Подпись узла

Сигнатура узла является топологическим инвариантом в теории узлов . Его можно вычислить по поверхности Зейферта .

Учитывая узел K в 3-сфере , он имеет поверхность Зейферта S , границей которой является K . Форма Зейферта S - это спаривание $\phi :H_{1}(S)\times H_{1}(S)\to \mathbb {Z}$ дается путем взятия связующего номера $\operatorname {lk} (a^{+},b^{-})$ где $a,b\in H_{1}(S)$ и $a^{+},b^{-}$ укажите сдвиги a и b соответственно в положительном и отрицательном направлениях нормального расслоения к S .

Учитывая основу $b_{1},...,b_{2g}$ для $H_{1}(S)$ (где g — род поверхности) форма Зейферта может быть представлена ​​как 2g размером на 2g матрица Зейферта V , $V_{ij}=\phi (b_{i},b_{j})$. Подпись ​ матрицы $V+V^{t}$, рассматриваемый как симметричная билинейная форма, является сигнатурой узла K .

срезные узлы Известно, что имеют нулевую сигнатуру.

Формулировка модуля Александра

Сигнатуры узла также могут быть определены в терминах модуля Александера узла дополнения. Позволять $X$ — универсальное абелева накрытие узла-дополнения. Считайте модуль Александера первой группой гомологий универсального абелева накрытия дополнения к узлу: $H_{1}(X;\mathbb {Q} )$. Учитывая $\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]$-модуль $V$, позволять ${\overline {V}}$ обозначают $\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]$-модуль, лежащий в основе $\mathbb {Q}$-модуль $V$ но где $\mathbb {Z}$ действует посредством обратного накрывающего преобразования. Формулировка Бланчфилда двойственности Пуанкаре для $X$ дает канонический изоморфизм $H_{1}(X;\mathbb {Q} )\simeq {\overline {H^{2}(X;\mathbb {Q} )}}$ где $H^{2}(X;\mathbb {Q} )$ обозначает 2-ю группу когомологий $X$ с компактными носителями и коэффициентами в $\mathbb {Q}$. Теорема об универсальных коэффициентах для $H^{2}(X;\mathbb {Q} )$ дает канонический изоморфизм с $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}(H_{1}(X;\mathbb {Q} ),\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ])$ (поскольку модуль Александра $\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]$-торсион). Более того, как и в формулировке двойственности Пуанкаре в квадратичной форме , существует канонический изоморфизм $\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]$-модули $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}(H_{1}(X;\mathbb {Q} ),\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ])\simeq \operatorname {Hom} _{\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}(H_{1}(X;\mathbb {Q} ),[\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]/\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ])$, где $[\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]$ обозначает поле дробей $\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]$. Этот изоморфизм можно рассматривать как полуторалинейную пару двойственности. $H_{1}(X;\mathbb {Q} )\times H_{1}(X;\mathbb {Q} )\to [\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]/\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]$ где $[\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]$ обозначает поле дробей $\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]$. Эта форма принимает значение в рациональных многочленах, знаменателями которых являются многочлен Александера узла, который, как $\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]$-модуль изоморфен $\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]/\Delta K$. Позволять $tr:\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]/\Delta K\to \mathbb {Q}$ — любая линейная функция, инвариантная относительно инволюции $t\longmapsto t^{-1}$, то составление его с полуторалинейным спариванием двойственности дает симметричную билинейную форму на $H_{1}(X;\mathbb {Q} )$ сигнатура которого является инвариантом узла.

Все такие сигнатуры являются инвариантами согласования, поэтому все сигнатуры узлов срезов равны нулю. Полуторалинейная пара двойственности учитывает разложение в простые степени $H_{1}(X;\mathbb {Q} )$- то есть: разложение по простым степеням дает ортогональное разложение $H_{1}(X;\mathbb {R} )$. Черри Киртон показала, как вычислить сигнатурные инварианты Милнора из этого спаривания, которые эквивалентны инварианту Тристрама-Левина .

См. также

• Согласование ссылок

Ссылки

• К.Гордон, Некоторые аспекты классической теории узлов. Конспекты лекций Springer по математике 685. Proceedings Plans-sur-Bex, Швейцария, 1977.
• Дж. Хиллман, Алгебраические инварианты связей. Серия про узлы и все такое. Том 32. Мир науки.
• К. Киртон, Сигнатуры узлов и свободное дифференциальное исчисление, Кварт. Дж. Математика. Оксфорд (2), 30 (1979).
• Дж.Левин, Группы кобордизмов узлов в коразмерности два, Комментарий. Математика. Хелв. 44, 229–244 (1969)
• Дж.Милнор, Бесконечные циклические накрытия, Дж.Г. Хокинг, изд. Конф. по топологии многообразий, Приндл, Вебер и Шмидт, Бостон, Массачусетс, 1968, стр. 115–133.
• К. Мурасуги, О некотором числовом инварианте типов связей, Пер. амер. Математика. Соц. 117, 387–482 (1965)
• А.Раницкий О признаках узлов. Слайды лекции, прочитанной в Дареме 20 июня 2010 г.
• Х.Троттер , Гомологии групповых систем с приложениями к теории узлов, Ann. математики. (2) 76, 464–498 (1962)