Двойственность Пуанкаре

В математике , теорема двойственности Пуанкаре в честь Анри Пуанкаре , является основным результатом о структуре гомологий и когомологий групп многообразий названная . Он утверждает, что если - n -мерное ориентированное замкнутое многообразие ( компактное и без края), то k -я группа когомологий M изоморфна M -й группе ( n − k ) гомологий M для всех целых k

H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).

коэффициентов Двойственность Пуанкаре справедлива для любого кольца , если оно ориентировано относительно этого кольца коэффициентов; в частности, поскольку каждое многообразие имеет уникальную ориентацию по модулю 2, двойственность Пуанкаре выполняется по модулю 2 без каких-либо предположений об ориентации.

История

Форма двойственности Пуанкаре была впервые сформулирована без доказательства Анри Пуанкаре в 1893 году. Она была сформулирована в терминах чисел Бетти : k -е и ( n - k ) -е числа Бетти замкнутого (т. е. компактного и без края) ориентируемые n -многообразия равны. лет . До выяснения концепции когомологий в то время оставалось около 40 В своей статье 1895 года «Анализ положения» Пуанкаре попытался доказать теорему, используя топологическую теорию пересечений изобретенную им . Критика его работы со стороны Пола Хегаарда привела его к осознанию того, что его доказательство было серьезно ошибочным. В первых двух дополнениях к «Анализ положения » Пуанкаре дал новое доказательство в терминах двойственной триангуляции.

Двойственность Пуанкаре не приняла свою современную форму до появления когомологий в 1930-х годах, когда Эдуард Чех и Хасслер Уитни изобрели произведения «чашка и колпачок» и сформулировали двойственность Пуанкаре в этих новых терминах.

Современная формулировка

Современная формулировка теоремы двойственности Пуанкаре выражена в терминах гомологии и когомологии: если M — замкнутое ориентированное n -многообразие, то существует канонически определенный изоморфизм $H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )$ для любого целого числа k . Чтобы определить такой изоморфизм, выбирают фиксированный фундаментальный класс [ M ] из M , который будет существовать, если $M$ ориентирован. Тогда изоморфизм определяется отображением элемента $\alpha \in H^{k}(M)$ в шапку товар $[M]\frown \alpha$ . ^[1]

Группы гомологии и когомологий определяются как равные нулю для отрицательных степеней, поэтому двойственность Пуанкаре, в частности, означает, что группы гомологии и когомологий ориентируемых замкнутых n -многообразий равны нулю для степеней, больших n .

Здесь гомологии и когомологии целы, но изоморфизм остается справедливым над любым кольцом коэффициентов. В случае, когда ориентированное многообразие некомпактно, гомологию приходится заменять гомологиями Бореля–Мура.

H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X),

или заменить когомологии когомологиями с компактным носителем

H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).

Двухклеточные структуры

Для триангулированного многообразия существует соответствующее двойственное многогранное разложение. Двойственное многогранное разложение - это клеточное разложение многообразия такое, что k -клетки двойственного многогранного разложения находятся в взаимно однозначном соответствии с ( $n-k$ )-ячейки триангуляции, обобщающие понятие двойственных многогранников .

$\cup _{S\in T}\Delta \cap DS$ – изображение частей двойных ячеек в многомерном симплексе.

Точнее, пусть T — триангуляция n -многообразия M . Пусть S — симплекс T . Позволять $\Delta$ быть верхнемерным симплексом T, содержащим S , поэтому мы можем думать о S как о подмножестве вершин $\Delta$ . Определим двойную ячейку DS, соответствующую S , так, чтобы $\Delta \cap DS$ это выпуклая оболочка в $\Delta$ барицентров всех подмножеств вершин $\Delta$ которые содержат $S$ . Можно проверить, что если S i -мерна , то DS является ( n − i ) -мерной клеткой. Более того, клетки, двойственные к T, образуют CW-разложение M и единственная ( $n-i$ )-мерная двойственная ячейка, пересекающая i - ячейку S, есть DS . Таким образом, спаривание $C_{i}M\otimes C_{n-i}M\to \mathbb {Z}$ заданный пересечениями, индуцирует изоморфизм $C_{i}M\to C^{n-i}M$ , где $C_{i}$ клеточная гомология триангуляции T , и $C_{n-i}M$ и $C^{n-i}M$ являются клеточными гомологиями и когомологиями двойственного полиэдра/CW-разложения многообразия соответственно. Тот факт, что это изоморфизм цепных комплексов, является доказательством двойственности Пуанкаре. Грубо говоря, это сводится к тому, что граничное соотношение для триангуляции T является отношением инцидентности для двойственного многогранного разложения при соответствии $S\longmapsto DS$ .

Естественность

Обратите внимание, что $H^{k}$ является контравариантным функтором, а $H_{n-k}$ является ковариантным . Семейство изоморфизмов

D_{M}\colon H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)

естественно если в следующем смысле:

f\colon M\to N

является непрерывным отображением между двумя ориентированными n -многообразиями, которое совместимо с ориентацией, т. е. которое отображает фундаментальный класс M в фундаментальный класс N , тогда

D_{N}=f_{*}\circ D_{M}\circ f^{*},

где $f_{*}$ и $f^{*}$ являются ли карты, индуцированные $f$ в гомологиях и когомологиях соответственно.

Обратите внимание на очень сильную и решающую гипотезу о том, что $f$ отображает фундаментальный класс M в фундаментальный класс N . Естественность не справедлива для произвольного непрерывного отображения. $f$ , поскольку в целом $f^{*}$ не является инъекцией когомологий. Например, если $f$ является покрывающим отображением, то оно отображает фундаментальный класс M в кратный фундаментальному классу N . Это кратное является степенью отображения $f$ .

Формулировка билинейных пар

Предполагая, что многообразие M компактно, не имеет границ и ориентируемо , пусть

\tau H_{i}M

обозначим крученую подгруппу группы $H_{i}M$ и пусть

fH_{i}M=H_{i}M/\tau H_{i}M

свободная часть – все группы гомологии , взятые с целыми коэффициентами в этом разделе. Кроме того, существуют билинейные отображения , которые представляют собой пары двойственности (поясняется ниже).

fH_{i}M\otimes fH_{n-i}M\to \mathbb {Z}

и

\tau H_{i}M\otimes \tau H_{n-i-1}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z}

.

Здесь $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ представляет собой частное рациональных чисел по целым числам, взятым как аддитивная группа. Обратите внимание, что в форме торсионного зацепления в измерении есть -1, поэтому сумма парных измерений равна n - 1 , а не n .

Первую форму обычно называют продуктом пересечения , а вторую — формой торсионного зацепления . Предполагая, что многообразие M гладкое, произведение пересечений вычисляется путем преобразования классов гомологии в трансверсальные и вычисления их ориентированного числа пересечений. Для формы торсионного зацепления вычисляется спаривание x и y, реализуя nx как границу некоторого класса z . Затем форма принимает значение, равное дроби, числителем которой является число поперечного пересечения z с y , а знаменателем является n .

Утверждение о том, что спаривания являются парами двойственности, означает, что сопряженные отображения

fH_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-i}M,\mathbb {Z} )

и

\tau H_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-i-1}M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является применением двойственности Пуанкаре.

H_{i}M\simeq H^{n-i}M

,

вместе с теоремой об универсальных коэффициентах , которая дает отождествление

fH^{n-i}M\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-i}M;\mathbb {Z} )

и

\tau H^{n-i}M\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-i-1}M;\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-i-1}M;\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )

.

Таким образом, двойственность Пуанкаре говорит, что $fH_{i}M$ и $fH_{n-i}M$ изоморфны, хотя не существует естественного отображения, дающего изоморфизм, и аналогично $\tau H_{i}M$ и $\tau H_{n-i-1}M$ также изоморфны, хотя и неестественно.

Среднее измерение

В то время как для большинства измерений двойственность Пуанкаре индуцирует билинейное спаривание между различными группами гомологий, в среднем измерении она индуцирует билинейную форму в одной группе гомологий. Полученная форма пересечения является очень важным топологическим инвариантом.

Что подразумевается под «средним измерением», зависит от паритета. Для четной размерности n = 2k , которая встречается чаще, это буквально среднее измерение k , а на свободной части средней гомологии имеется форма:

fH_{k}M\otimes fH_{k}M\to \mathbb {Z}

Напротив, для нечетного измерения n = 2 k + 1 , которое обсуждается реже, проще всего использовать нижнее среднее измерение k , и на торсионной части гомологии в этом измерении есть форма:

\tau H_{k}M\otimes \tau H_{k}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .

Однако существует также спаривание между свободной частью гомологии в нижнем среднем измерении k и в верхнем среднем измерении k + 1 :

fH_{k}M\otimes fH_{k+1}M\to \mathbb {Z} .

Полученные группы, хотя и не представляют собой единую группу с билинейной формой, представляют собой простой цепной комплекс и изучаются в алгебраической L-теории .

Приложения

Этот подход к двойственности Пуанкаре был использован Юзефом Пшитицким и Акирой Ясухарой, чтобы дать элементарную классификацию гомотопий и диффеоморфизмов трехмерных линзовых пространств . ^[2]

Приложение к эйлеровым характеристикам

Непосредственным результатом двойственности Пуанкаре является то, что любое замкнутое нечетномерное многообразие M имеет нулевую эйлерову характеристику , что, в свою очередь, дает, что любое ограничивающее многообразие имеет четную эйлерову характеристику.

Формулировка изоморфизма Тома

Двойственность Пуанкаре тесно связана с теоремой Тома об изоморфизме . Позволять $M$ — компактное ориентированное n -многообразие без границ, а M × M — произведение M на самого себя. Пусть V — открытая трубчатая окрестность диагонали в M × M . Рассмотрим карты:

$H_{*}M\otimes H_{*}M\to H_{*}(M\times M)$ гомологии векторное произведение
$H_{*}(M\times M)\to H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)$ включение.
$H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)\to H_{*}(\nu M,\partial \nu M)$ карта иссечения, где $\nu M$ — нормальный пучок дисков диагонали в $M\times M$ .
$H_{*}(\nu M,\partial \nu M)\to H_{*-n}M$ изоморфизм Тома . Эта карта четко определена, поскольку существует стандартная идентификация. $\nu M\equiv TM$ которое является ориентированным расслоением, поэтому применяется изоморфизм Тома.

В совокупности это дает карту $H_{i}M\otimes H_{j}M\to H_{i+j-n}M$ , который является продуктом пересечения , обобщающим продукт пересечения, обсуждавшийся выше. Аналогичный аргумент с теоремой Кюннета дает форму торсионного зацепления .

Эта формулировка двойственности Пуанкаре стала популярной. ^[3] поскольку он определяет двойственность Пуанкаре для любой обобщенной теории гомологии с учетом теоремы Кюннета и изоморфизма Тома для этой теории гомологии. Теорема Тома об изоморфизме для теории гомологии теперь рассматривается как обобщенное понятие ориентируемости этой теории. Например, вращение ^С-структура на многообразии является точным аналогом ориентации в комплексной топологической k-теории .

Обобщения и связанные с ними результаты

Теорема двойственности Пуанкаре –Лефшеца является обобщением многообразий с краем. В неориентируемом случае, учитывая пучок локальных ориентаций, можно дать утверждение, не зависящее от ориентируемости: см. скрученную двойственность Пуанкаре .

Двойственность Бланчфилда — это версия двойственности Пуанкаре, которая обеспечивает изоморфизм между гомологиями абелева накрывающего многообразия и соответствующими когомологиями с компактными носителями. Он используется для получения основных структурных результатов о модуле Alexander и может использоваться для определения сигнатур узла .

С развитием теории гомологии , включившей в себя К-теорию и другие необычные теории примерно с 1955 года, стало понятно, что гомология $H'_{*}$ могут быть заменены другими теориями, как только произведения на многообразиях будут построены; и теперь в целом существуют учебники по лечению. Более конкретно, существует общая теорема двойственности Пуанкаре для обобщенной теории гомологии , которая требует понятия ориентации относительно теории гомологии и формулируется в терминах обобщенной теоремы Тома об изоморфизме . Теорему Тома об изоморфизме в этом отношении можно рассматривать как основную идею двойственности Пуанкаре для обобщенных теорий гомологии.

Двойственность Вердье является подходящим обобщением для (возможно, сингулярных ) геометрических объектов, таких как аналитические пространства или схемы , в то время как гомология пересечений была разработана Робертом Макферсоном и Марком Горески для стратифицированных пространств , таких как вещественные или комплексные алгебраические многообразия, именно для того, чтобы обобщить Пуанкаре. двойственность к таким стратифицированным пространствам.

существует множество других форм геометрической двойственности В алгебраической топологии , включая двойственность Лефшеца , двойственность Александера , двойственность Ходжа и S-дуальность .

С более алгебраической точки зрения можно абстрагировать понятие комплекса Пуанкаре , который представляет собой алгебраический объект, который ведет себя как сингулярный цепной комплекс многообразия, в частности удовлетворяя двойственности Пуанкаре на его группах гомологий, относительно выделенного элемента (соответствующего фундаментальному классу ). Они используются в теории хирургии для алгебраизации вопросов о многообразиях. Пространство Пуанкаре — это пространство, сингулярный цепной комплекс которого является комплексом Пуанкаре. Это не все многообразия, но их неспособность быть многообразиями можно измерить с помощью теории препятствий .

См. также

Ссылки

^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521795401 . МР 1867354 .
^ Пшитицкий, Юзеф Х .; Ясухара, Акира (2003), «Симметрия связей и классификация пространств линз», Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi : 10.1023/A:1024008222682 , MR 1988423 , S2CID 14601373
^ Рудяк, Юлий (1998). О спектрах Тома, ориентируемости и кобордизме . Монографии Спрингера по математике. С предисловием Хейнса Миллера . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62043-5 . МР 1627486 .

Дальнейшее чтение

Бланчфилд, Ричард К. (1957), «Теория пересечения многообразий с операторами с приложениями к теории узлов», Annals of Mathematics , 65 (2): 340–356, doi : 10.2307/1969966 , JSTOR 1969966 , MR 0085512
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523

Внешние ссылки

Форма пересечения в Атласе многообразия
Форма связи в Атласе многообразия

[1] Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521795401 . МР 1867354 .

[2] Пшитицкий, Юзеф Х .; Ясухара, Акира (2003), «Симметрия связей и классификация пространств линз», Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi : 10.1023/A:1024008222682 , MR 1988423 , S2CID 14601373

[3] Рудяк, Юлий (1998). О спектрах Тома, ориентируемости и кобордизме . Монографии Спрингера по математике. С предисловием Хейнса Миллера . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62043-5 . МР 1627486 .

[1]

[2]

[3]