921 году) писал:

Недавно г-н Картан привел любопытный пример. Мы знаем важность в математической физике того, что было названо группой Лоренца; именно на этой группе основаны наши новые идеи о принципе относительности и динамике электрона. С другой стороны, Лагерр однажды ввел в геометрию группу преобразований, превращающих сферы в сферы. Эти две группы изоморфны, так что математически эти две теории, физическая и геометрическая, не обнаруживают существенной разницы.

— Анри Пуанкаре, 1912 г.

Эту связь заметили и другие, включая Кулиджа (1916), Кляйн и Блашке (1926), Бляшке (1929), ХР Мюллер , Кунле и Фладт (1970), Бенц (1992). Недавно было отмечено:

Преобразование Лагерра (L-преобразование) — это отображение, которое является биективным на множествах ориентированных плоскостей и ориентированных сфер соответственно и сохраняет касание между плоскостью и сферой. L-преобразования легче понять, если использовать так называемую циклографическую модель геометрии Лагерра. Там ориентированная сфера $S$ представляется как точка $\mathbf {S} \operatorname {\text{:=}} (\mathbf {m} ,R)\in \mathbb {R} ^{4}$. Ориентированная плоскость $P$ в $E^{3}$ можно интерпретировать как совокупность всех ориентированных сфер, касающихся $P$. Картирование $P$ через этот набор сфер в $\mathbb {R} ^{4}$, находится гиперплоскость в $\mathbb {R} ^{4}$ которая параллельна касательной гиперплоскости конуса $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0$. В циклографической модели L-преобразование рассматривается как специальное аффинное отображение (преобразование Лоренца),...

- Поттманн, Грос, Митра (2009)

См. также

• История преобразований Лоренца

Первоисточники

• Бейтман, Гарри (1909) [1908]. «Конформные преобразования четырехмерного пространства и их приложения к геометрической оптике» . Труды Лондонского математического общества . 7 : 70–89. дои : 10.1112/plms/s2-7.1.70 .
• Бейтман, Гарри (1910) [1909]. «Преобразование электродинамических уравнений» . Труды Лондонского математического общества . 8 : 223–264. дои : 10.1112/plms/s2-8.1.223 .
• Бейтман, Гарри (1910a). «Физический аспект времени» . Манчестерские мемуары . 54 (14): 1–13.
• Бейтман, Гарри (1910b). «Связь между электромагнетизмом и геометрией» . Философский журнал . 20 (118): 623 –628. дои : 10.1080/14786441008636944 .
• Бейтман, Гарри (1912) [1910]. «Некоторые геометрические теоремы, связанные с уравнением Лапласа и уравнением волнового движения» . Американский журнал математики . 34 (3): 325–360. дои : 10.2307/2370223 . JSTOR   2370223 .
• Блашке, Вильгельм (1910). «Исследования по геометрии копий в евклидовой геометрии» . Ежемесячные журналы по математике и физике . 21 (1): 3–60. дои : 10.1007/bf01693218 . S2CID   120182503 .
• Картан, Эли (1912). «О контактных группах преобразования и новой кинематике» . Société de Mathématique the France - Отчеты сессий : 23.
• Картан, Эли (1914). «Теория групп». Ежемесячный обзор : 452–457.
• Каннингем, Эбенезер (1910) [1909]. «Принцип относительности в электродинамике и его расширение» . Труды Лондонского математического общества . 8 : 77–98. дои : 10.1112/plms/s2-8.1.77 .
• Дарбу, Гастон (1872). «О связях между группами точек, окружностей и сфер» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 1 :323–392. дои : 10.24033/asens.87 .
• Дарбу, Гастон (1878). «Диссертация по теории криволинейных координат и ортогональных систем. Третья часть» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 7 : 275–348 . дои : 10.24033/asens.164 .
• Дарбу, Гастон (1887). Уроки по общей теории поверхностей. Первая часть . Париж: Готье-Виллар.
• Герглотц, Густав (1910) [1909], « Annals О телах, которые следует называть «жесткими» с точки зрения принципа относительности », of the Physics , 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP.. .336..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208
• Феликс Кляйн (1884), Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени , Тойбнер, Лейпциг; Английский перевод: Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени (1888 г.)
• Кляйн, Феликс (1921). «О геометрических основах группы Лоренца». Сборник математических трактатов   . Том 19. стр. 533–552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 (неактивен 22 июня 2024 г.). ISBN  978-3-642-51898-0 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( справка ) CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на июнь 2024 г. ( ссылка ) Перепечатано в Кляйн, Феликс (1921). «О геометрических основах группы Лоренца». Сборник математических трактатов . Том 1. стр. 533–552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 (неактивен 22 июня 2024 г.). ISBN  978-3-642-51898-0 . {{cite book}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на июнь 2024 г. ( ссылка ) Английский перевод Дэвида Дельфениха: О геометрических основах группы Лоренца
• Кубота, Тадахико (1925). «О (2-2)-единственных квадратичных соотношениях V». Научные отчеты Императорского университета Тохоку . 14 : 155-164. .
• Лагерр, Эдмон (1881). «О преобразовании взаимными направлениями» . Отчеты . 92 :71–73.
• Лагерр, Эдмон (1882). «Преобразования взаимными полуправами» . Новые летописи математики . 1 :542–556.
• Лагерр, Эдмон (1905). «Сборник статей, изданных между 1880 и 1885 годами» . Произведения Лагерра, вып. 2 . Париж: Готье-Виллар. стр. 592–684.
• Ложь, Софус (1871). «О теории пространства любого числа измерений, соответствующей теории кривизны обычного пространства» . Новости Геттингена : 191–209.
• Ложь, Софус (1872). «О комплексах, особенно комплексах прямых и сфер, в приложении к теории уравнений в частных производных» . Математические летописи . 5 : 145–256. дои : 10.1007/bf01446331 . S2CID   122317672 . Английский перевод Дэвида Дельфениха: О комплексах, в частности, линейных и сферических комплексах, с приложениями к теории уравнений в частных производных.
• Ложь, Софус ; Шефферс, Георг (1896). Геометрия сенсорных преобразований . Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
• Лиувилл, Жозеф (1847). «Примечание к предыдущей статье» . Журнал чистой и прикладной математики . 12 : 265–290.
• Лиувилль, Жозеф (1850а). «Теорема об уравнении dx²+dy²+dz²=λ(dα²+dβ²+dγ²)» . Журнал чистой и прикладной математики . 15 :103.
• Лиувилл, Жозеф (1850b). «Распространение на три аспекта вопроса географического отслеживания» . В Гаспаре Монже (ред.). Применение анализа к геометрии . Париж: Бакалавр. стр. 609–616.
• Мюллер, Эмиль (1898). «Геометрия ориентированных сфер по методам Грассмана» . Ежемесячные журналы по математике и физике . 9 (1): 269–315. дои : 10.1007/bf01707874 . S2CID   121786469 .
• Мюллер, Ганс Роберт (1948). «Циклографическое рассмотрение кинематики специальной теории относительности» . Ежемесячные журналы по математике и физике . 52 (4): 337–353. дои : 10.1007/bf01525338 . S2CID   120150204 .
• Огура, Кинноске (1913). «О преобразовании Лоренца с некоторыми геометрическими интерпретациями». Научные отчеты Университета Тохуку . 2 : 95–116.
• Пуанкаре, Анри (1906) [1905], «О динамике электрона» Перевод из Wikisource: [ О динамике электрона ], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Бибкод : 1906RCMP... 21 ..129P , doi : 10.1007/BF03013466 , S2CID   120211823
• Пуанкаре, Анри (1921) [1912]. «Отчет о работе М. Картана (сделан на факультете естественных наук Парижского университета)» . Акта Математика . 38 (1): 137–145. дои : 10.1007/bf02392064 . S2CID   122517182 . . Написано Пуанкаре в 1912 году, напечатано в Acta Mathematica в 1914 году, хотя опубликовано с опозданием в 1921 году.
• Рибокур, Альберт (1870). «О деформации поверхностей» . Отчеты . 70 : 330–333.
• Смит, Перси Ф. (1900). «О трансформации Лагерра» . Анналы математики . 1 (1/4): 153–172. дои : 10.2307/1967282 . JSTOR   1967282 .
• Стефанос, К. (1881). «О геометрии сфер» . Отчеты . 92 : 1195–1197.
• Стефанос, К. (1883). «К теории кватернионов» . Математический Аннален . 7 (4): 589–592. дои : 10.1007/bf01443267 . S2CID   179178015 .
• Таймердинг, HE (1912). «О простой геометрической картине пространственно-временного мира Минковского» . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 21 :274-285.

---

Вторичные источники

Учебники, энциклопедические статьи, исторические обзоры:

• Бейтман, Гарри (1915). Математический анализ движения электрических и оптических волн на основе уравнений Максвелла . Кембридж: Университетское издательство.
• Бенц, Уолтер (2005) [1992]. Классические геометрии в современном контексте: геометрия реальных внутренних пространств, третье издание . Спрингер. стр. 133–175. ISBN  978-3034804202 .
• Блашке, Вильгельм (1929). Томсен, Герхард (ред.). Лекции по дифференциальной геометрии и геометрическим основам теории относительности Эйнштейна Том 3 . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-642-50823-3 . hdl : 2027/mdp.39015017405492 . ISBN  978-3-642-50513-3 .
• Картан, Эли ; Фано, Джино (1915). «Теория непрерывных групп и геометрия» . Энциклопедия чистых и прикладных математических наук . 3 (1): 39–43. (В 1915 году были опубликованы только страницы 1–21, вся статья, включая стр. 39–43, касающуюся групп Лагерра и Лоренца, была посмертно опубликована в 1955 году в сборнике статей Картана и переиздана в Энциклопедии в 1991 году.)
• Сесил, Томас Э. (2008) [1992], «Геометрия Лагерра», Геометрия сферы Ли , Springer, стр. 37–46, ISBN  978-0387746555
• Кулидж, Джулиан (1916). Трактат о круге и сфере . Оксфорд: Кларендон Пресс.
• Каннингем, Эбенезер (1914). Принцип относительности . Кембридж: Университетское издательство.
• Фано, Джино (1910). «Непрерывные геометрические группы. Теория групп как принцип геометрической классификации» . Энциклопедия математических наук, включая их приложения . Том 3.1.1. стр. 289–388. дои : 10.1007/978-3-663-16027-4_5 . ISBN  978-3-663-15456-3 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
• Роберт Фрике и Феликс Кляйн (1897), Лекции по теории авторморфных функций - Том первый: Основы теории групп , Тойбнер, Лейпциг
• Каструп, Х.А. (2008). «О достижениях конформных преобразований и связанных с ними симметрий в геометрии и теоретической физике». Аннален дер Физик . 520 (9–10): 631–690. arXiv : 0808.2730 . Бибкод : 2008АнП...520..631К . дои : 10.1002/andp.200810324 . S2CID   12020510 .
• Кляйн, Феликс (1893). Введение в высшую геометрию И. Геттинген: Геттинген.
• Кляйн, Феликс ; Блашке, Вильгельм (1926). Лекции по высшей геометрии . Берлин: Шпрингер. (Лекции Кляйна 1893 года обновлены и отредактированы Блашке в 1926 году.)
• Кунле Х.; Фладт К. (1926). «Программа Эрлангена и высшая геометрия – геометрия Лагерра». В Генрихе Бенке (ред.). Основы математики: Геометрия . МТИ Пресс. стр. 460–516. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Мюллер, Эмиль (1910). «Различные системы координат» . Энциклопедия математических наук, включая их приложения . Том 3.1.1. стр. 596–770. дои : 10.1007/978-3-663-16027-4_9 . ISBN  978-3-663-15456-3 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
• Педо, Дэниел (1972). «Забытое геометрическое преобразование». Математическое образование . 18 : 255–267. doi : 10.5169/seals-45376 .
• Руже, Андре (2008). Специальная теория относительности: вклад Анри Пуанкаре . Издания Ecole Polytechnique. ISBN  978-2730215251 .
• Уолтер, Скотт А. (2018). «Фигуры света в ранней истории теории относительности (1905-1914)» . В Роу, Дэвид; и другие. (ред.). За пределами Эйнштейна . Базель: Биркхойзер. стр. 1–50. дои : 10.1007/978-1-4939-7708-6_1 .
• Уорик, Эндрю (1992). «Кембриджская математика и физика Кавендиша: теория относительности Каннингема, Кэмпбелла и Эйнштейна 1905–1911 гг., Часть I: Использование теории». Исследования по истории и философии науки . Часть А. 23 (4): 625–656. Бибкод : 1992SHPSA..23..625W . дои : 10.1016/0039-3681(92)90015-X .
• Уорик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и развитие математической физики . Том. 57. Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 58 . Бибкод : 2004PhT....57i..58W . дои : 10.1063/1.1809094 . ISBN  978-0-226-87375-6 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )

---