Группа рациональных точек единичного круга

В математике рациональными точками на единичном круге являются такие точки ( x , y ), что и x, и y являются рациональными числами («дробями») и удовлетворяют требованиям x. ² + и ² = 1. Множество таких точек оказывается тесно связанным с примитивными пифагоровыми тройками . Рассмотрим примитивный прямоугольный треугольник , то есть с целыми длинами сторон a , b , c , с гипотенузой c , такой, что стороны не имеют общего делителя, большего 1. Тогда на единичной окружности существует рациональная точка ( a / c , b / c ), что в комплексной плоскости равно a / c + ib / c , где i — мнимая единица . И наоборот, если ( x , y ) — рациональная точка единичного круга в 1-м квадранте системы координат (т. е. x > 0, y > 0), то существует примитивный прямоугольный треугольник со сторонами xc , yc , c , где c — наименьшее общее кратное знаменателей x и y . Существует соответствие между точками ( a , b ) в плоскости x - y и точками a + ib в комплексной плоскости, которая используется ниже.

Групповая операция

Множество рациональных точек на единичной окружности, сокращенной G в этой статье, образует бесконечную абелеву группу при вращениях. Единичным элементом является точка (1, 0) = 1 + i 0 = 1. Групповая операция или «произведение» — это ( x , y ) * ( t , u ) = ( xt − uy , xu + yt ). Это произведение представляет собой сложение углов, поскольку x = cos ( A ) и y = sin ( A ), где A — угол, который вектор ( x , y ) образует с вектором (1,0), измеренный против часовой стрелки. Таким образом, если ( x , y ) и ( t , u ) образуют углы A и B с (1, 0) соответственно, их произведение ( xt − uy , xu + yt ) является просто рациональной точкой на единичном круге, образующем угол A. + B с (1, 0). Групповую операцию проще выразить с помощью комплексных чисел: идентифицируя точки ( x , y ) и ( t , u ) с помощью x + iy и t + iu соответственно, групповой продукт выше представляет собой просто обычное умножение комплексных чисел ( x + iy )( t + iu ) = xt − yu + i ( xu + yt ), что соответствует точке ( xt − uy , xu + yt ), как указано выше.

Пример

3/5 + 4/5 i и 5/13 + 12/13 i (которые соответствуют двум самым известным тройкам Пифагора (3,4,5) и (5,12,13)) являются рациональными точками на единичном круге. в комплексной плоскости и, таким образом, являются элементами G . Их групповое произведение равно −33/65 + 56/65 i , что соответствует тройке Пифагора (33,56,65). Сумма квадратов числителей 33 и 56 равна 1089+3136=4225, что является квадратом знаменателя 65.

Другие способы описания группы

G\cong \mathrm {SO} (2,\mathbb {Q} ).

Множество всех матриц вращения 2×2 с рациональными элементами совпадает с G. Это следует из того, что группа окружностей $S^{1}$ изоморфен $\mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )$ , и тот факт, что их рациональные точки совпадают.

Структура группы

Структура G представляет собой бесконечную сумму циклических групп . через G ₂ Обозначим подгруппу группы G , порожденную точкой 0 + 1 i . G ₂ — циклическая подгруппа порядка 4. Для простого числа p вида 4 k + 1 обозначим через G _p подгруппу элементов со знаменателем p ^н где n — неотрицательное целое число. G _p — бесконечная циклическая группа, и точка ( a ² − б ²)/ p + (2 ab / p ) i является генератором G _p . Более того, факторизируя знаменатели элемента G , можно показать, что G является прямой суммой G ₂ и G _p . То есть:

G\cong G_{2}\oplus \bigoplus _{p\,\equiv \,1\,({\text{mod }}4)}G_{p}.

Поскольку это прямая сумма, а не прямое произведение , только конечное число значений в G _p s ненулевые.

Пример

Рассматривая G как бесконечную прямую сумму, рассмотрим элемент ({ 0 }; 2, 0, 1, 0, 0, ..., 0, ...), где первая координата 0 находится в C ₄ , а другие координаты дают полномочия ( а ² − б ²)/ p ( r ) + i 2 ab / p ( r ), где p ( r ) — r- е простое число вида 4 k + 1. Тогда это соответствует в G рациональной точке (3/5 + я 4/5) ² ⋅ (17.08 + 15.17 ) ¹ = −416/425 + i87/425. Знаменатель 425 является произведением знаменателя 5 дважды, а знаменателя 17 один раз, и, как и в предыдущем примере, квадрат числителя -416 плюс квадрат числителя 87 равен квадрату знаменателя 425. следует также отметить, в качестве связи, которая поможет сохранить понимание, что знаменатель 5 = p (1) — это 1-е простое число формы 4 k + 1, а знаменатель 17 = p (3) — это 3-е простое число формы 4 k + 1.

Группа рациональных точек единичной гиперболы

существует тесная связь Между этой группой единичной гиперболы и рассмотренной выше группой . Если ${\frac {a+ib}{c}}$ — рациональная точка на единичной окружности, где a / c и b / c — приведенные дроби , то ( c / a , b / a ) — рациональная точка на единичной гиперболе, так как $(c/a)^{2}-(b/a)^{2}=1,$ удовлетворяющее уравнению для единичной гиперболы. Групповая операция здесь $(x,y)\times (u,v)=(xu+yv,xv+yu),$ и групповая идентичность — это та же точка (1, 0), что и выше. В этой группе существует тесная связь с гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом , что параллельно связи с косинусом и синусом в группе единичных кругов выше.

Копии внутри большей группы

Существуют изоморфные копии обеих групп как подгруппы (и как геометрические объекты) группы рациональных точек абелева многообразия в четырехмерном пространстве, заданной уравнением $w^{2}+x^{2}-y^{2}+z^{2}=0.$ Обратите внимание, что это многообразие представляет собой набор точек с метрикой Минковского относительно начала координат, равной 0. Тождество в этой большей группе — (1, 0, 1, 0), а групповая операция — $(a,b,c,d)\times (w,x,y,z)=(aw-bx,ax+bw,cy+dz,cz+dy).$

Для группы на единичной окружности подходящей подгруппой является подгруппа точек вида ( w , x , 1, 0) с $w^{2}+x^{2}=1,$ и его единичный элемент — (1, 0, 1, 0). Группа единичных гипербол соответствует точкам вида (1, 0, y , z ), причем $y^{2}-z^{2}=1,$ и тождество снова (1, 0, 1, 0). (Конечно, поскольку они являются подгруппами более крупной группы, они обе должны иметь один и тот же элемент идентичности.)

См. также

Группа кругов

Ссылки

Группа рациональных точек на единичном круге [1] , Лин Тан, Mathematics Magazine Vol. 69, № 3 (июнь 1996 г.), стр. 163–171.
Группа примитивных треугольников Пифагора [2] , Эрнест Дж. Эккерт, журнал Mathematics, том 57, № 1 (январь 1984 г.), стр. 22–26.
«Рациональные точки на эллиптических кривых» Джозеф Сильверман