Соединение ягод и кривизна

В физике связь Берри и кривизна Берри являются связанными понятиями, которые можно рассматривать соответственно как локальный калибровочный потенциал и калибровочное поле, связанные с фазой Берри или геометрической фазой. Эту концепцию впервые представил С. Панчаратнам. как геометрическую фазу , а затем тщательно объясненный и популяризированный Майклом Берри в статье, опубликованной в 1984 году. подчеркивая, что геометрические фазы обеспечивают мощную объединяющую концепцию в нескольких областях классической и квантовой физики .

Фаза Берри и циклическая адиабатическая эволюция

В квантовой механике фаза Берри возникает в результате циклической адиабатической эволюции. Квантовая адиабатическая теорема применима к системе, гамильтониан которой $H(\mathbf {R} )$ зависит от (векторного) параметра $\mathbf {R}$ это меняется со временем $t$. Если $n$'-е собственное значение $\varepsilon _{n}(\mathbf {R} )$ остается невырожденным всюду по пути и изменяется со временем t достаточно медленно, то система первоначально находится в нормированном собственном состоянии $|n(\mathbf {R} (0))\rangle$ останется в мгновенном собственном состоянии $|n(\mathbf {R} (t))\rangle$ гамильтониана $H(\mathbf {R} (t))$, до определенного этапа, на протяжении всего процесса. Что касается фазы, состояние в момент времени t можно записать как $$|\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \over \hbar }\int _{0}^{t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,$$ где второй экспоненциальный член представляет собой «динамический фазовый коэффициент». Первый экспоненциальный член является геометрическим членом, при этом $\gamma _{n}$ является фазой Берри. Из требования, чтобы государство $|\Psi _{n}(t)\rangle$ удовлетворяет зависящему от времени уравнению Шрёдингера , можно показать, что $$\gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{d \over dt'}|n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,$$ указывая на то, что фаза Берри зависит только от пути в пространстве параметров, а не от скорости прохождения пути.

В случае циклической эволюции по замкнутому пути ${\mathcal {C}}$ такой, что $\mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)$, фаза Берри замкнутого пути равна $$\gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle .$$ Примером физических систем, где электрон движется по замкнутому пути, является циклотронное движение (подробности приведены на странице Фаза Берри ). Для получения правильного условия квантования необходимо учитывать фазу Берри.

Преобразование калибра

Калибровочное преобразование может быть выполнено $$|{\tilde {n}}(\mathbf {R} )\rangle =e^{-i\beta (\mathbf {R} )}|n(\mathbf {R} )\rangle$$ к новому набору состояний, отличающихся от исходных лишь $\mathbf {R}$-зависимый фазовый коэффициент. Это изменяет фазу Берри с открытым путем, чтобы она стала ${\tilde {\gamma }}_{n}(t)=\gamma _{n}(t)+\beta (t)-\beta (0)$. Для замкнутого пути непрерывность требует, чтобы $\beta (T)-\beta (0)=2\pi m$ ( $m$ целое число), и отсюда следует, что $\gamma _{n}$ инвариантен по модулю $2\pi$, при произвольном калибровочном преобразовании.

Ягодная связь

Фаза Берри замкнутого пути, определенная выше, может быть выражена как $$\gamma _{n}=\int _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \cdot {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )$$ где $${\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )=i\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle$$ — векторная функция, известная как связь Берри (или потенциал Берри). Связность Берри зависит от калибра и преобразуется как ${\tilde {\mathcal {A}}}_{n}(\mathbf {R} )={\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )+\nabla _{\mathbf {R} \,}\beta (\mathbf {R} )$. Отсюда и местная связь с Берри. ${\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )$ никогда не может быть физически наблюдаемым. Однако его интеграл по замкнутому пути, фазе Берри $\gamma _{n}$, является калибровочно-инвариантным с точностью до целого числа, кратного $2\pi$. Таким образом, $e^{i\gamma _{n}}$ абсолютно калибровочно-инвариантен и может быть связан с физическими наблюдаемыми.

Кривизна ягоды

Кривизна Берри представляет собой антисимметричный тензор второго ранга, полученный из связности Берри через $$\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )={\partial \over \partial R^{\mu }}{\mathcal {A}}_{n,\nu }(\mathbf {R} )-{\partial \over \partial R^{\nu }}{\mathcal {A}}_{n,\mu }(\mathbf {R} ).$$ В трехмерном пространстве параметров кривизну Берри можно записать в псевдовекторной форме $$\mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} )=\nabla _{\mathbf {R} }\times {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} ).$$ Тензорная и псевдовекторная формы кривизны Берри связаны друг с другом через Леви-Чивита следующим образом: антисимметричный тензор $\Omega _{n,\mu \nu }=\epsilon _{\mu \nu \xi }\,\mathbf {\Omega } _{n,\xi }$. В отличие от связи Берри, которая является физической только после интегрирования по замкнутому пути, кривизна Берри представляет собой калибровочно-инвариантное локальное проявление геометрических свойств волновых функций в пространстве параметров и оказалась важным физическим компонентом для понимание различных электронных свойств.

Для закрытого пути ${\mathcal {C}}$ которая образует границу поверхности ${\mathcal {S}}$, фазу Берри по замкнутому пути можно переписать с помощью теоремы Стокса как $$\gamma _{n}=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} ).$$ Если поверхность является замкнутым многообразием, граничный член исчезает, но неопределенность граничного члена по модулю $2\pi$ проявляется в теореме Черна , которая утверждает, что интеграл от кривизны Берри по замкнутому многообразию квантуется в единицах $2\pi$. Это число является так называемым числом Черна и важно для понимания различных эффектов квантования.

Наконец, используя $\left\langle n|\partial H/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle =\left\langle \partial n/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle (\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})$ для $n\neq n'$, кривизну Берри можно также записать в виде суммирования по всем остальным собственным состояниям в виде $$\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=i\sum _{n'\neq n}{\frac {1}{(\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})^{2}}}{\left(\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n\right\rangle -\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n\right\rangle \right)}.$$ Обратите внимание, что на кривизну n-го энергетического уровня влияют все остальные энергетические уровни. То есть кривизна Берри может рассматриваться как результат остаточного взаимодействия эти спроецированные собственные состояния. Это дает локальный закон сохранения для Берри. кривизна, $\sum _{n}\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=0,$ если мы суммируем по всем возможным уровням энергии для каждого значения $\mathbf {R} .$ Это уравнение также дает то преимущество, что не используется дифференцирование собственных состояний, и, следовательно, его можно рассчитывается при любом выборе калибра.

Пример: Спинор в магнитном поле.

Гамильтониан частицы со спином 1/2 в магнитном поле можно записать как $$H=\mu \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {B} ,$$ где $\mathbf {\sigma }$ обозначим матрицы Паули , $\mu$ — магнитный момент , а B — магнитное поле. В трех измерениях собственные состояния имеют энергии $\pm \mu B$ и их собственные векторы $$|u_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}\sin {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\-\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix}},|u_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\\sin {\theta \over 2}\end{pmatrix}}.$$ Теперь рассмотрим $|u_{-}\rangle$ состояние. Его связность Берри можно вычислить как ${\textstyle {\mathcal {A}}_{\theta }=\langle u_{-}|i{\frac {1}{r}}\partial _{\theta }|u_{-}\rangle =0,}$ ${\mathcal {A}}_{\phi }=\langle u_{-}|i{\tfrac {1}{r\sin {\theta }}}\partial _{\phi }|u_{-}\rangle ={\frac {\sin ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}$, а кривизна Берри равна $\ \Omega _{r}={\frac {1}{r\sin {\theta }}}[\partial _{\theta }({\mathcal {A}}_{\phi }\sin {\theta })-\partial _{\phi }{\mathcal {A}}_{\theta }]{\hat {r}}={\frac {1}{2r^{2}}}{\hat {r}}.$ Если мы выберем новую калибровку, умножив $|u_{-}\rangle$ к $e^{i\phi }$ (или любой другой этап $e^{i\alpha \phi }$, $\alpha \in \mathbb {R}$), связи Берри ${\mathcal {A}}_{\theta }=0$ и ${\mathcal {A}}_{\phi }=-{\frac {\cos ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}$, а кривизна Берри остается прежней. Это согласуется с выводом о том, что связность Берри зависит от калибра, а кривизна Берри — нет.

Кривизна Берри на телесный угол определяется выражением ${\overline {\Omega }}_{\theta \phi }=\Omega _{\theta \phi }/\sin \theta =1/2$. В этом случае фаза Берри, соответствующая любому заданному пути на единичной сфере ${\mathcal {S}}^{2}$ в пространстве магнитного поля составляет лишь половину телесного угла, образующего траекторию. Таким образом, интеграл кривизны Берри по всей сфере в точности равен $2\pi$, так что число Черна равно единице, что соответствует теореме Черна.

Применение в кристаллах

Фаза Берри играет важную роль в современных исследованиях электронных свойств кристаллических твердых тел. и в теории квантового эффекта Холла . Периодичность кристаллического потенциала позволяет применить теорему Блоха , которая утверждает, что собственные состояния Гамильтона принимают вид $$\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),$$ где $n$ это индекс группы, $\mathbf {k}$ волновой вектор в обратном пространстве ( зоне Бриллюэна ), и $u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ является периодической функцией $\mathbf {r}$. В силу трансляционной симметрии оператор импульса ${\hat {p}}_{i}$ можно заменить на ${\frac {m}{\hbar }}\partial H/\partial k_{i}$ заменой Пайерлса и волновым вектором $\mathbf {k}$ играет роль параметра $\mathbf {R}$. Таким образом, можно определить фазы Берри, связи и кривизны в обратном пространстве. Например, в N-диапазонная система, связь Берри n-й зоны в обратном пространстве равна $${\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {k} )=i\langle u_{n\mathbf {k} }|\nabla _{\mathbf {k} }|u_{n\mathbf {k} }\rangle .$$ В системе кривизна Берри n-й зоны $\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {k} )$ задается всеми остальными N − 1 полосами для каждого значения $\mathbf {k} .$ В 2D-кристалле кривизна Берри имеет только компонент выходит из плоскости и ведет себя как псевдоскаляр. Это связано с тем, что трансляционная симметрия в плоскости существует только тогда, когда трансляционная симметрия нарушена вдоль направления z для двумерного кристалла. Поскольку из теоремы Блоха также следует, что обратное пространство само по себе замкнуто, а зона Бриллюэна имеет топологию трехмерного тора, требования интегрирования по замкнутому контуру или многообразию могут быть легко удовлетворены. Таким образом, такие свойства, как электрическая поляризация , орбитальная намагниченность , аномальная холловская проводимость и орбитальная магнитоэлектрическая связь, могут быть выражены через фазы Берри, связи и кривизны.

Внешние ссылки

• Квантовая фаза, пять лет спустя. М. Берри.
• Фазы Берри и кривизны в теории электронных структур. Доклад Д. Вандербильта.
• Берриология, орбитальные магнитоэлектрические эффекты и топологические изоляторы - Доклад Д. Вандербильта.