Kontsevich invariant
В математической теории узлов , известен инвариант Концевича также известный как интеграл Концевича. [1] ориентированного оснащенного звена является универсальным инвариантом Васильева [2] в том смысле, что любой коэффициент инварианта Концевича имеет конечный тип , и наоборот, любой инвариант конечного типа можно представить как линейную комбинацию таких коэффициентов. Его определил Максим Концевич .
Инвариант Концевича является универсальным квантовым инвариантом в том смысле, что любой квантовый инвариант может быть восстановлен путем подстановки соответствующей системы весов в любую диаграмму Якоби .
Определение
[ редактировать ]The Kontsevich invariant is defined by monodromy along solutions of the Knizhnik–Zamolodchikov equations .
Диаграмма Якоби и диаграмма хорд
[ редактировать ]Определение
[ редактировать ]
Пусть X — окружность (которая является одномерным многообразием). Как показано на рисунке справа, диаграмма Якоби порядка n представляет собой граф с 2 n вершинами, где внешний круг изображен в виде сплошного круга, а пунктирные линии называются внутренним графом, который удовлетворяет следующим условиям:
- Ориентация дается только по внешнему кругу.
- Вершины имеют значения 1 или 3. Вершины со значениями 3 соединены с одним из других ребер направлением по часовой стрелке или против часовой стрелки, изображенным в виде маленького направленного круга. Вершины со значением 1 соединены с внешним кругом без кратности и упорядочены по ориентации круга.
Ребра G называются хордами . Обозначим через A ( X ) фактор-пространство коммутативной группы, порожденной всеми диаграммами Якоби на X, разделенными следующими соотношениями:
- (Отношение AS)
+ 
= 0 - (Отношение IHX)
= 
− 
- (Отношение СТЮ)
= 
− 
- (Отношение ФИ)
= 0.
Диаграмма без вершин со значением 3 называется хордовой диаграммой или диаграммой Гаусса. Если каждый связный компонент графа G имеет вершину со значением 3, то мы можем превратить диаграмму Якоби в диаграмму Хорды, рекурсивно используя отношение STU. Если ограничиться только хордовыми диаграммами, то приведенные выше четыре соотношения сводятся к следующим двум соотношениям:
- (Четырехчленное отношение)
− 
+ 
− 
= 0. - (Отношение ФИ) = 0.
Характеристики
[ редактировать ]- Степень диаграммы Якоби определяется как половина суммы числа ее вершин со значением 1 и одной со значением 3. Это количество хорд в диаграмме Хорд, преобразованной из диаграммы Якоби.
- Как и в случае с клубками , диаграммы Якоби образуют моноидальную категорию с композицией как компиляция диаграмм Якоби вдоль направления вверх и вниз, а тензорное произведение — как сопоставление диаграмм Якоби.
- В частном случае, когда X — интервал I , A ( X ) будет коммутативной алгеброй. Просмотр А ( С 1 ) как алгебра с умножением на связные суммы , A ( S 1 ) изоморфен A ( I ) .
- Диаграмму Якоби можно рассматривать как абстракцию представлений тензорной алгебры, порожденной алгебрами Ли, что позволяет нам определять некоторые операции, аналогичные копроизведениям, коединицам и антиподам алгебр Хопфа .
- Поскольку инварианты Васильева (или инварианты конечного типа) тесно связаны с хордовыми диаграммами, можно построить особый узел из хордовой диаграммы G на S 1 . Kn n обозначает пространство, порожденное всеми особыми узлами степени , каждый такой определяет единственный элемент в / Km Km + G 1 .
Весовая система
[ редактировать ]Отображение диаграмм Якоби в положительные целые числа называется системой весов . Отображение, расширенное на пространство A ( X ), также называется системой весов. Они обладают следующими свойствами:
- Пусть g — полупростая алгебра Ли и ρ — ее представление. Мы получаем систему весов, «подставляя» инвариантный тензор g в хорду диаграммы Якоби и ρ в основное многообразие X диаграммы Якоби.
- Мы можем рассматривать вершины со значением 3 диаграммы Якоби как скобочное произведение алгебры Ли, сплошные стрелки как пространство представления ρ , а вершины со значением 1 как действие алгебры Ли.
- Отношение IHX и отношение STU соответствуют тождеству Якоби и определению представления соответственно
- ρ ([ а , б ]) v знак равно ρ ( а ) ρ ( б ) v - ρ ( б ) ρ ( а ) v .
- Системы весов играют важную роль в доказательстве гипотезы Мервина-Мортона. [3] который связывает полиномы Александера с полиномами Джонса .
История
[ редактировать ]Диаграммы Якоби были введены как аналоги диаграмм Фейнмана, когда Концевич определил инварианты узлов с помощью повторных интегралов в первой половине 1990-х годов. [2] Особые точки особых узлов он изображал хордами, т. е. имел дело только с хордовыми диаграммами. Позже Д. Бар-Натан сформулировал их как 1-3-значные графы, изучил их алгебраические свойства и в своей статье назвал их «диаграммами китайских символов». [4] Для их обозначения использовалось несколько терминов, таких как хордовые диаграммы, веб-диаграммы или диаграммы Фейнмана, но примерно с 2000 года их стали называть диаграммами Якоби, поскольку отношение IHX соответствует тождеству Якоби для алгебр Ли .
Мы можем интерпретировать их с более общей точки зрения с помощью класперов, которые были независимо определены Гусаровым и Кадзуо Хабиро во второй половине 1990-х годов.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Чмутов, Сергей; Дужи, Сергей (2012). Вайсштейн, Эрик В. (ред.). «Концевич Интеграл» . Математический мир . Веб-ресурс Вольфрам . Проверено 4 декабря 2012 г.
- ^ Перейти обратно: а б Концевич, Максим (1993). «Инварианты узла Васильева» (PDF) . Адв. Советская математика . 16 (2): 137–150.
- ^ Бар-Натан, Д.; Гаруфалидис, С. (1996). «О гипотезе Мелвина-Мортона-Розанского» изобретения Математические 125 : 103–133. дои : 10.1007/s002220050070 . S2CID 16891212 .
- ^ Бар-Натан, Д. (1995). «Об инвариантах узла Васильева» . Топология . 34 (2): 423–472. дои : 10.1016/0040-9383(95)93237-2 .
Библиография
[ редактировать ]- Оцуки, Томотада (2001). Квантовые инварианты - исследование узлов, 3-многообразий и их множеств (1-е изд.). Мировое научное издательство. ISBN 9789810246754 . ОЛ 9195378М .