Теорема Гордона – Люке
В математике теорема Гордона-Люке о дополнениях узлов утверждает, что если дополнения к двум ручным узлам гомеоморфны, то узлы эквивалентны. В частности, любой гомеоморфизм между дополнениями к узлам должен переводить меридиан в меридиан.
Теорему обычно формулируют следующим образом: «Узлы определяются своими дополнениями»; однако это немного двусмысленно, поскольку считается, что два узла эквивалентны, если существует самогомеоморфизм, переводящий один узел в другой. Таким образом, зеркальными изображениями пренебрегают. Часто два узла считаются эквивалентными, если они изотопны . Правильная версия в этом случае состоит в том, что если два узла имеют дополнения, гомеоморфные, сохраняющие ориентацию, то они изотопны.
Эти результаты следуют из следующего (также называемого теоремой Гордона-Люке): никакая нетривиальная операция Дена на нетривиальном узле в 3-сфере не может дать 3-сферу .
Теорему доказали Кэмерон Гордон и Джон Люке . Существенными составляющими доказательства являются их совместная работа с Марком Каллером и Питером Шаленом над теоремой о циклической хирургии , комбинаторными методами в стиле Литерланда, тонкой позицией и циклами Шарлемана .
Что касается дополнений ссылок, то на самом деле неверно, что ссылки определяются своими дополнениями. Например, Дж. Х. Уайтхед доказал, что существует бесконечно много связей, все дополнения которых гомеоморфны связи Уайтхеда . Его конструкция заключается в скручивании диска, охватывающего незавязанный компонент (как в случае с любым компонентом звена Уайтхеда). Другой метод — скручивание по кольцу, охватывающему два компонента. Гордон доказал, что для класса ссылок, где эти две конструкции невозможны, существует конечное число ссылок с заданным дополнением.
Ссылки
[ редактировать ]- Кэмерон Гордон и Джон Люке. Узлы определяются своими дополнениями . Дж. Амер. Математика. Соц. 2 (1989), вып. 2, 371–415.
- Кэмерон Гордон, Линки и их дополнения. Топология и геометрия: в память о SISTAG, 71–82, Contemp. Матем., 314, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2002.