Среднее количество пересечений

В математическом предмете теории узлов среднее число пересечений узла — это результат усреднения по всем направлениям числа пересечений на диаграмме узла, полученной проекцией на плоскость, ортогональную направлению. Среднее число пересечений часто рассматривается в контексте теории физических узлов .

Определение

Точнее, если K — гладкий узел, то для почти каждого единичного вектора v , задающего направление, ортогональная проекция на плоскость, перпендикулярную v , дает диаграмму узла , и мы можем вычислить число пересечений, обозначенное n ( v ). Среднее число пересечений тогда определяется как интеграл по единичной сфере :

${\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{2}}n(v)\,dA$

где dA — форма площади 2-сферы . Интеграл имеет смысл, поскольку набор направлений, в которых проекция не дает диаграмму узла, представляет собой набор нулевой меры , а n ( v ) является локально постоянным при определении.

Альтернативная формулировка

Менее интуитивно понятное, но полезное с вычислительной точки зрения определение — это интеграл, аналогичный интегралу связи Гаусса .

Будет приведен вывод, аналогичный выводу интеграла зацепления. Пусть K — узел, параметризованный

$f:S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}.$

Затем определите отображение тора в 2-сферу

$g:S^{1}\times S^{1}\rightarrow S^{2}$

к

$g(s,t)={\frac {f(s)-f(t)}{|f(s)-f(t)|}}.$

(Технически нужно избегать диагонали: точек, где s = t .) Мы хотим подсчитать, сколько раз точка (направление) покрывается g . Для общего направления это будет подсчитывать количество пересечений на диаграмме узла, заданной проекцией в этом направлении. Используя степень отображения , как и в связывающем интеграле, можно подсчитать количество пересечений со знаком , вызывающих корчи . Используйте g , чтобы отодвинуть форму области на S. ² к тору T ² = С ¹ × С ¹ . Вместо того, чтобы интегрировать эту форму, интегрируйте ее абсолютное значение, чтобы избежать проблемы со знаком. Полученный интеграл

${\frac {1}{4\pi }}\int _{T^{2}}{\frac {|(f'(s)\times f'(t))\cdot (f(s)-f(t))|}{|(f(s)-f(t))|^{3}}}\,ds\,dt.$

Дальнейшее чтение

• Бак, Грегори; Саймон, Джонатан (1999), «Толщина и число пересечений узлов», Топология и ее приложения , 91 (3): 245–257, doi : 10.1016/S0166-8641(97)00211-3 , MR   1666650 .
• Эрнст, К.; Пор, А. (2012), «Среднее число пересечений, общая кривизна и длина веревки толстых узлов», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 21 (3): 1250028, 9, doi : 10.1142/S0218216511009601 , MR   2887660 .
• Дяо, Юанань; Эрнст, Клаус (2001). «Числа пересечений толстых узлов и звеньев». В Йорге Альберто Кальво; Кеннрт К. Миллет; Эрик Дж. Родон (ред.). Физические узлы: завязывание узлов, связывание и сгибание геометрических объектов в R ³ . Современная математика. Том. 304. Лас-Вегас, Невада. ISBN  0-8218-3200-Х . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .
• О'Хара, июнь (2003). Энергия узлов и конформная геометрия . Серия K&E, посвященная узлам и всему остальному. Том. 33. Сингапур: World Scientific Publixhing Co. Pte. ООО ISBN  981-238-316-6 . .