Периодическая таблица топологических инвариантов

Периодическая таблица топологических инвариантов представляет собой приложение топологии к физике . Он указывает группу топологических инвариантов топологических изоляторов и топологических сверхпроводников в каждом измерении и в каждом дискретном классе симметрии.

Дискретные классы симметрии

Существует десять дискретных классов симметрии топологических изоляторов и сверхпроводников, соответствующих десяти классам случайных матриц Альтланда – Цирнбауэра . Они определяются тремя симметриями гамильтониана ${\hat {H}}=\sum _{i,j}H_{ij}c_{i}^{\dagger }c_{j}$, (где $c_{i}$, и $c_{i}^{\dagger }$, являются операторами уничтожения и создания режима $i$в некотором произвольном пространственном базисе): симметрия обращения времени, симметрия дырочной частицы (или зарядового сопряжения) и киральная (или подрешеточная) симметрия.

Киральная симметрия - унитарный оператор $S$, который действует на $c_{i}$, как унитарное вращение ( $Sc_{i}S^{-1}=(U_{S})_{ij}c_{j}$,) и удовлетворяет $S^{2}=1$. Гамильтониан $H$ обладает киральной симметрией, когда $S{\hat {H}}S^{-1}=-{\hat {H}}$, для некоторого выбора $S$ (на уровне гамильтонианов первого квантования это означает $U_{S}$ и $H$ являются антикоммутирующими матрицами).

Обращение времени является антиунитарным оператором. $T$, который действует на $\alpha c_{i}$, (где $\alpha$, – произвольный комплексный коэффициент, а $^{*}$, обозначает комплексное сопряжение) как $T\alpha c_{i}T^{-1}=\alpha ^{*}{(U_{T})}_{ij}c_{j}$. Это можно записать как $T=U_{T}{\mathcal {K}}$ где ${\mathcal {K}}$ – оператор комплексного сопряжения и $U_{T}$ является унитарной матрицей. Или $T^{2}=1$ или $T^{2}=-1$. Гамильтониан с симметрией обращения времени удовлетворяет $T{\hat {H}}T^{-1}={\hat {H}}$, или на уровне первично квантованных матриц, $U_{T}H^{*}U_{T}^{-1}=H$, для некоторого выбора $U_{T}$.

Сопряжение зарядов $C$ также является антиунитарным оператором, действующим на $\alpha c_{i}$ как $C\alpha c_{i}C^{-1}=\alpha ^{*}(U_{C}^{\dagger })_{ji}c_{j}$, и может быть записано как $C=U_{C}{\mathcal {K}}$ где $U_{C}$ является унитарным. Опять же $C^{2}=1$ или $C^{2}=-1$ в зависимости от того, что $U_{C}$ является. Гамильтониан с симметрией частиц и дырок удовлетворяет условию $C{\hat {H}}C^{-1}=-{\hat {H}}$, или на уровне гамильтоновых матриц первого квантования, $U_{C}H^{*}U_{C}^{-1}=-H$, для некоторого выбора $U_{C}$.

В формализме гамильтониана Блоха для периодических кристаллов, где гамильтониан $H(k)$ действует на моды импульса кристалла $k$, условия киральной симметрии, TRS и PHS становятся $U_{S}H(k)U_{S}^{-1}=-H(k)$, $U_{T}H(k)^{*}U_{T}^{-1}=H(-k)$ и $U_{C}H(k)^{*}U_{C}^{-1}=-H(-k)$.

Очевидно, что если имеются две из этих трёх симметрий, то имеется и третья в силу соотношения $S=TC$.

Вышеупомянутые дискретные симметрии обозначают 10 различных дискретных классов симметрии, которые совпадают с классами случайных матриц Альтланда – Цирнбауэра.

Класс симметрии	Симметрия обращения времени	Симметрия дырок частиц	Киральная симметрия
А	Нет	Нет	Нет
III	Нет	Нет	Да
ИИ	Да, $T^{2}=1$	Нет	Нет
БДИ	Да, $T^{2}=1$	Да, $C^{2}=1$	Да
Д	Нет	Да, $C^{2}=1$	Нет
ДIII	Да, $T^{2}=-1$	Да, $C^{2}=1$	Да
АII	Да, $T^{2}=-1$	Нет	Нет
CII	Да, $T^{2}=-1$	Да, $C^{2}=-1$	Да
С	Нет	Да, $C^{2}=-1$	Нет
ТАМ	Да, $T^{2}=1$	Да, $C^{2}=-1$	Да

Классы эквивалентности гамильтонианов

Объемный гамильтониан в определенной группе симметрии ограничен до того, чтобы быть эрмитовой матрицей без собственных значений с нулевой энергией (т.е. так, чтобы спектр был «щелевым», а система представляла собой объемный изолятор), удовлетворяющей ограничениям симметрии группы. В случае $d>0$ размеров, этот гамильтониан является непрерывной функцией $H(k)$ принадлежащий $d$ параметры вектора импульса Блоха ${\vec {k}}$ в зоне Бриллюэна ; тогда ограничения симметрии должны выполняться для всех ${\vec {k}}$.

Учитывая два гамильтониана $H_{1}$ и $H_{2}$, можно непрерывно деформировать $H_{1}$ в $H_{2}$ при сохранении ограничения симметрии и разрыва (т. е. существует непрерывная функция $H(t,{\vec {k}})$ такой, что для всех $0\leq t\leq 1$ гамильтониан не имеет нулевого собственного значения и сохраняется условие симметрии, и $H(0,{\vec {k}})=H_{1}({\vec {k}})$ и $H(1,{\vec {k}})=H_{2}({\vec {k}})$). Тогда мы говорим, что $H_{1}$ и $H_{2}$ эквивалентны.

Однако может оказаться и так, что такой непрерывной деформации не существует. в этом случае физически, если два материала с объемными гамильтонианами $H_{1}$ и $H_{2}$соответственно, соседствуют друг с другом с ребром между ними, при непрерывном движении через ребро необходимо встретить нулевое собственное значение (поскольку не существует непрерывного преобразования, позволяющего избежать этого). Это может проявляться в виде бесщелевой краевой моды с нулевой энергией или электрического тока, который течет только вдоль края.

Интересный вопрос состоит в том, чтобы задать, учитывая класс симметрии и размерность зоны Бриллюэна, каковы все классы эквивалентности гамильтонианов. Каждый класс эквивалентности может быть помечен топологическим инвариантом; два гамильтониана, топологические инварианты которых различны, не могут быть деформированы друг в друга и принадлежат разным классам эквивалентности.

Классификация пространств гамильтонианов

Для каждого из классов симметрии вопрос можно упростить, деформировав гамильтониан в «проективный» гамильтониан и рассмотрев симметрическое пространство, в котором живут такие гамильтонианы. Эти классифицирующие пространства показаны для каждого класса симметрии:

Класс симметрии	Классификация пространства	$\pi _{0}$классификационного пространства
А	$\bigcup _{n}U(N)/(U(N-n)\times U(n))$	$\mathbb {Z}$
III	$U(N)$	$0$
ИИ	$\bigcup _{n}O(N)/(O(N-n)\times O(n))$	$\mathbb {Z}$
БДИ	$O(N)$	$\mathbb {Z} _{2}$
Д	$O(2N)/U(N)$	$\mathbb {Z} _{2}$
ДIII	$U(N)/Sp(N)$	$0$
АII	$\bigcup _{n}Sp(N)/(Sp(N-n)\times Sp(n))$	$\mathbb {Z}$
CII	$Sp(N)$	$0$
С	$Sp(2N)/U(N)$	$0$
ТАМ	$U(N)/O(N)$	$0$

Например, (действительный симметричный) гамильтониан в классе симметрии AI может иметь $n$ положительные собственные значения, деформированные до +1, и его $N-n$ отрицательные собственные значения деформируются до -1; полученные такие матрицы описываются объединением действительных грассманианов $\bigcup _{n=0}^{\infty }Gr(n,N)=\bigcup _{n=0}^{\infty }O(N)/O(n)\times O(N-n)$

Классификация инвариантов

Сильные топологические инварианты многозонной системы в $d$ размеры могут быть помечены элементами $d$-я гомотопическая группа симметрического пространства. Эти группы отображены в этой таблице, называемой периодической таблицей топологических изоляторов:

Класс симметрии	$d=0$	$d=1$	$d=2$	$d=3$	$d=4$	$d=5$	$d=6$	$d=7$	$d=8$
А	$\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z}$
III	$0$	$\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z}$	$0$
ИИ	$\mathbb {Z}$	$0$	$0$	$0$	$2\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z}$
БДИ	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z}$	$0$	$0$	$0$	$2\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{2}$
Д	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z}$	$0$	$0$	$0$	$2\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z} _{2}$
ДIII	$0$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z}$	$0$	$0$	$0$	$2\mathbb {Z}$	$0$
АII	$2\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z}$	$0$	$0$	$0$	$2\mathbb {Z}$
CII	$0$	$2\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z}$	$0$	$0$	$0$
С	$0$	$0$	$2\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z}$	$0$	$0$
ТАМ	$0$	$0$	$0$	$2\mathbb {Z}$	$0$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z}$	$0$

Могут существовать и слабые топологические инварианты (связанные с тем, что подвеска зоны Бриллюэна фактически эквивалентна $d+1$ сфера, зажатая сферами меньшей размерности), которые не включены в эту таблицу. Кроме того, в таблице предполагается предел бесконечного числа полос, т.е. $N\times N$ гамильтонианы для $N\to \infty$.

Таблица также является периодической в ​​том смысле, что группа инвариантов в $d$ размерности такая же, как и группа инвариантов в $d+8$ размеры. В случае отсутствия антиунитарных симметрий инвариантные группы периодичны по размерности 2.

Для нетривиальных классов симметрии действительный инвариант может быть определен одним из следующих интегралов по всей или части зоны Бриллюэна: число Черна , число обмотки Весса-Зумино , инвариант Черна-Саймонса , инвариант Фу-Кейна.

Уменьшение размеров и часы Ботта

Таблица Менделеева также обладает своеобразным свойством: инвариантные группы в $d$ размеры идентичны размерам $d-1$ размеров, но в другом классе симметрии. Среди комплексных классов симметрии инвариантная группа A в $d$ размеры такие же, как у AIII в $d-1$ размеры и наоборот. Можно также представить себе расположение каждого из восьми действительных классов симметрии на декартовой плоскости так, что $x$ координата $T^{2}$ если присутствует симметрия обращения времени и $0$ если он отсутствует и $y$ координата $C^{2}$ если присутствует дырочная симметрия частицы и $0$ если он отсутствует. Тогда инвариантная группа в $d$ размерности для определенного вещественного класса симметрии совпадает с инвариантной группой в $d-1$ размеры для класса симметрии ровно на один пробел по часовой стрелке. «часами Ботта» Это явление было названо Алексеем Китаевым в связи с теоремой о периодичности Ботта .

Часы Ботта можно понять, рассмотрев проблему расширений алгебры Клиффорда . Вблизи границы раздела двух неэквивалентных объемных материалов гамильтониан приближается к закрытию щели. Для расширения наименьшего порядка по импульсу, немного дальше от закрытия щели, гамильтониан принимает форму гамильтониана Дирака. $H_{\text{Dirac}}({\vec {k}})=\sum _{j=1}^{d}\Gamma _{j}v_{j}k_{j}+m\Gamma _{0}$. Здесь, $\Gamma _{1},\Gamma _{2},\ldots ,\Gamma _{d}$ являются представлением алгебры Клиффорда $\lbrace \Gamma _{i},\Gamma _{j}\rbrace =2\delta _{ij}$, пока $m\Gamma _{0}$ представляет собой добавленный «массовый член», который антикоммутирует с остальной частью гамильтониана и исчезает на границе раздела (таким образом давая интерфейсу бесщелевую краевую моду на $k=0$). $m\Gamma _{0}$ Член гамильтониана на одной стороне границы раздела не может непрерывно деформироваться в $m\Gamma _{0}$ член для гамильтониана на другой стороне границы. Таким образом (позволяя $m$ — произвольный положительный скаляр) проблема классификации топологических инвариантов сводится к задаче классификации всех возможных неэквивалентных вариантов выбора $\Gamma _{0}$ расширить алгебру Клиффорда до одного более высокого измерения, сохраняя при этом ограничения симметрии.

См. также

• Топологический порядок, защищенный симметрией

Ссылки

• Альтланд, Александр; Цирнбауэр, Мартин Р. (1997). «Новые классы симметрии в мезоскопических гибридных структурах нормального сверхпроводника». Физический обзор B . 55 (2): 1142. arXiv : cond-mat/9602137 . Бибкод : 1997PhRvB..55.1142A . дои : 10.1103/PhysRevB.55.1142 . S2CID   96427496 .

Внешние ссылки

• Баэз, Джон К. (19 июля 2014 г.). «Десятькратный путь (Часть 1)» . Кафе «Н-Категория» . Проверено 26 октября 2018 г.