Формулировка ковариантного тензора Галилея

— Ковариантная тензорная формулировка Галилея это метод рассмотрения нерелятивистской физики с использованием расширенной группы Галилея в качестве группы представления теории. Он построен в световом конусе пятимерного многообразия.

Такахаши и др. в 1988 году начали исследование галилеевой симметрии , в ходе которого можно было разработать явно ковариантную нерелятивистскую теорию поля. Теория построена в световом конусе (4,1) пространства Минковского . Ранее, в 1985 г., Duval et al. построил аналогичную тензорную формулировку в контексте теории Ньютона-Картана . Некоторые другие авторы также разработали аналогичный тензорный формализм Галилея.

Галилеево многообразие

Преобразования Галилея – это

${\begin{aligned}\mathbf {x} '&=R\mathbf {x} -\mathbf {v} t+\mathbf {a} \\t'&=t+\mathbf {b} .\end{aligned}}$

где $R$ обозначает трехмерное евклидово вращение, $\mathbf {v}$ — относительная скорость, определяющая ускорение Галилея, a означает пространственный сдвиг, а b — временной сдвиг. Рассмотрим частицу свободной массы $m$; отношение массы оболочки определяется выражением $p^{2}-2mE=0$.

Затем мы можем определить 5-вектор,

$p^{\mu }=(p_{x},p_{y},p_{z},m,E)=(p_{i},m,E)$,

с $i=1,2,3$.

Таким образом, мы можем определить скалярное произведение типа

$p_{\mu }p_{\nu }g^{\mu \nu }=p_{i}p_{i}-p_{5}p_{4}-p_{4}p_{5}=p^{2}-2mE=k,$

где

$g^{\mu \nu }=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&-1\\0&0&0&-1&0\end{pmatrix}},$

является метрикой пространства-времени, а $p_{\nu }g^{\mu \nu }=p^{\mu }$.

Расширенная алгебра Галилея

Пятимерная алгебра Пуанкаре выходит из метрики $g^{\mu \nu }$ инвариант,

${\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=g_{\mu \rho }P_{\nu }-g_{\nu \rho }P_{\mu },\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=g_{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-g_{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-g_{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho },\end{aligned}}$

Мы можем записать генераторы как

${\begin{aligned}J_{i}&={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}M_{jk},\\K_{i}&=M_{5i},\\C_{i}&=M_{4i},\\D&=M_{54}.\end{aligned}}$

Тогда неисчезающие коммутационные соотношения будут переписаны в виде

${\begin{aligned}\left[J_{i},J_{j}\right]&=i\epsilon _{ijk}J_{k},\\\left[J_{i},C_{j}\right]&=i\epsilon _{ijk}C_{k},\\\left[D,K_{i}\right]&=iK_{i},\\\left[P_{4},D\right]&=iP_{4},\\\left[P_{i},K_{j}\right]&=i\delta _{ij}P_{5},\\\left[P_{4},K_{i}\right]&=iP_{i},\\\left[P_{5},D\right]&=-iP_{5},\\[4pt]\left[J_{i},K_{j}\right]&=i\epsilon _{ijk}K_{k},\\\left[K_{i},C_{j}\right]&=i\delta _{ij}D+i\epsilon _{ijk}J_{k},\\\left[C_{i},D\right]&=iC_{i},\\\left[J_{i},P_{j}\right]&=i\epsilon _{ijk}P_{k},\\\left[P_{i},C_{j}\right]&=i\delta _{ij}P_{4},\\\left[P_{5},C_{i}\right]&=iP_{i}.\end{aligned}}$

Важная подалгебра Ли — это

${\begin{aligned}[][P_{4},P_{i}]&=0\\[][P_{i},P_{j}]&=0\\[][J_{i},P_{4}]&=0\\[][K_{i},K_{j}]&=0\\\left[J_{i},J_{j}\right]&=i\epsilon _{ijk}J_{k},\\\left[J_{i},P_{j}\right]&=i\epsilon _{ijk}P_{k},\\\left[J_{i},K_{j}\right]&=i\epsilon _{ijk}K_{k},\\\left[P_{4},K_{i}\right]&=iP_{i},\\\left[P_{i},K_{j}\right]&=i\delta _{ij}P_{5},\end{aligned}}$

$P_{4}$ — генератор сдвигов времени ( гамильтониан ), Pi _— генератор пространственных сдвигов ( оператор импульса ), $K_{i}$ является генератором галилеевых бустов, а $J_{i}$ обозначает генератор вращений ( оператор углового момента ). Генератор $P_{5}$ является инвариантом Казимира и $P^{2}-2P_{4}P_{5}$ является дополнительным инвариантом Казимира . Эта алгебра изоморфна расширенной алгебре Галилея в (3+1) измерениях с $P_{5}=-M$, Центральный заряд , интерпретируемый как масса, и $P_{4}=-H$.

Третий инвариант Казимира имеет вид $W_{\mu \,5}W^{\mu }{}_{5}$, где $W_{\mu \nu }=\epsilon _{\mu \alpha \beta \rho \nu }P^{\alpha }M^{\beta \rho }$ является 5-мерным аналогом псевдовектора Паули–Любанского .

Структуры Баргмана

В 1985 году Дюваль, Бурде и Канцл показали, что четырехмерную теорию гравитации Ньютона-Картана можно переформулировать как редукцию Калуцы-Клейна пятимерной гравитации Эйнштейна вдоль нулевого направления. Используемая метрика такая же, как метрика Галилея, но со всеми положительными элементами.

$g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.$

Считается, что этот подъем полезен для нерелятивистских голографических моделей. Было показано, что гравитационные модели в этой системе точно рассчитывают прецессию Меркурия.

См. также

• Галилейская группа
• Теория представлений группы Галилея
• группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Псевдовектор Паули – Любанского