Кусочно

График кусочно-линейной функции $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.$

В математике кусочно -определенная функция (также называемая кусочной функцией , гибридной функцией или определением по случаям ) — это функция на , область определения несколько которой разделена интервалов ( «подобластей»), на которых функция может быть определена по-разному. Кусочное определение на самом деле является способом указания функции, а не характеристикой самой результирующей функции.

Свойство функции сохраняется кусочно для функции, если функция может быть кусочно определена таким образом, чтобы это свойство сохранялось для каждой подобласти. Примерами функций с такими кусочными свойствами являются кусочно-постоянные функции , кусочно-линейные функции (см. рисунок), кусочно-непрерывные функции, кусочно-гладкие функции и кусочно-дифференцируемые функции.

Обозначения и интерпретация

График функции абсолютного значения, $y=|x|$

Кусочные функции могут быть определены с использованием общей функциональной записи , где тело функции представляет собой массив функций и связанных с ними поддоменов. После столбца подфункции или поддомена может стоять точка с запятой или запятая. ${\text{if}}$ или ${\text{for}}$ редко опускается в начале правого столбца.

Субдомены вместе должны охватывать весь домен ; часто также требуется, чтобы они были попарно непересекающимися, т.е. образовывали раздел домена. Чтобы всю функцию можно было назвать «кусочной», подобласти обычно должны быть интервалами (некоторые могут быть вырожденными интервалами, т. е. отдельными точками или неограниченными интервалами). Для ограниченных интервалов количество подобластей должно быть конечным, для неограниченных интервалов часто требуется только локальное конечное число. Например, рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения :

$$|x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}$$

Для всех значений $x$ меньше нуля, первая подфункция ( $-x$), который меняет знак входного значения, делая отрицательные числа положительными. Для всех значений $x$ больше или равно нулю, вторая подфункция ( $x$) , который тривиально вычисляет само входное значение.

В следующей таблице документирована функция абсолютного значения при определенных значениях $x$:

х	е ( х )	Используемая подфункция
−3	3	$-x$
−0.1	0.1	$-x$
0	0	$x$
1/2	1/2	$x$
5	5	$x$

Чтобы оценить кусочно-определенную функцию по заданному входному значению, необходимо выбрать соответствующую подобласть, чтобы выбрать правильную подфункцию и получить правильное выходное значение.

Примеры

• Кусочно-линейная функция — функция, состоящая из отрезков прямой.
  • Ступенчатая функция — функция, состоящая из постоянных подфункций.
    • Функция товарного вагона ,
    • Ступенчатая функция Хевисайда
    • Функция знака
  • Абсолютное значение
  • Треугольная функция
• Нарушенный степенной закон , функция, состоящая из подфункций степенного закона.
• Сплайн — функция, состоящая из полиномиальных подфункций, обладающая высокой степенью гладкости в местах соединения частей полинома.
  • B-сплайн
• PDF-файл
• $f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
  и некоторые другие распространенные функции Bump . Они бесконечно дифференцируемы, но аналитичность имеет место только кусочно.

Непрерывность и дифференцируемость кусочно-определенных функций

График кусочно- квадратичной функции $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.$ Его единственный разрыв находится в $x_{0}=0.707$.

Кусочно-определенная функция непрерывна на заданном интервале своей области определения, если выполняются следующие условия:

• ее подфункции непрерывны на соответствующих интервалах (подобластях),
• в конечной точке любой подобласти внутри этого интервала нет разрыва.

Изображенная функция, например, кусочно-непрерывна во всех своих подобластях, но не непрерывна во всей области, так как содержит скачок в точке $x_{0}$. Закрашенный кружок означает, что в этой позиции используется значение правой подфункции.

Чтобы кусочно-определенная функция была дифференцируемой на заданном интервале в своей области определения, в дополнение к условиям непрерывности, указанным выше, должны выполняться следующие условия:

• его подфункции дифференцируемы на соответствующих открытых интервалах,
• односторонние производные существуют на концах всех интервалов,
• в точках соприкосновения двух подинтервалов соответствующие односторонние производные двух соседних подинтервалов совпадают.

Приложения

В ходе прикладного математического анализа было обнаружено, что «кусочно-регулярные» функции согласуются со многими моделями зрительной системы человека , где изображения воспринимаются на первом этапе как состоящие из гладких областей, разделенных краями (как в мультфильме ); мультяшная функция - это C ² функция, гладкая, за исключением существования кривых разрыва. В частности, ширлеты использовались в качестве системы представления для обеспечения разреженных аппроксимаций этого класса моделей в 2D и 3D.

Кусочно определенные функции также часто используются для интерполяции, например, при интерполяции ближайших соседей .

Связанные понятия

Понятие кусочно-определенных функций часто обобщается на кривые, такие как кусочно-линейные кривые и кусочно-полиномиальные кривые . Эта концепция также может быть расширена до более абстрактных конструкций, таких как кусочно-линейные многообразия .

См. также

• Кусочно-линейное продолжение
• Все страницы с заголовками, начинающимися с Piecewise