Поликон

Не путать с Полигоном .

В геометрии поликон — это своего рода разворачивающийся валик . Он состоит из одинаковых частей конуса , которого угол при вершине равен углу правильного четного многоугольника . В принципе, многоугольников бесконечно много, столько же, сколько четных правильных многоугольников. Большинство представителей семейства имеют удлиненную веретенообразную форму. Семейство поликонов обобщает сферикон . Его открыл израильский изобретатель Дэвид Хирш в 2017 году.

Строительство

• Два смежных ребра многоугольника правильного многоугольника с четными сторонами расширяются до тех пор, пока не достигнут оси симметрии , наиболее удаленной от общей вершины ребер.
• Вращая . два полученных сегмента линии вокруг оси симметрии многоугольника, проходящей через общую вершину, создается правильный круговой конус
• две плоскости Проходят так, что каждая из них содержит нормаль к многоугольнику в его центральной точке и одну из двух удаленных вершин двух ребер.
• Копируется часть конуса, лежащая между двумя плоскостями. ${\frac {n}{2}}-1$ времена, где ${n}$ — количество ребер многоугольника. Все ${\frac {n}{2}}$ части соединяются на своих плоских поверхностях, образуя объект веретенообразной формы. Он имеет ${n}$ изогнутые края, проходящие через чередующиеся вершины многоугольника.
• Полученный объект разрезается пополам по его плоскости симметрии (плоскости многоугольника).
• Две идентичные половины воссоединяются после поворота на угол смещения ${\frac {2\pi }{n}}$

Ребра и вершины

Поликон, основанный на правильном многоугольнике с ${n}$ края имеет ${n+2}$ вершины, ${n}$ из которых совпадают с вершинами многоугольника, а остальные два лежат на крайних концах тела. Он имеет ${n}$ края, каждая из которых представляет собой половину конического сечения конуса , созданного в месте пересечения поверхности с одной из двух секущих плоскостей. На каждой стороне многоугольного сечения ${\frac {n}{2}}$ края многоугольника проходят (от каждой второй вершины многоугольника) до одного из крайних концов тела. Края с одной стороны смещены на угол ${\frac {2\pi }{n}}$ от тех, кто на другой стороне. Края сферикона ( ${n=4}$) имеют круглую форму. Ребра шестиугольника ( ${n=6}$) являются параболическими . Ребра всех остальных поликонов гиперболические .

Сферикон как поликон

Сферикон — первый член семейства поликонов. Он также является членом полисферикона . и выпуклый корпус двухдискового катка (выпуклый корпус TDR) семьи. В каждой из семей он устроен по-разному. Как полисферикон, он построен путем разрезания биконуса с углом при вершине ${\frac {\pi }{2}}$ в своей плоскости симметрии и воссоединив две полученные части после поворота их под углом смещения ${\frac {\pi }{2}}$. Выпуклая оболочка TDR представляет собой выпуклую оболочку из двух перпендикулярных круглых секторов по 180 ° , соединенных в своих центрах. В случае поликона отправной точкой является конус, созданный вращением двух соседних ребер квадрата вокруг оси симметрии, проходящей через их общую вершину. В данном конкретном случае нет необходимости удлинять края, поскольку их концы достигают другой оси симметрии квадрата. Поскольку в данном конкретном случае две плоскости сечения совпадают с плоскостью основания конуса, ничего не выбрасывается и конус остается целым. Путем создания еще одного идентичного конуса и соединения двух конусов вместе с помощью их плоских поверхностей создается биконус. Отсюда построение продолжается так же, как описано для построения сферикона как полисфериона. Единственная разница между сфериконом как полисфериконом и сфериконом как поликоном состоит в том, что как полисферикон он имеет четыре вершины, а как поликон считается, что его шесть. Дополнительные вершины не заметны, поскольку расположены посередине круглых ребер и полностью с ними сливаются.

Свойства прокатки

Поверхность каждого поликона представляет собой одну развертывающуюся грань . Таким образом, все семейство обладает свойствами качения , связанными с меандровым движением сферикона, как и некоторые члены семейства полисфериконов. Поскольку поверхности полисфериконов состоят из конических поверхностей и различных видов усеченных поверхностей (конических и/или цилиндрических), их свойства качения изменяются всякий раз, когда каждая из поверхностей касается плоскости качения. С поликонами дело обстоит иначе. Поскольку каждый из них имеет коническую поверхность только одного типа, свойства качения остаются одинаковыми на протяжении всего движения качения. поликона Мгновенное движение идентично перекатыванию конуса вокруг одного из своих ${n}$ центральные вершины. Движение в целом представляет собой комбинацию этих движений, при этом каждая из вершин служит, в свою очередь, мгновенным центром вращения , вокруг которого тело вращается во время движения. ${\frac {1}{n}}$ цикла вращения. Как только другая вершина вступает в контакт с поверхностью качения, она становится новым временным центром вращения, и вектор вращения меняет направление на противоположное. Результирующее общее движение представляет собой меандр, который в среднем является линейным. Каждая из двух крайних вершин мгновенно касается плоскости качения. ${\frac {n}{2}}$ раз за один цикл вращения. Мгновенная линия контакта поликона с поверхностью, по которой он катится, представляет собой отрезок одной из образующих конуса , причем всюду вдоль этой линии касательная плоскость к поликону одинакова.

Когда ${\frac {n}{2}}$ - нечетное число. Эта касательная плоскость представляет собой постоянное расстояние от касательной плоскости до образующей на поверхности поликона, которая мгновенно находится вверху. Таким образом, поликоны, ${\frac {n}{2}}$ странно, это ролики постоянной высоты (как прямой круговой биконус, цилиндр или призма с Рело треугольным поперечным сечением ). Поликоны, для ${\frac {n}{2}}$ даже не обладают этой функцией.

История

Сферикон был первым представлен Дэвидом Хиршем в 1980 году в патенте, который он назвал «Устройство для создания меандрового движения». Принцип, по которому он был построен, описанный в патенте, соответствует принципу, по которому построены полисфериконы. Лишь более 25 лет спустя, после статьи Яна Стюарта о сфериконе в журнале Scientific American Journal, члены сообщества токарщиков по дереву [17, 26] и математиков [16, 20] осознали, что один и тот же метод построения можно обобщить. к серии осесимметричных объектов, имеющих поперечное сечение правильного многоугольника, отличного от квадрата. Поверхности тел, полученных этим методом (не считая самого сферикона), состоят из одного вида конической поверхности и одной или нескольких цилиндрических или конических усеченных поверхностей. В 2017 году Хирш начал исследовать другой метод обобщения сферикона, основанный на одной поверхности без использования усеченных поверхностей. Результатом этих исследований стало открытие семейства поликонов. Новое семейство впервые было представлено на выставке 2019 года. Конференция мостов в Линце , Австрия, обе в галерее художественных работ. и на кинофестивале