Трехцветность
В математической области теории узлов трехцветность это узла — способность узла окрашиваться в три цвета при соблюдении определенных правил. Трехцветность является изотопическим инвариантом и, следовательно, может использоваться для различения двух разных (неизотопных ) узлов. В частности, поскольку узел не трехцветный, любой трехцветный узел обязательно нетривиален.
Правила триколора
[ редактировать ]В этих правилах нитью на диаграмме узла будет часть веревки, идущая от одного нижнего пересечения к другому. [ 1 ] Узел является трехцветным, если каждую нить диаграммы узла можно раскрасить в один из трех цветов при соблюдении следующих правил: [ 2 ]
- 1. Необходимо использовать как минимум два цвета, и
- 2. При каждом пересечении три падающие нити либо одного цвета, либо все разных цветов.
Вместо этого в некоторых источниках указывается, что необходимо использовать все три цвета. [ 3 ] Для узла это эквивалентно приведенному выше определению; однако для ссылки это не так.
«Узел-трилистник и тривиальное 2-звено трехцветны, а неузел, звено Уайтхеда и узел-восьмерка — нет. Если проекция узла трехцветна, то движения Райдемейстера на узле сохраняют трехцветность, поэтому либо каждая проекция узла узел либо трехцветный, либо нет». [ 2 ]
Примеры
[ редактировать ]Вот пример того, как раскрасить узел по правилам триколора. По соглашению теоретики узлов используют красный, зеленый и синий цвета.
Пример трехцветного узла
[ редактировать ]
Бабушкин узелок трехцветный. В этой окраске три нити на каждом пересечении имеют три разных цвета. Окраска одного, а не обоих узлов трилистника в красный цвет также даст допустимую окраску. Узел настоящего любовника тоже трехцветный. [ 4 ]
Трехцветные узлы с менее чем девятью пересечениями включают 6 1 , 7 4 , 7 7 , 8 5 , 8 10 , 8 11 , 8 15 , 8 18 , 8 19 , 8 20 и 8 21 .
Пример нетрехцветного узла
[ редактировать ]
Узел «восьмерка» не является трехцветным. На показанной диаграмме он состоит из четырех нитей, каждая пара нитей встречается в каком-то месте пересечения. Если бы три пряди имели одинаковый цвет, то все пряди были бы одного цвета. В противном случае каждая из этих четырех нитей должна иметь свой цвет. Поскольку трехцветность является инвариантом узла, ни одна из других его диаграмм также не может быть трехцветной.
Изотопический инвариант
[ редактировать ] |
Трехцветность — это изотопический инвариант , который является свойством узла или звена , которое остается постоянным независимо от какой-либо окружающей изотопии . Это можно доказать для ручных узлов, исследуя ходы Райдемейстера . Поскольку каждое движение Райдемейстера можно сделать, не затрагивая трехцветность, трехцветность является изотопическим инвариантом ручных узлов. [ 5 ]
| Reidemeister Move I трехцветный. | Reidemeister Move II трехцветный. | Reidemeister Move III трехцветный. |
|---|---|---|
 |
 |
 |
Характеристики
[ редактировать ]Поскольку трехцветность — это бинарная классификация (связь либо трехцветная, либо нет*), она является относительно слабым инвариантом. Композиция трехцветного узла с другим узлом всегда трехцветная. Способ усиления инварианта — подсчитать количество возможных 3-раскрасок. В этом случае правило использования как минимум двух цветов смягчено, и теперь каждое звено имеет как минимум три 3-раскраски (просто раскрасьте каждую дугу в один и тот же цвет). В этом случае ссылка является трехцветной, если она имеет более трех трехцветных раскрасок.
Любое отделимое звено с трехцветным отделимым компонентом также является трехцветным.
В торических узлах
[ редактировать ]Если торический узел /звено, обозначенный (m,n), трехцветный, то и (j*m,i*n) и (i*n,j*m) для любых натуральных чисел i и j.
См. также
[ редактировать ]Источники
[ редактировать ]- ↑ Сяоюй Цяо, Эл., Неделя 2 теории узлов: трехцветность (20 января 2015 г.), Раздел 3.
- ^ Jump up to: а б Вайсштейн, Эрик В. (2010). CRC Краткая математическая энциклопедия , второе издание, стр.3045. ISBN 9781420035223 . цитируется в Вайсштейн, Эрик В. «Трехцветный» . Математический мир . Доступ: 5 мая 2013 г.
- ^ Гилберт, Н.Д. и Портер, Т. (1994) Узлы и поверхности , с. 8
- ^ Бествина, Младен (февраль 2003 г.). « Узлы: раздаточный материал для математических кружков », Math.Utah.edu .
- ^ Адамс, Колин (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 22–27. ISBN 978-0-8218-3678-1 . OCLC 55633800 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. «Трехцветный узел» . Математический мир . Доступ: 5 мая 2013 г.
