Формализм Баталина–Вилковиского.

В теоретической физике Баталина -Вилковиского ( БВ ) формализм (названный в честь Игоря Баталина и Григория Вилковиского ) был разработан как метод определения призрачной структуры для лагранжевых калибровочных теорий , таких как гравитация и супергравитация , чья соответствующая гамильтонова формулировка имеет ограничения, не связанные к алгебре Ли (т. е. роль структурных констант алгебры Ли играют более общие структурные функции). Формализм BV, основанный на действии , содержащем как поля , так и «антиполя», можно рассматривать как обширное обобщение исходного формализма BRST для чистой теории Янга – Миллса на произвольную лагранжеву калибровочную теорию. Другие названия формализма Баталина-Вилковиского — формализм поля-антиполя , лагранжев БРСТ-формализм или формализм БВ-БРСТ . Его не следует путать с формализмом Баталина-Фрадкина-Вилковиского (БФВ) , который является гамильтоновым аналогом.

Алгебры Баталина–Вилковиского

В математике алгебра Баталина–Вилковиского — это градуированная суперкоммутативная алгебра (с единицей 1) с нильпотентным оператором ∆ второго порядка степени −1. Точнее, оно удовлетворяет тождествам

• $(ab)c=a(bc)$ (Произведение ассоциативное)
• $ab=(-1)^{|a||b|}ba$ (Произведение (супер-)коммутативно)
• $|ab|=|a|+|b|$ (Продукт имеет степень 0)
• $|\Delta (a)|=|a|-1$ (Δ имеет степень −1)
• $\Delta ^{2}=0$ (Нильпотентность (порядка 2))
• Оператор ∆ имеет второй порядок:

${\begin{aligned}0=&\Delta (abc)\\&-\Delta (ab)c-(-1)^{|a|}a\Delta (bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta (ac)\\&+\Delta (a)bc+(-1)^{|a|}a\Delta (b)c+(-1)^{|a|+|b|}ab\Delta (c)\\&-\Delta (1)abc\end{aligned}}$

Часто также требуется нормализация:

• $\Delta (1)=0$ (нормализация)

Анти-брекет

Алгебра Баталина–Вилковиского становится алгеброй Герстенхабера , если определить скобку Герстенхабера формулой

$(a,b):=(-1)^{\left|a\right|}\Delta (ab)-(-1)^{\left|a\right|}\Delta (a)b-a\Delta (b)+a\Delta (1)b.$

Другие названия скобки Герстенхабера — скобка Баттина , антискобка или нечетная скобка Пуассона . Антибрекет удовлетворяет

• $|(a,b)|=|a|+|b|-1$ (Антискобка (,) имеет степень −1)
• $(a,b)=-(-1)^{(|a|+1)(|b|+1)}(b,a)$ (кососимметрия)
• $(-1)^{(|a|+1)(|c|+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b))=0$ (Тождество Якоби)
• $(ab,c)=a(b,c)+(-1)^{|a||b|}b(a,c)$ (свойство Пуассона; правило Лейбница )

Странный лапласиан

Нормализованный оператор определяется как

${\Delta }_{\rho }:=\Delta -\Delta (1).$

Его часто называют нечетным лапласианом , особенно в контексте нечетной геометрии Пуассона. Он «дифференцирует» антибрекет

• ${\Delta }_{\rho }(a,b)=({\Delta }_{\rho }(a),b)-(-1)^{\left|a\right|}(a,{\Delta }_{\rho }(b))$ ( ${\Delta }_{\rho }$ оператор дифференцирует (,))

Площадь ${\Delta }_{\rho }^{2}=(\Delta (1),\cdot )$ нормализованного ${\Delta }_{\rho }$ оператор представляет собой гамильтоново векторное поле с нечетным гамильтонианом ∆(1)

• ${\Delta }_{\rho }^{2}(ab)={\Delta }_{\rho }^{2}(a)b+a{\Delta }_{\rho }^{2}(b)$ (Правило Лейбница)

которое также известно как модульное векторное поле . Предполагая нормировку Δ(1)=0, нечетный лапласиан ${\Delta }_{\rho }$ это просто оператор Δ, а модульное векторное поле ${\Delta }_{\rho }^{2}$ исчезает.

Компактная формулировка с использованием вложенных коммутаторов

Если ввести левый оператор умножения $L_{a}$ как

$L_{a}(b):=ab,$

и суперкоммутатор [,] как

$[S,T]:=ST-(-1)^{\left|S\right|\left|T\right|}TS$

для двух произвольных операторов S и T определение антискобки можно компактно записать как

$(a,b):=(-1)^{\left|a\right|}[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1,$

а условие второго порядка для ∆ можно компактно записать как

$[[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1=0$ (Оператор ∆ имеет второй порядок)

где подразумевается, что соответствующий оператор действует на единичный элемент 1. Другими словами, $[\Delta ,L_{a}]$ является оператором первого порядка (аффинным) и $[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]$ является оператором нулевого порядка.

Основное уравнение

Классическим уравнение основным уравнением для элемента четной степени S (называемого действием ) алгебры Баталина–Вилковиского является

$(S,S)=0.$

Квантовым главным уравнением для элемента четной степени W алгебры Баталина–Вилковиского является уравнение

$\Delta \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}W\right]=0,$

или эквивалентно,

${\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar {\Delta }_{\rho }(W)+\hbar ^{2}\Delta (1).$

Предполагая нормализацию Δ(1) = 0, квантовое главное уравнение имеет вид

${\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar \Delta (W).$

Обобщенные алгебры БВ

В определении обобщенной алгебры БВ отбрасывается предположение второго порядка для ∆. Затем можно определить бесконечную иерархию высших скобок степени −1.

$\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n}):=\underbrace {[[\ldots [\Delta ,L_{a_{1}}],\ldots ],L_{a_{n}}]} _{n~{\rm {nested~commutators}}}1.$

Кронштейны (градуированные) симметричны.

$\Phi ^{n}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (n)})=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ (симметричные скобки)

где $\pi \in S_{n}$ является перестановкой, и $(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}$ - знак Кошуля перестановки

$a_{\pi (1)}\ldots a_{\pi (n)}=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}a_{1}\ldots a_{n}$.

Скобки образуют гомотопическую алгебру Ли , также известную как $L_{\infty }$ алгебра, удовлетворяющая обобщенным тождествам Якоби

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n\!-\!k)!}}\sum _{\pi \in S_{n}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n-k+1}\left(\Phi ^{k}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (k)}),a_{\pi (k+1)},\ldots ,a_{\pi (n)}\right)=0.$ (Обобщенные тождества Якоби)

Первые несколько скобок:

• $\Phi ^{0}:=\Delta (1)$ (нулевая скобка)
• $\Phi ^{1}(a):=[\Delta ,L_{a}]1=\Delta (a)-\Delta (1)a=:{\Delta }_{\rho }(a)$ (Одна скобка)
• $\Phi ^{2}(a,b):=[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1=:(-1)^{\left|a\right|}(a,b)$ (Две скобки)
• $\Phi ^{3}(a,b,c):=[[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1$ (Три скобки)
• $\vdots$

В частности, одна скобка $\Phi ^{1}={\Delta }_{\rho }$ — нечетный лапласиан, а двускобочный $\Phi ^{2}$ - это антискобка до знака. Первые несколько обобщенных тождеств Якоби:

• $\Phi ^{1}(\Phi ^{0})=0$ ( $\Delta (1)$ является $\Delta _{\rho }$-закрыто)
• $\Phi ^{2}(\Phi ^{0},a)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{1}(a)\right)$ ( $\Delta (1)$ — гамильтониан модулярного векторного поля ${\Delta }_{\rho }^{2}$)
• $\Phi ^{3}(\Phi ^{0},a,b)+\Phi ^{2}\left(\Phi ^{1}(a),b\right)+(-1)^{|a|}\Phi ^{2}\left(a,\Phi ^{1}(b)\right)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{2}(a,b)\right)=0$ ( ${\Delta }_{\rho }$ оператор дифференцирует (,) обобщенный)
• $\Phi ^{4}(\Phi ^{0},a,b,c)+{\rm {Jac}}(a,b,c)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{3}(a,b,c)\right)+\Phi ^{3}\left(\Phi ^{1}(a),b,c\right)+(-1)^{\left|a\right|}\Phi ^{3}\left(a,\Phi ^{1}(b),c\right)+(-1)^{\left|a\right|+\left|b\right|}\Phi ^{3}\left(a,b,\Phi ^{1}(c)\right)=0$ (Обобщенное тождество Якоби)
• $\vdots$

где якобиатор для двухскобок $\Phi ^{2}$ определяется как

${\rm {Jac}}(a_{1},a_{2},a_{3}):={\frac {1}{2}}\sum _{\pi \in S_{3}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{2}\left(\Phi ^{2}(a_{\pi (1)},a_{\pi (2)}),a_{\pi (3)}\right).$

BV n -алгебры

Оператор ∆ по определению имеет n-й порядок тогда и только тогда, когда ( n + 1)-скобка $\Phi ^{n+1}$ исчезает. В этом случае говорят о BV n-алгебре . Таким образом, BV 2-алгебра по определению является просто BV-алгеброй. Якобиатор ${\rm {Jac}}(a,b,c)=0$ исчезает внутри алгебры BV, а это означает, что антискобка здесь удовлетворяет тождеству Якоби. BV 1-алгебра, удовлетворяющая нормировке ∆(1) = 0, аналогична дифференциальной градуированной алгебре (ДГА) с дифференциалом ∆. BV 1-алгебра имеет исчезающую антискобку.

Нечетное многообразие Пуассона с объемной плотностью

Пусть дано (n|n) супермногообразие с нечетным бивектором Пуассона $\pi ^{ij}$ and a Berezin volume density $\rho$, также известный как P-структура и S-структура соответственно. Пусть локальные координаты называются $x^{i}$. Пусть производные $\partial _{i}f$ и

$f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}:=(-1)^{\left|x^{i}\right|(|f|+1)}\partial _{i}f$

обозначают левую и правую производную функции f относительно. $x^{i}$, соответственно. Нечетный бивектор Пуассона $\pi ^{ij}$ точнее удовлетворяет

• $\left|\pi ^{ij}\right|=\left|x^{i}\right|+\left|x^{j}\right|-1$ (Нечетная структура Пуассона имеет степень –1)
• $\pi ^{ji}=-(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{j}\right|+1)}\pi ^{ij}$ (кососимметрия)
• $(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{k}\right|+1)}\pi ^{i\ell }\partial _{\ell }\pi ^{jk}+{\rm {cyclic}}(i,j,k)=0$ (Тождество Якоби)

При смене координат $x^{i}\to x^{\prime i}$ нечетный бивектор Пуассона $\pi ^{ij}$ and Berezin volume density $\rho$ трансформировать как

• $\pi ^{\prime k\ell }=x^{\prime k}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}x^{\prime \ell }$
• $\rho ^{\prime }=\rho /{\rm {sdet}}(\partial _{i}x^{\prime j})$

где sdet обозначает супердетерминант , также известный как Березиниан.Тогда нечетная скобка Пуассона определяется как

$(f,g):=f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}g.$

Гамильтоново векторное поле $X_{f}$ с гамильтонианом f можно определить как

$X_{f}[g]:=(f,g).$

(Супер-) дивергенция векторного поля $X=X^{i}\partial _{i}$ определяется как

${\rm {div}}_{\rho }X:={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|(|X|+1)}}{\rho }}\partial _{i}(\rho X^{i})$

Напомним, что гамильтоновы векторные поля бездивергентны в четной геометрии Пуассона в силу теоремы Лиувилля. В нечетной пуассоновской геометрии соответствующее утверждение не выполняется. Странный лапласиан ${\Delta }_{\rho }$ измеряет несостоятельность теоремы Лиувилля. С точностью до знакового множителя он определяется как половина дивергенции соответствующего гамильтонова векторного поля:

${\Delta }_{\rho }(f):={\frac {(-1)^{\left|f\right|}}{2}}{\rm {div}}_{\rho }X_{f}={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|}}{2\rho }}\partial _{i}\rho \pi ^{ij}\partial _{j}f.$

Странная структура Пуассона $\pi ^{ij}$ and Berezin volume density $\rho$ называются совместными, если модульное векторное поле ${\Delta }_{\rho }^{2}$ исчезает. В этом случае нечетный лапласиан ${\Delta }_{\rho }$ является оператором BV ∆ с нормировкой ∆(1)=0. Соответствующая алгебра БВ является алгеброй функций.

Нечетное симплектическое многообразие

Если нечетный бивектор Пуассона $\pi ^{ij}$ обратимо, существует нечетное симплектическое многообразие. В этом случае существует нечетная теорема Дарбу . То есть существуют локальные координаты Дарбу , т. е. координаты $q^{1},\ldots ,q^{n}$и импульс $p_{1},\ldots ,p_{n}$, степени

$\left|q^{i}\right|+\left|p_{i}\right|=1,$

такая, что нечетная скобка Пуассона имеет форму Дарбу

$(q^{i},p_{j})=\delta _{j}^{i}.$

В теоретической физике координаты $q^{i}$ и импульс $p_{j}$ называются полями и антиполями и обычно обозначаются $\phi ^{i}$ и $\phi _{j}^{*}$, соответственно.

$\Delta _{\pi }:=(-1)^{\left|q^{i}\right|}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}$

действует в векторном пространстве полуплотностей и является глобально корректным оператором на атласе окрестностей Дарбу. Худавердяна $\Delta _{\pi }$ оператор зависит только от P-структуры. Он явно нильпотентен $\Delta _{\pi }^{2}=0$, и степени −1. Тем не менее, технически это не оператор BV Δ, поскольку векторное пространство полуплотностей не имеет умножения. (Произведение двух полуплотностей является плотностью, а не полуплотностью.) При фиксированной плотности $\rho$, можно построить нильпотентный оператор BV ∆ как

$\Delta (f):={\frac {1}{\sqrt {\rho }}}\Delta _{\pi }({\sqrt {\rho }}f),$

чья соответствующая алгебра BV является алгеброй функций или, что то же самое, скаляров . Странная симплектическая структура $\pi ^{ij}$ и плотность $\rho$ совместимы тогда и только тогда, когда ∆(1) — нечетная константа.

Примеры

• Скобка Схоутена – Нейенхейса для многовекторных полей является примером антискобки.
• Если L — супералгебра Ли , а Π — оператор, меняющий местами четную и нечетную части суперпространства, то симметрическая алгебра Π( L ) (« внешняя алгебра » L ) является алгеброй Баталина–Вилковиского с заданным ∆. обычным дифференциалом, используемым для вычисления когомологий алгебры Ли .

См. также

• БРСТ-квантование
• Алгебра Герстенхабера
• Супермногообразие
• Анализ потоков
• Многообразие Пуассона

Ссылки

Педагогический

• Костелло, К. (2011). « Перенормировка и эффективная теория поля ». ISBN   978-0-8218-5288-0 (объясняет пертурбативную квантовую теорию поля и строгие аспекты, такие как квантование теории Черна-Саймонса и теории Янга-Миллса с использованием BV-формализма)

Ссылки

• Баталин И.А. и Вилковиский Г.А. (1981). «Калибровочная алгебра и квантование». Физ. Летт. Б. ​ 102 (1): 27–31. Бибкод : 1981PhLB..102...27B . дои : 10.1016/0370-2693(81)90205-7 .
• Баталин, ИА; Вилковиский, Г.А. (1983). «Квантование калибровочных теорий с помощью линейно зависимых генераторов». Физический обзор D . 28 (10): 2567–2582. Бибкод : 1983PhRvD..28.2567B . дои : 10.1103/PhysRevD.28.2567 . Erratum-там же. 30 (1984) 508 дои : 10.1103/PhysRevD.30.508 .
• Гетцлер, Э. (1994). «Алгебры Баталина-Вилковиского и двумерные топологические теории поля». Связь в математической физике . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Бибкод : 1994CMaPh.159..265G . дои : 10.1007/BF02102639 . S2CID   14823949 .
• Брандт, Фридеманн; Барнич, Гленн; Хенно, Марк (2000), «Локальные BRST-когомологии в калибровочных теориях», Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode : 2000PhR...338..439B , doi : 10.1016 /S0370-1573(00)00049-1 , ISSN   0370-1573 , MR   1792979 , S2CID   119420167
• Вайнберг, Стивен (2005). Квантовая теория полей Том. II . Нью-Йорк: Кембриджский университет. Нажимать. ISBN  0-521-67054-3 .