Кривая Ватта

Кривая Ватта с параметрами a=2,1, b=2,2 и c=0,6.

Кривая Ватта с параметрами a=3,1, b=1,1 и c=3,0

Кривая Ватта с параметрами a=1, b= ${\sqrt {2}}$, и с=1

В математике кривая Ватта представляет собой трехкруговую плоскую алгебраическую кривую степени шестой . Он создается двумя кругами радиуса b с расстоянием между центрами 2 a (принимается равным (± a , 0)). Отрезок длины 2 c прикрепляется к точке на каждом из кругов, а средняя точка отрезка линии описывает кривую Ватта, когда круги частично вращаются вперед и назад или полностью вокруг. Оно возникло в связи с новаторской работой Джеймса Уатта над паровым двигателем.

Уравнение кривой можно представить в полярных координатах как

$r^{2}=b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.$

Вывод

Полярные координаты

Полярное уравнение кривой можно вывести следующим образом: Работая на комплексной плоскости , пусть центры окружностей находятся в точках a и −a , а соединяющий отрезок имеет концы в точках −a + be. ^{я л} и + ​ быть ^{я п} . Пусть угол наклона отрезка равен ψ, а его середина находится в точке re. ^{я я} . Тогда конечные точки также задаются выражением re ^{я я} ± это ^{я п} . Приравнивание выражений для одних и тех же точек дает

$a+be^{i\rho }=re^{i\theta }+ce^{i\psi }.\,$

$-a+be^{i\lambda }=re^{i\theta }-ce^{i\psi }\,$

Сложите их и разделите на два, чтобы получить

$re^{i\theta }={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }+e^{i\lambda })=b\cos({\tfrac {\rho -\lambda }{2}})e^{i{\tfrac {\rho +\lambda }{2}}}.$

Сравнение радиусов и аргументов дает

$r=b\cos \alpha ,\ \theta ={\tfrac {\rho +\lambda }{2}}\ {\mbox{where}}\ \alpha ={\tfrac {\rho -\lambda }{2}}.$

Аналогично, вычитание первых двух уравнений и деление на 2 дает

$ce^{i\psi }-a={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }-e^{i\lambda })=ib\sin \alpha e^{i\theta }.$

Писать

$a=a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }.\,$

Затем

$ce^{i\psi }=ib\sin \alpha e^{i\theta }+a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }=(a\cos \theta \ +i(b\sin \alpha -a\sin \theta ))e^{i\theta },$

$c^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta +(b\sin \alpha -a\sin \theta )^{2},\,$

$b\sin \alpha =a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }},\,$

$r^{2}=b^{2}\cos ^{2}\alpha =b^{2}-b^{2}\sin ^{2}\alpha =b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.,\,$

Декартовы координаты

Разложение полярного уравнения дает

$r^{2}=b^{2}-(a^{2}\sin ^{2}\theta \ +c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta \pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,$

$r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2a^{2}\sin ^{2}\theta =\pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,$

$(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})\sin ^{2}\theta +4a^{4}\sin ^{4}\theta =4a^{2}\sin ^{2}\theta (c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta ),\,$

$(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-b^{2})\sin ^{2}\theta =0,\,$

$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,$

Пусть д ² = а ² + б ² – с ² упрощает это до

$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,$

Форма кривой

Для построения необходим четырёхугольник со сторонами 2 a , b , 2 c , b . Любая сторона должна быть меньше суммы остальных сторон, поэтому кривая пуста (по крайней мере, в реальной плоскости), если только a < b + c и c < b + a .

Кривая имеет точку пересечения в начале координат, если существует треугольник со сторонами a , b и c . Учитывая предыдущие условия, это означает, что кривая пересекает начало координат тогда и только тогда, когда b < a + c . Если b = a + c, то две ветви кривой встречаются в начале координат с общей вертикальной касательной, образуя четверную точку.

Учитывая b < a + c , форма кривой определяется относительной величиной b и d . Если d мнимое, то есть если a ² + б ² < с ² тогда кривая имеет форму восьмерки. Если d равно 0, то кривая представляет собой восьмерку с двумя ветвями кривой, имеющими общую горизонтальную касательную в начале координат. Если 0 < d < b , то кривая имеет две дополнительные двойные точки в ± d , и кривая пересекает себя в этих точках. В этом случае общая форма кривой напоминает крендель. Если d = b, то a = c , и кривая распадается на круг радиуса b и лемнискату Бута , кривую в форме восьмерки. Частным случаем этого является a = c , b =√2 c , что дает лемнискату Бернулли . Наконец, если d > b , то точки ± d по-прежнему являются решениями декартова уравнения кривой, но кривая не пересекает эти точки и они являются акнодами . Кривая снова имеет форму восьмерки, хотя форма искажается, если d близко к b .

Учитывая b > a + c , форма кривой определяется относительными размерами a и c . Если a < c, то кривая имеет вид двух петель, пересекающихся в точке ± d . Если a = c , то кривая распадается на круг радиуса b и овал Бута . Если a > c , то кривая x и состоит из двух сплюснутых овалов. вообще не пересекает ось

Связь Ватта

Основная статья: Связь Ватта

Когда кривая пересекает начало координат, оно является точкой перегиба и, следовательно, имеет контакт третьего порядка с касательной. Однако, если $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ( что имеет место, если треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$ является прямоугольным треугольником), то касательная имеет контакт пятого порядка с касательной, другими словами, кривая является близким приближением прямой. Это основа связи Уатта.

См. также

• Четырехзвенная связь
• Связь Ватта

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Ватта» . Математический мир .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Кривая Ватта» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Каталан, Э. (1885). «На кривой Ватта». Матезис . В : 154.
• Раттер, Джон В. (2000). Геометрия кривых . ЦРК Пресс. стр. 73 и далее. ISBN  1-58488-166-6 .