Разворачивающийся валик

В геометрии — развертывающийся ролик это выпуклое тело которого , поверхность состоит из одной непрерывной развертывающейся грани . ^[1]^[2] При катании по плоскости большинство развертывающихся роликов развивают всю свою поверхность так, что все точки поверхности касаются плоскости качения. Все развертывающиеся ролики имеют линейчатую поверхность . На сегодняшний день описаны четыре семейства развертывающихся роликов: простые полисфериконы , ^[3] выпуклые корпуса двух дисковых катков (выпуклые корпуса TDR), ^[4] поликоны ^[5]^[1] и Платониконы. ^[2]^[6]

Строительство

Каждое семейство развертывающихся роликов основано на разных принципах конструкции. Простые полисфериконы представляют собой подсемейство семейства полисферионов . ^[7] Они основаны на телах, созданных путем вращения правильных многоугольников вокруг одной из их самых длинных диагоналей . Эти тела разрезаются на две части в плоскости симметрии, и две половины воссоединяются после поворота на угол смещения относительно друг друга. ^[5] Все простые полисферионы имеют два ребра, состоящие из одной или нескольких дуг окружностей, и четырех вершин. Все они, кроме сферикона , имеют поверхности, состоящие из одного вида конической поверхности и одной или нескольких конических или цилиндрических усеченных поверхностей. ^[1] Двухдисковые катки состоят из двух конгруэнтных симметричных круговых или эллиптических секторов . Сектора соединены друг с другом так, что плоскости, в которых они лежат, перпендикулярны друг другу, а их оси симметрии совпадают. ^[4] Выпуклые оболочки этих структур составляют члены семейства выпуклых оболочек TDR. Все члены этого семейства имеют два ребра (две круговые или эллиптические дуги ). Они могут иметь либо 4 вершины , как в сфериконе (который тоже входит в это семейство), либо ни одной, как в олоиде . Как и простые полисфериконы, поликоны основаны на правильных многоугольниках, но состоят из одинаковых частей конуса только одного типа без усеченных частей. Конус создается путем вращения двух соседних ребер правильного многоугольника (а в большинстве случаев и их расширений) вокруг оси симметрии многоугольника, проходящей через их общую вершину. Поликон, основанный на n -угольнике (многоугольник с n ребрами), имеет n ребер и n + 2 вершины. Сферикон, который также является членом этого семейства, имеет закругленные края. Края гексакона параболические . Ребра всех остальных поликонов гиперболические . ^[1] Как и поликоны, платониконы состоят только из одного типа конической поверхности. Их уникальной особенностью является то, что каждое из них описывает одно из пяти Платоновых тел . В отличие от других семейств, это семейство не бесконечно. На сегодняшний день обнаружено 14 Платониконов. ^[2]

Вращающееся движение

В отличие от осесимметричных тел, которые, если они не ограничены, могут совершать линейное движение качения (например, сфера или цилиндр) или круговое ( например, конус ), развертывающиеся ролики извиваются во время качения. ^[1] Их движение линейно лишь в среднем. У поликонов и платониконов, а также у некоторых простых полисфериконов траектория их центра масс состоит из дуг окружностей. В случае простых полисфериконов, поверхность которых содержит цилиндрические части, траектория представляет собой комбинацию дуг окружностей и прямых линий. Общее выражение для формы траектории центра масс выпуклых оболочек ТДР еще не получено. ^[4]Для обеспечения плавного качения центр масс катящегося тела должен сохранять постоянную высоту. Этим свойством обладают все простые полисфериконы, поликоны и платониконы, а также некоторые выпуклые оболочки TDR. ^[1]^[3] Некоторые из выпуклых оболочек TDR, например олоид, не обладают этим свойством. Для того чтобы выпуклый корпус TDR сохранял постоянную высоту, необходимо соблюдать следующее:

\ c^{2}=4a^{2}-2b^{2}

Где a и b — малая и большая полуоси эллиптических дуг соответственно, а c — расстояние между их центрами. ^[4] Например, в случае, когда скелетная конструкция выпуклой оболочки ТДР состоит из двух круговых сегментов радиуса r , для удержания центра масс на постоянной высоте расстояние между центрами секторов должно быть равно ${\sqrt {2}}$ р . ^[8]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Хирш, Дэвид (2020). «Поликоны: Сферикон (или Тетракон) нашел свою семью» . Журнал математики и искусств . 14 (4): 345–359. arXiv : 1901.10677 . дои : 10.1080/17513472.2020.1711651 . S2CID 119152692 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Ситон, К.А. «Платониконы: Платоновые тела начинают вращаться» . Издательство Тесселяции.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Полисфериконы» . h-its.org . Гейдельбергский институт теоретических исследований.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Уке, Кристиан. «Двухдисковый каток — сочетание физики, искусства и математики» (PDF) . Уке.де.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Поликоны» . h-it.de . Гейдельбергский институт теоретических исследований.
^ «Платониконы» . 2020.bridgesmathart.org . Организация «Мосты».
^ Эммер, Мишель (2005). Зрительный ум II . Пресса МТИ. п. 668-669. ISBN 0-262-05076-5 .
^ Стюарт, AT (1966). «Двухкруговой каток» . Американский журнал физики . 34 (2): 166–167. дои : 10.1119/1.1972824 .

Внешние ссылки

Серия сфериконов Список первых представителей семейства полисфериконов и обсуждение их различных видов.

[polycons-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Хирш, Дэвид (2020). «Поликоны: Сферикон (или Тетракон) нашел свою семью» . Журнал математики и искусств . 14 (4): 345–359. arXiv : 1901.10677 . дои : 10.1080/17513472.2020.1711651 . S2CID 119152692 .

[Platonicons-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Ситон, К.А. «Платониконы: Платоновые тела начинают вращаться» . Издательство Тесселяции.

[Polysphericons-3] Перейти обратно: ^а ^б «Полисфериконы» . h-its.org . Гейдельбергский институт теоретических исследований.

[two_disc_rollers-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Уке, Кристиан. «Двухдисковый каток — сочетание физики, искусства и математики» (PDF) . Уке.де.

[the_polycons-5] Перейти обратно: ^а ^б «Поликоны» . h-it.de . Гейдельбергский институт теоретических исследований.

[Platonicons1-6] «Платониконы» . 2020.bridgesmathart.org . Организация «Мосты».

[7] Эммер, Мишель (2005). Зрительный ум II . Пресса МТИ. п. 668-669. ISBN 0-262-05076-5 .

[8] Стюарт, AT (1966). «Двухкруговой каток» . Американский журнал физики . 34 (2): 166–167. дои : 10.1119/1.1972824 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]