Модель АКЛТ

В физике конденсированного состояния модель AKLT , также известная как модель Аффлека-Кеннеди-Либа-Тасаки, является расширением одномерной квантовой спиновой модели Гейзенберга . Предложение и точное решение этой модели Яна Аффлека , Эллиота Х. Либа , Тома Кеннеди и Хэла Тасаки дал решающее понимание физики цепочки Гейзенберга со спином 1. Он также послужил полезным примером для таких концепций, как твердый порядок валентных связей, топологический порядок, защищенный симметрией. и волновые функции состояния матричного продукта.

Фон

Основным мотивом для модели AKLT была цепочка Маджумдара-Гоша . Поскольку два из каждого набора из трех соседних спинов в основном состоянии Маджумдара-Гоша спарены в синглетную или валентную связь, никогда нельзя обнаружить, что три спина вместе находятся в состоянии со спином 3/2. Фактически гамильтониан Маджумдара–Гоша представляет собой не что иное, как сумму всех проекторов трех соседних спинов в состояние 3/2.

Основная идея статьи AKLT заключалась в том, что эту конструкцию можно обобщить для получения точно решаемых моделей для размеров спина, отличных от 1/2. Подобно тому, как один конец валентной связи имеет спин 1/2, концы двух валентных связей могут быть объединены в спин 1, три — в спин 3/2 и т. д.

Определение

Аффлек и др. были заинтересованы в построении одномерного состояния с валентной связью между каждой парой узлов. Поскольку это приводит к двум спинам 1/2 для каждого узла, результатом должна быть волновая функция системы со спином 1.

Для каждой соседней пары спинов 1 два из четырех составляющих спинов 1/2 застревают в состоянии полного спина, равного нулю. Следовательно, каждой паре спинов 1 запрещено находиться в объединенном состоянии спина 2. Записав это условие как сумму проекторов, которые благоприятствуют состоянию спина 2 пар спинов 1, AKLT пришел к следующему гамильтониану

${\hat {H}}=\sum _{\langle ij\rangle }{\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}\sim \sum _{j}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1})^{2}$

до константы, где ${\textstyle {\vec {S_{i}}}}$ являются операторами спина 1, а ${\textstyle {\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}}$ локальный двухточечный проектор, который благоприятствует состоянию спина 2 соседней пары спинов.

Этот гамильтониан подобен одномерной квантовой спиновой модели Гейзенберга со спином 1, но имеет дополнительный «биквадратичный» член спинового взаимодействия.

Основное состояние

По построению основное состояние гамильтониана AKLT представляет собой твердое тело с единственной валентной связью, соединяющей каждую соседнюю пару узлов. Графически это можно представить как

Здесь сплошные точки представляют спины 1/2, которые переведены в синглетные состояния. Линии, соединяющие спины 1/2, представляют собой валентные связи, указывающие на структуру синглетов. Овалы представляют собой операторы проектирования, которые «связывают» вместе два спина 1/2 в один спин 1, проецируя спин 0 или синглетное подпространство и сохраняя только спин 1 или триплетное подпространство. Символы «+», «0» и «-» обозначают стандартные базисные состояния спина 1 (собственные состояния $S^{z}$ оператор).

Краевые состояния спина 1/2

Для случая спинов, расположенных в кольце (периодические граничные условия), конструкция AKLT дает единственное основное состояние. Но для случая открытой цепи первое и последний спин 1 имеет только одного соседа, поэтому один из составляющих его спинов 1/2 остается непарным. В результате концы цепочки ведут себя как 1/2 момента свободного вращения, хотя система состоит только из спина 1.

Краевые состояния со спином 1/2 цепочки AKLT можно наблюдать несколькими различными способами. Для коротких цепей краевые состояния смешиваются в синглет или триплет, образуя либо уникальное основное состояние, либо тройной мультиплет основных состояний. Для более длинных цепочек краевые состояния быстро отделяются экспоненциально в зависимости от длины цепи, что приводит к четырехкратному вырождению многообразия основных состояний. Используя численный метод, такой как DMRG, для измерения локальной намагниченности вдоль цепи, также можно напрямую увидеть краевые состояния и показать, что их можно удалить, поместив на концах действительный спин 1/2. Краевые состояния со спином 1/2 оказалось даже возможным обнаружить при измерениях квазиодномерного магнитного соединения, содержащего небольшое количество примесей, роль которых состоит в разрыве цепочек на конечные сегменты. В 2021 году прямая спектроскопическая подпись краевых состояний со спином 1/2 была обнаружена в изолированных квантовых спиновых цепочках, построенных из триангулена , полициклического ароматического углеводорода со спином 1 .

Представление состояния матричного продукта

Простота основного состояния AKLT позволяет представить его в компактной форме в виде состояния матричного произведения .Это волновая функция вида

$|\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N}}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .$

Здесь As представляет собой набор из трех матриц, обозначенных $s_{j}$ и след возникает из-за предположения периодических граничных условий.

Волновая функция основного состояния AKLT соответствует выбору:

$A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}$

$A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}$

$A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}$

где $\sigma$ является матрицей Паули .

Обобщения и расширения

Модель AKLT решена на решетках более высокой размерности. даже в квазикристаллах . Модель также была построена для высших алгебр Ли, включая SU( n ) , ТАК( п ) , Сп(н) и распространено на квантовые группы SUq( n ).