Длина каната

В теории физических узлов каждая реализация звена или узла имеет соответствующую длину веревки . Интуитивно понятно, что это минимальная длина идеально гибкой веревки, необходимая для завязывания данного звена или узла. Узлы и звенья, которые минимизируют длину веревки, называются идеальными узлами и идеальными звеньями соответственно.

Определение

Длина веревки завязанной кривой $C$ определяется как соотношение $L(C)=\operatorname {Len} (C)/\tau (C)$ , где $\operatorname {Len} (C)$ длина $C$ и $\tau (C)$ узла толщина $C$ .

Длину веревки можно превратить в инвариант узла , определив длину веревки узла. $K$ быть минимальной длиной каната на всех кривых, которые реализуют $K$ .

Минимизаторы длины каната

Один из первых вопросов теории узлов был поставлен в следующих терминах:

Могу ли я завязать узел на веревке длиной в фут и толщиной в один дюйм?

Что касается длины веревки, здесь спрашивается, есть ли узел с длиной веревки. $12$ . Ответ — нет: аргумент с использованием квадратисектантов показывает, что длина веревки любого нетривиального узла должна быть не менее $15.66$ . ^[1] Однако поиск ответа стимулировал исследования как на теоретической, так и на вычислительной основе. Было показано, что для каждого типа звена существует минимизатор длины каната, хотя он может иметь только класс дифференцируемости. $C^{1}$ . ^[2]^[3] Компьютерное моделирование показало, что для простейшего нетривиального узла «трилистник» минимальная длина веревки не превышает 16,372. ^[1]

Зависимость от номера пересечения

Обширный поиск был посвящен демонстрации взаимосвязи между длиной веревки и другими инвариантами узла, такими как число пересечений узла. За каждый узел $K$ , длина каната $K$ по крайней мере пропорциональна $\operatorname {Cr} (K)^{3/4}$ , где $\operatorname {Cr} (K)$ обозначает номер пересечения. ^[4] Существуют узлы и связи, а именно $(k,k-1)$ торические узлы и $k$ - связи Хопфа , для которых эта нижняя граница точная. То есть для этих узлов (в обозначении большой О ) ^[3] $L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)^{3/4}).$

С другой стороны, существуют узлы, длина веревки которых больше, пропорционально самому числу пересечений, а не меньшей его степени. ^[5] Это почти туго, как и каждый узел, $L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)\log ^{5}(\operatorname {Cr} (K))).$ Доказательство этой почти линейной верхней оценки использует аргумент «разделяй и властвуй», чтобы показать, что минимальные проекции узлов могут быть встроены в виде плоских графов в кубическую решетку. ^[6] Однако никто еще не наблюдал семейство узлов с суперлинейной зависимостью длины от числа пересечений, и предполагается, что точная верхняя граница должна быть линейной. ^[7]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Денн, Элизабет; Дяо, Юанань; Салливан, Джон М. (2006), «Квадрисеканты дают новые нижние оценки длины веревки узла», Geometry & Topology , 10 : 1–26, arXiv : math/0408026 , doi : 10.2140/gt.2006.10.1 , MR 2207788
^ Гонсалес, О.; Мэддокс, Дж. Х.; Шурихт, Ф.; фон дер Мозель, Х. (2002), «Глобальная кривизна и самоконтакт нелинейно упругих кривых и стержней», Вариационное исчисление и уравнения в частных производных , 14 (1): 29–68, doi : 10.1007/s005260100089 , MR 1883599
^ Jump up to: ^а ^б Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине узлов и звеньев» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C , doi : 10.1007/s00222-002-0234-y , MR 1933586
^ Бак, Грегори; Саймон, Джонатан (1999), «Толщина и число пересечений узлов», Топология и ее приложения , 91 (3): 245–257, doi : 10.1016/S0166-8641(97)00211-3 , MR 1666650
^ Диао, Ю.; Эрнст, К.; Тистлтуэйт, М. (2003), «Линейный рост длины семейства толстых узлов», Journal of Knot Theory and its Ramifications , 12 (5): 709–715, doi : 10.1142/S0218216503002615 , MR 1999639
^ Дяо, Юанань; Эрнст, Клаус; Пор, Аттила; Зиглер, Ута (2019), «Длина узлов почти линейна с точки зрения числа их пересечений», Journal of Knot Theory and its Ramifications , 28 (14): 1950085, doi : 10.1142/S0218216519500858
^ Дяо, Юанань; Эрнст, Клаус (2004), «Реализуемые степени длин веревок с помощью нетривиальных семейств узлов» (PDF) , JP Journal of Geometry and Topology , 4 (2): 197–208, MR 2105812 , заархивировано из оригинала (PDF) на сайте 15 февраля 2005 г.

[DDS-1] Jump up to: ^а ^б Денн, Элизабет; Дяо, Юанань; Салливан, Джон М. (2006), «Квадрисеканты дают новые нижние оценки длины веревки узла», Geometry & Topology , 10 : 1–26, arXiv : math/0408026 , doi : 10.2140/gt.2006.10.1 , MR 2207788

[GMSV-2] Гонсалес, О.; Мэддокс, Дж. Х.; Шурихт, Ф.; фон дер Мозель, Х. (2002), «Глобальная кривизна и самоконтакт нелинейно упругих кривых и стержней», Вариационное исчисление и уравнения в частных производных , 14 (1): 29–68, doi : 10.1007/s005260100089 , MR 1883599

[CKS-3] Jump up to: ^а ^б Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине узлов и звеньев» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C , doi : 10.1007/s00222-002-0234-y , MR 1933586

[BS-4] Бак, Грегори; Саймон, Джонатан (1999), «Толщина и число пересечений узлов», Топология и ее приложения , 91 (3): 245–257, doi : 10.1016/S0166-8641(97)00211-3 , MR 1666650

[DET-5] Диао, Ю.; Эрнст, К.; Тистлтуэйт, М. (2003), «Линейный рост длины семейства толстых узлов», Journal of Knot Theory and its Ramifications , 12 (5): 709–715, doi : 10.1142/S0218216503002615 , MR 1999639

[DEPZ-6] Дяо, Юанань; Эрнст, Клаус; Пор, Аттила; Зиглер, Ута (2019), «Длина узлов почти линейна с точки зрения числа их пересечений», Journal of Knot Theory and its Ramifications , 28 (14): 1950085, doi : 10.1142/S0218216519500858

[DE-7] Дяо, Юанань; Эрнст, Клаус (2004), «Реализуемые степени длин веревок с помощью нетривиальных семейств узлов» (PDF) , JP Journal of Geometry and Topology , 4 (2): 197–208, MR 2105812 , заархивировано из оригинала (PDF) на сайте 15 февраля 2005 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]