Двойственность Лефшеца

В математике является двойственность Лефшеца версией двойственности Пуанкаре в геометрической топологии , применяемой к многообразию с краем . Такая формулировка была введена Соломоном Лефшецем ( 1926 ), одновременно вводя относительную гомологию , для применения к теореме Лефшеца о неподвижной точке . В настоящее время существует множество формулировок двойственности Лефшеца, двойственности Пуанкаре-Лефшеца или двойственности Александера-Лефшеца .

Составы

Пусть M — ориентируемое компактное многообразие размерности n с краем $\partial (M)$, и пусть $z\in H_{n}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )$ — фундаментальный класс многообразия M . Тогда произведение cap с z (или его двойственным классом в когомологиях) индуцирует спаривание (ко) групп M гомологий и относительных (ко) гомологий пары $(M,\partial (M))$. Кроме того, это приводит к изоморфизмам $H^{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )$ с $H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )$и из $H_{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )$ с $H^{n-k}(M;\mathbb {Z} )$ для всех $k$.

Здесь $\partial (M)$ на самом деле может быть пустым, поэтому двойственность Пуанкаре является частным случаем двойственности Лефшеца.

Есть версия для троек. Позволять $\partial (M)$ разлагаются на подпространства A и B ориентируемыми многообразиями с общей границей Z , которая является пересечением A и B. , которые сами являются компактными Тогда для каждого $k$, существует изоморфизм

$D_{M}\colon H^{k}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,B;\mathbb {Z} ).$

Ссылки

• «Lefschetz_duality» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Лефшец, Соломон (1926), «Преобразования многообразий с границей», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 12 (12), National Academy of Sciences: 737–739, doi : 10.1073/pnas. 12.12.737 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   84764 , PMC   1084792 , PMID   16587146