Конечный инвариант типа

В математической теории узлов инвариант конечного типа , или инвариант Васильева (названный так в честь Виктора Анатольевича Васильева ), — это инвариант узла , который можно расширить (точным образом, который необходимо описать) до инварианта некоторых сингулярных узлов, который обращается в нуль. на особых узлах с m + 1 особенностями и не обращается в нуль на некотором особом узле с m особенностями. Тогда говорят, что он имеет тип или порядок m .

Мы даем комбинаторное определение инварианта конечного типа, данное Гусаровым и (независимо) Джоан Бирман и Сяо-Сонг Линь . Пусть V — инвариант узла. Определить V ¹ определить на узле с одной поперечной особенностью.

Рассмотрим узел K как гладкое вложение окружности в $\mathbb {R} ^{3}$. Пусть К' — плавное погружение окружности в $\mathbb {R} ^{3}$ с одной поперечной двойной точкой. Затем

$V^{1}(K')=V(K_{+})-V(K_{-})$,

где $K_{+}$ получается из K путем разрешения двойной точки путем поднятия одной нити над другой, и $K_{-}$ получается аналогично, задвигая противоположную прядь над другой. Мы можем сделать это для карт с двумя поперечными двойными точками, тремя поперечными двойными точками и т. д., используя приведенное выше соотношение. То, что V имеет конечный тип, означает в точности, что должно существовать целое положительное число m такое, что V обращается в нуль на картах с $m+1$ поперечные двойные точки.

Кроме того, обратите внимание, что существует понятие эквивалентности узлов, особенности которых являются трансверсальными двойными точками, и V должен соблюдать эту эквивалентность. Существует также понятие инварианта конечного типа для 3-многообразий .

Примеры

Простейший нетривиальный инвариант узлов Васильева задается коэффициентом при квадратичном члене полинома Александера-Конвея . Это инвариант второго порядка. По модулю два он равен инварианту Arf .

Любой коэффициент инварианта Концевича является инвариантом конечного типа.

— Инварианты Милнора это инварианты конечного типа строковых ссылок .

Представление инвариантов

Михаил Поляк и Олег Виро дали описание первых нетривиальных инвариантов 2-го и 3-го порядков с помощью диаграммных представлений Гаусса . Михаил Н. Гусаров доказал, что все инварианты Васильева можно представить таким образом.

Универсальный инвариант Васильева.

В 1993 году Максим Концевич доказал следующую важную теорему об инвариантах Васильева: для каждого узла можно вычислить интеграл, который теперь называется интегралом Концевича , который является универсальным инвариантом Васильева , что означает, что каждый инвариант Васильева может быть получен из него путем соответствующей оценки. . В настоящее время неизвестно, является ли интеграл Концевича или совокупность инвариантов Васильева полным инвариантом узла или даже обнаруживает ли он развязку. Вычисление интеграла Концевича, имеющего значения в алгебре хордовых диаграмм, оказывается весьма сложным и до сих пор выполнено лишь для нескольких классов узлов. Не существует инварианта конечного типа степени меньше 11, который отличает мутантные узлы .

См. также

• рыба Виллертона

Дальнейшее чтение

• Виктор А. Васильев , Когомологии узловых пространств. Теория особенностей и ее приложения, 23–69, Адв. Советская математика, 1, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1990.
• Джоан Бирман и Сяо-Сун Линь, Узловые полиномы и инварианты Васильева. Inventiones Mathematicae , 111, 225–270 (1993)
• Бар-Натан, Дрор (1995). «Об инвариантах узла Васильева» . Топология . 34 (2): 423–472. CiteSeerX   10.1.1.511.6301 . дои : 10.1016/0040-9383(95)93237-2 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Инвариант Васильева» . Математический мир .
• « Инварианты конечного типа (Васильева) », Атлас узлов .