Гипотеза Смита

В математике гипотеза Смита утверждает, что если — диффеоморфизм 3 конечного -сферы , порядка то множество неподвижных точек f f не может быть нетривиальным узлом .

Пол А. Смит ( 1939 , замечание после теоремы 4) показал, что нетривиальный диффеоморфизм конечного порядка , сохраняющий ориентацию, с неподвижными точками должен иметь множество неподвижных точек, равное кругу, и спросил в ( Eilenberg 1949 , проблема 36), если набор фиксированных точек можно было завязать. Фридхельм Вальдхаузен ( 1969 ) доказал гипотезу Смита для частного случая диффеоморфизмов порядка 2 (и, следовательно, любого четного порядка). Доказательство общего случая было описано Джоном Морганом и Хайманом Бассом ( 1984 ) и основывалось на нескольких крупных достижениях в теории трехмерных многообразий , в частности, на работе Уильяма Терстона о гиперболических структурах на трехмерных многообразиях и результатах Уильяма Микса и Шинг-Тунг Яу о минимальных поверхностях в 3-многообразиях с некоторой дополнительной помощью Басса, Кэмерона Гордона , Питера Шалена и Рика Литерленда.

Дин Монтгомери и Лео Зиппин ( 1954 ) привели пример непрерывной инволюции трехмерной сферы, множество неподвижных точек которой представляет собой сильно вложенный круг, поэтому гипотеза Смита ложна в топологической (а не гладкой или PL) категории. Чарльз Гиффен ( 1966 ) показал, что аналог гипотезы Смита в более высоких измерениях неверен: множество неподвижных точек периодического диффеоморфизма сферы размерности не менее 4 может быть завязанной сферой коразмерности 2.

См. также

• Гипотеза Гильберта – Смита

Ссылки

• Эйленберг, Сэмюэл (1949), «О проблемах топологии», Анналы математики , вторая серия, 50 (2): 247–260, doi : 10.2307/1969448 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969448 , MR   0030189
• Гиффен, Чарльз Х. (1966), «Обобщенная гипотеза Смита», American Journal of Mathematics , 88 (1): 187–198, doi : 10.2307/2373054 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373054 , MR   0198462
• Монтгомери, Дин ; Зиппин, Лео (1954), «Примеры групп преобразований», Труды Американского математического общества , 5 (3): 460–465, doi : 10.2307/2031959 , ISSN   0002-9939 , JSTOR   2031959 , MR   0062436
• Морган, Джон В .; Басс, Хайман , ред. (1984), Гипотеза Смита , Чистая и прикладная математика, вып. 112, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-506980-9 , МР   0758459
• Смит, Пол А. (1939), «Преобразования конечного периода. II», Annals of Mathematics , Second Series, 40 (3): 690–711, Бибкод : 1939AnMat..40..690S , doi : 10.2307/1968950 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1968950 , MR   0000177
• Вальдхаузен, Фридхельм (1969), «Об инволюциях 3-сферы» , Топология , 8 : 81–91, doi : 10.1016/0040-9383(69)90033-0 , ISSN   0040-9383 , MR   0236916