Теория узлов

Примеры различных узлов, включая тривиальный узел (вверху слева) и узел-трилистник (внизу).

Схема узла трилистник, простейшего нетривиального узла.

В топологии — теория узлов это изучение математических узлов . Хотя математический узел вдохновлен узлами , которые встречаются в повседневной жизни, например, на шнурках и веревках, он отличается тем, что концы соединены так, что его нельзя развязать, причем самым простым узлом является кольцо (или « развязка »). математическом языке узел — это вложение окружности На в 3-мерное евклидово пространство , $\mathbb {E} ^{3}$. Два математических узла эквивалентны, если один можно преобразовать в другой путем деформации $\mathbb {R} ^{3}$ на себя (так называемая окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной веревкой, которые не предполагают ее разрезания или пропускания через себя.

Узлы можно описывать по-разному. При использовании разных методов описания одного и того же узла может быть несколько описаний. Например, распространенным методом описания узла является плоская диаграмма, называемая диаграммой узла, на которой любой узел можно нарисовать множеством различных способов. Следовательно, фундаментальной проблемой теории узлов является определение того, когда два описания представляют один и тот же узел.

Существует полное алгоритмическое решение этой задачи, сложность которого неизвестна . На практике узлы часто различают с помощью инварианта узла , «количества», которое одинаково при вычислении на основе разных описаний узла. Важные инварианты включают полиномы узлов , группы узлов и гиперболические инварианты.

Первоначальной мотивацией основоположников теории узлов было создание таблицы узлов и связей , представляющих собой узлы из нескольких компонентов, перепутанных друг с другом. более шести миллиардов узлов и звеньев было сведено в таблицы С момента появления теории узлов в 19 веке .

Чтобы получить более глубокое понимание, математики обобщили концепцию узла несколькими способами. Узлы можно рассматривать в других трехмерных пространствах и использовать другие объекты, кроме кругов; см. узел (математика) . Например, многомерный узел — это n- мерная сфера, вложенная в ( n +2)-мерное евклидово пространство.

История

Основная статья: История теории узлов

1200-летней давности Замысловатый кельтский узел в Келлской книге

Археологи обнаружили, что завязывание узлов восходит к доисторическим временам. Помимо их использования, такого как запись информации и связывание предметов вместе, узлы интересовали людей своей эстетикой и духовной символикой. Узлы появляются в различных формах китайских произведений искусства, датируемых несколькими веками до нашей эры (см. Китайское завязывание узлов ). Бесконечный узел появляется в тибетском буддизме , а кольца Борромео неоднократно появлялись в разных культурах, часто олицетворяя силу в единстве. Кельтские монахи , создавшие Келлскую книгу, украсили целые страницы замысловатым кельтским узлом .

Первый табулятор узлов, Питер Гатри Тейт.

Математическая теория узлов была впервые разработана в 1771 году Александром-Теофилем Вандермондом , который явно отметил важность топологических особенностей при обсуждении свойств узлов, связанных с геометрией положения. Математические исследования узлов начались в 19 веке Карлом Фридрихом Гауссом , который определил связующий интеграл ( Silver 2006 ). В 1860-х годах теория лорда Кельвина о том, что атомы представляют собой узлы в эфире, привела к созданию Питером Гатри Тейтом первых таблиц узлов для полной классификации. Тейт в 1885 году опубликовал таблицу узлов с числом пересечений до десяти и то, что стало известно как гипотезы Тейта . Эта запись вдохновила первых теоретиков узлов, но со временем теория узлов стала частью нового предмета топологии .

Эти топологи в начале 20-го века — Макс Ден , Дж. У. Александер и другие — изучали узлы с точки зрения группы узлов и инвариантов из теории гомологии, таких как полином Александера . Это был основной подход к теории узлов, пока ряд открытий не изменил предмет.

В конце 1970-х годов Уильям Терстон ввёл гиперболическую геометрию в изучение узлов с помощью теоремы гиперболизации . Было показано, что многие узлы являются гиперболическими узлами , что позволяет использовать геометрию для определения новых, мощных инвариантов узлов . Открытие полинома Джонса в Воаном Джонсом 1984 году ( Сосинский 2002 , стр. 71–89) и последующие вклады Эдварда Виттена , Максима Концевича и других выявили глубокие связи между теорией узлов и математическими методами в статистической механике и квантовом поле. теория . С тех пор было изобретено множество инвариантов узлов с использованием сложных инструментов, таких как квантовые группы и гомологии Флоера .

В последние несколько десятилетий 20-го века ученые заинтересовались изучением физических узлов , чтобы понять явления завязывания в ДНК и других полимерах. Теорию узлов можно использовать для определения того, является ли молекула хиральной (имеет «руконаправленность») или нет ( Саймон 1986 ). Клубки , нити с обоими концами, зафиксированными на месте, эффективно использовались при изучении действия топоизомеразы на ДНК ( Flapan 2000 ). Теория узлов может сыграть решающую роль в создании квантовых компьютеров благодаря модели топологических квантовых вычислений ( Коллинз 2006 ).

Эквивалентность узла

Слева — узел и эквивалентный ему узел. Может быть сложнее определить, эквивалентны ли сложные узлы, такие как тот, что справа, распущенному узлу.

Узел создается, начиная с одномерного отрезка линии, произвольно оборачивая его вокруг себя, а затем соединяя два его свободных конца вместе, образуя замкнутую петлю ( Адамс 2004 ) ( Сосинский 2002 ). Проще говоря, мы можем сказать узел $K$ — это «простая замкнутая кривая» (см. «Кривая »), то есть «почти» инъективная и непрерывная функция. $K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$, причем единственной «неинъективностью» является $K(0)=K(1)$. Топологи считают узлы и другие запутывания, такие как звенья и косы, эквивалентными, если узел можно плавно перемещать, не пересекая сам себя, до совпадения с другим узлом.

Идея эквивалентности узлов состоит в том, чтобы дать точное определение того, когда два узла следует считать одинаковыми, даже если они расположены совершенно по-разному в пространстве. Формальное математическое определение состоит в том, что два узла $K_{1},K_{2}$ эквивалентны, если существует , сохраняющий ориентацию гомеоморфизм $h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ с $h(K_{1})=K_{2}$.

Это определение эквивалентности узлов означает, что два узла эквивалентны, когда существует непрерывное семейство гомеоморфизмов. $\{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}$ пространства на себя так, что последний из них переносит первый узел на второй узел. (Подробно: Два узла $K_{1}$ и $K_{2}$ эквивалентны , если существует непрерывное отображение $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ такая, что а) для каждого $t\in [0,1]$ картографирование $x\in \mathbb {R} ^{3}$ к $H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}$ является гомеоморфизмом $\mathbb {R} ^{3}$ на себя; б) $H(x,0)=x$ для всех $x\in \mathbb {R} ^{3}$; и в) $H(K_{1},1)=K_{2}$. Такая функция $H$ известна как окружающая изотопия .)

Эти два понятия эквивалентности узлов точно согласуются в отношении того, какие узлы эквивалентны: два узла, которые эквивалентны согласно определению сохраняющего ориентацию гомеоморфизма, также эквивалентны согласно определению объемлющей изотопии, поскольку любые сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы $\mathbb {R} ^{3}$ самому себе является заключительной стадией окружающей изотопии, начиная с тождества. И наоборот, два узла, эквивалентные согласно определению объемлющей изотопии, также эквивалентны согласно определению сохраняющего ориентацию гомеоморфизма, поскольку $t=1$ (Завершающая) стадия объемлющей изотопии должна представлять собой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, переносящий один узел в другой.

Основная проблема теории узлов, проблема распознавания , — это определение эквивалентности двух узлов. Для решения этой проблемы существуют алгоритмы , первый из которых был предложен Вольфгангом Хакеном в конце 1960-х годов ( Hass 1998 ). Тем не менее, эти алгоритмы могут отнимать чрезвычайно много времени, и основной проблемой теории является понимание того, насколько сложна эта проблема на самом деле ( Hass 1998 ). особый случай распознавания узла , называемый проблемой развязывания узлов Особый интерес представляет ( Hoste 2005 ). В феврале 2021 года Марк Лакенби анонсировал новый алгоритм распознавания узлов, работающий за квазиполиномиальное время .

Схемы узлов

Десятикратная узловатость, фото IX, из Питера Гатри Тейта «О узлах», 1884 г. статьи

Полезный способ визуализировать узлы и манипулировать ими — спроецировать узел на плоскость: представьте, что узел отбрасывает тень на стену. Небольшое изменение направления проекции обеспечит взаимно однозначность, за исключением двойных точек, называемых пересечениями , где «тень» узла пересекает себя один раз в поперечном направлении ( Рольфсен 1976 ). При каждом пересечении, чтобы можно было воссоздать исходный узел, необходимо отличать верхнюю прядь от нижней. Часто это делается путем разрыва идущей под ним пряди. Полученная диаграмма представляет собой погруженную плоскую кривую с дополнительными данными о том, какая нить находится сверху, а какая снизу при каждом пересечении. (Эти диаграммы называются диаграммами узлов , если они представляют узел , и диаграммами связей , если они представляют связь .) Аналогично, завязанные поверхности в 4-мерном пространстве могут быть связаны с погруженными поверхностями в 3-мерном пространстве.

— Приведенная диаграмма это узловая диаграмма, в которой нет приводимых пересечений (также нулевых или устранимых пересечений ) или в которой все приводимые пересечения удалены. - Выступ лепестка это тип выступа, в котором вместо образования двойных точек все нити узла встречаются в одной точке пересечения, соединенной с ней петлями, образующими невложенные «лепестки».

Райдемайстер движется

Основная статья: Ход Райдемейстера

В 1927 году, работая с этой схематической формой узлов, Дж. У. Александер и Гарланд Бэрд Бриггс и независимо Курт Райдемайстер продемонстрировали, что две диаграммы узлов, принадлежащие одному и тому же узлу, могут быть связаны последовательностью трех видов ходов на диаграмме, показанной ниже. . Эти операции, теперь называемые ходами Райдемейстера , таковы:

1. Скручивайте и раскручивайте в любом направлении.
2. Переместите одну прядь полностью поверх другой.
3. Переместите прядь полностью над или под перекрещиванием.

Райдемайстер движется

Тип I	Тип II
Тип III

Доказательство того, что диаграммы эквивалентных узлов связаны движениями Райдемейстера, основано на анализе того, что происходит при планарной проекции движения, переводящего один узел в другой. Движение можно организовать так, что почти всегда проекция будет представлять собой узловую диаграмму, за исключением конечного числа раз, когда происходит «событие» или «катастрофа», например, когда более двух нитей пересекаются в одной точке или несколько нитей. стать касательными в одной точке. Внимательное рассмотрение покажет, что сложные события можно исключить, оставив только самые простые события: (1) образующийся или выпрямляющийся «перегиб»; (2) две нити соприкасаются в одной точке и проходят насквозь; и (3) три нити, пересекающиеся в одной точке. Это именно ходы Райдемейстера ( Сосинский 2002 , гл. 3) ( Ликориш 1997 , гл. 1).

Инварианты узлов

3D-печать, изображающая дополнение узла восьмерка.
Франсуа Герито, Сол Шлеймер и Генри Сегерман

Основная статья: Инвариант узла

Инвариант узла — это «количество», одинаковое для эквивалентных узлов ( Адамс 2004 ) ( Ликориш 1997 ) ( Рольфсен 1976 ). Например, если инвариант вычисляется на основе диаграммы узлов, он должен давать одно и то же значение для двух диаграмм узлов, представляющих эквивалентные узлы. Инвариант может принимать одно и то же значение на двух разных узлах, поэтому сам по себе может быть неспособен различать все узлы. Элементарный инвариант — трёхцветность .

«Классические» инварианты узлов включают группу узлов , которая является фундаментальной группой , дополнения узла и полином Александера , который может быть вычислен из инварианта Александера, модуля, построенного из бесконечного циклического покрытия дополнения узла ( Lickorish 1997 ). ( Рольфсен 1976 ). В конце 20 века такие инварианты, как «квантовые» полиномы узлов, инварианты Васильева были открыты и гиперболические инварианты. Эти вышеупомянутые инварианты являются лишь верхушкой айсберга современной теории узлов.

Узловые полиномы

Основная статья: Узловой полином

Полином узла — это инвариант узла , который является многочленом . Хорошо известные примеры включают полином Джонса , полином Александера и полином Кауфмана . Вариант полинома Александера, полином Александера-Конвея , представляет собой многочлен от переменной z с целыми коэффициентами ( Lickorish 1997 ).

Полином Александера-Конвея фактически определяется в терминах связей , которые состоят из одного или нескольких узлов, запутанных друг с другом. Понятия, объясненные выше для узлов, например диаграмм и движений Райдемейстера, справедливы и для связей.

Рассмотрим диаграмму ориентированных связей, т. е. диаграмму, в которой каждый компонент связи имеет предпочтительное направление, указанное стрелкой. Для данного пересечения диаграммы пусть $L_{+},L_{-},L_{0}$ — диаграммы ориентированных связей, возникающие в результате изменения схемы, как указано на рисунке:

Исходная диаграмма может быть либо $L_{+}$ или $L_{-}$, в зависимости от конфигурации выбранного перехода. Тогда полином Александера – Конвея $C(z)$, определяется рекурсивно по правилам:

• $C(O)=1$ (где $O$ это любая диаграмма узла )
• $C(L_{+})=C(L_{-})+zC(L_{0}).$

Второе правило – это то, что часто называют отношением клубка . Чтобы проверить, что эти правила дают инвариант ориентированного звена, нужно убедиться, что полином не меняется при трех перемещениях Райдемейстера. Таким образом можно определить многие важные полиномы узлов.

Ниже приведен пример типичных вычислений с использованием отношения мотка. Он вычисляет полином Александера-Конвея узла-трилистника . Желтые пятна указывают, где применяется соотношение.

С ( ) = С ( ) + z C ( )

дает развязку и ссылку Хопфа . Применяя отношение к ссылке Хопфа, где указано,

С ( ) = С ( ) + z C ( )

дает ссылку, деформируемую до связи с 0 пересечений (на самом деле это разрыв связи двух компонентов) и развязку. Отмена связи требует некоторой хитрости:

С ( ) = С ( ) + z C ( )

откуда следует, что C (разъединение двух компонентов) = 0, поскольку первые два многочлена неразвязанные и, следовательно, равны.

Собрав все это вместе, вы увидите:

$C(\mathrm {trefoil} )=1+z(0+z)=1+z^{2}$

Поскольку полином Александера-Конвея является инвариантом узла, это показывает, что трилистник не эквивалентен неузлу. Так что трилистник действительно «завязан».

• 
  Левый узел-трилистник.
• 
  Правый узел-трилистник.

На самом деле существует два узла-трилистника, называемые правым и левым трилистником, которые являются зеркальным отображением друг друга (возьмите приведенную выше схему трилистника и измените каждое пересечение на другой, чтобы получить зеркальное изображение). Они не эквивалентны друг другу, а это означает, что они не амфихиральны. Это было показано Максом Деном до изобретения узловых полиномов с использованием теоретико-групповых методов ( Ден 1914 ). Но полином Александера-Конвея для каждого вида трилистника будет одинаковым, как можно увидеть, выполнив приведенные выше вычисления с зеркальным изображением. Полином Джонса Lickorish фактически позволяет различать левые и правые узлы-трилистники ( 1997 ).

Гиперболические инварианты

Уильям Терстон доказал, что многие узлы являются гиперболическими узлами , а это означает, что дополнение к узлу (т. е. набор точек трехмерного пространства, не входящих в узел) допускает геометрическую структуру, в частности структуру гиперболической геометрии . Гиперболическая структура зависит только от узла, поэтому любая величина, вычисленная на основе гиперболической структуры, является инвариантом узла ( Адамс 2004 ).

Кольца Борромео являются связующим звеном, обладающим свойством: удаление одного кольца разъединяет другие.

SnapPea Взгляд : кольца Борромео дополняют точку зрения жителя, живущего вблизи красного компонента.

Геометрия позволяет нам визуализировать, как выглядит внутренняя часть узла или звена, представляя световые лучи, движущиеся по геодезическим геометрическим линиям. Примером может служить изображение дополнения к кольцам Борромео . Житель этого звена смотрит на пространство вблизи красной составляющей. Шарики на картинке — это виды хоробалловых окрестностей ссылки. Путем утолщения звена стандартным способом получаются ориболальные окрестности компонентов звена. Хотя граница окрестности представляет собой тор, если смотреть изнутри дополнения звена, она выглядит как сфера. Каждый компонент связи отображается в виде бесконечного числа сфер (одного цвета), равного количеству лучей света, идущих от наблюдателя к компоненту связи. Фундаментальный параллелограмм (который показан на рисунке) выкладывается как по вертикали, так и по горизонтали и показывает, как бесконечно расширять узор из сфер.

Этот шаблон, шаблон хоробала, сам по себе является полезным инвариантом. Другие гиперболические инварианты включают форму фундаментального параллелограмма, длину кратчайшей геодезической и объем. Современные усилия по табулированию узлов и связей эффективно используют эти инварианты. Быстрые компьютеры и умные методы получения этих инвариантов делают вычисление этих инвариантов на практике простой задачей ( Адамс, Хильдебранд и Уикс 1991 ).

Высшие измерения

Трехмерный узел можно развязать, поместив его в четырехмерное пространство. Это осуществляется путем изменения пересечений. Предположим, что одна нить находится позади другой, если смотреть с выбранной точки. Поднимите его в четвертое измерение, чтобы не было препятствий (передняя прядь не имеет никаких компонентов); затем сдвиньте его вперед и опустите назад, теперь уже вперед. Аналогиями с самолетом можно было бы поднять веревку с поверхности или удалить точку из круга.

Фактически, в четырех измерениях любая непересекающаяся замкнутая петля одномерной струны эквивалентна развязке. Сначала «затолкните» цикл в трехмерное подпространство, что всегда возможно, хотя и технически объяснить.

Однако четырехмерное пространство встречается в классической теории узлов, и важной темой является изучение узлов-срезов и ленточных узлов . Пресловутая открытая задача спрашивает, является ли каждый узел среза лентой.

Завязывание сфер высшего измерения

Поскольку узел топологически можно рассматривать как одномерную сферу, следующим обобщением будет рассмотрение двумерной сферы ( $\mathbb {S} ^{2}$), встроенный в 4-мерное евклидово пространство ( $\mathbb {R} ^{4}$). Такое вложение завязывается, если не существует гомеоморфизма $\mathbb {R} ^{4}$ на себя, переводя вложенную 2-сферу в стандартное «круглое» вложение 2-сферы. Подвешенные узлы и закрученные узлы — два типичных семейства таких двухсферных узлов.

Математический прием, называемый «общим положением», подразумевает, что для данной n -сферы в m -мерном евклидовом пространстве, если m достаточно велико (в зависимости от n ), сферу следует развязать. В общем, кусочно-линейные n -сферы образуют узлы только в ( n + 2)-мерном пространстве ( Зееман, 1963 ), хотя для гладко завязанных сфер это уже не является требованием. На самом деле есть гладко завязанные узлы $(4k-1)$-сферы в 6 - мерном пространстве; например, имеется гладко завязанная 3-сфера в $\mathbb {R} ^{6}$ ( Хефлигер 1962 ) ( Левин 1965 ). Таким образом, коразмерность гладкого узла может быть сколь угодно большой, если не фиксирован размер завязанной сферы; однако любая гладкая k -сфера, вложенная в $\mathbb {R} ^{n}$ с $2n-3k-3>0$ является развязанным. Понятие узла имеет дальнейшие обобщения в математике, см.: Узел (математика) , изотопическая классификация вложений .

Каждый узел в n -сфере $\mathbb {S} ^{n}$ является звеном вещественно-алгебраического множества с изолированной особенностью в $\mathbb {R} ^{n+1}$ ( Акбулут и Кинг, 1981 ).

-узел n – это одиночный $\mathbb {S} ^{n}$ встроенный в $\mathbb {R} ^{m}$. n k состоит из -ссылка -копий $\mathbb {S} ^{n}$ встроенный в $\mathbb {R} ^{m}$, где k – натуральное число . Оба $m=n+2$ и $m>n+2$ случаи хорошо изучены, как и $n>1$ случай.

Добавление узлов

Основная статья: Сумма узла

Добавляем два узла

Два узла можно добавить, разрезав оба узла и соединив пары концов. Операция называется суммой узла , а иногда и связной суммой или композицией двух узлов. Формально это можно определить следующим образом ( Адамс 2004 ): рассмотрим плоскую проекцию каждого узла и предположим, что эти проекции не пересекаются. Найдите на плоскости прямоугольник, у которого одна пара противоположных сторон представляет собой дугу вдоль каждого узла, а остальная часть прямоугольника не пересекается с узлами. Сформируйте новый узел, удалив первую пару противоположных сторон и присоединив другую пару противоположных сторон. Полученный узел представляет собой сумму исходных узлов. В зависимости от того, как это сделать, могут получиться два разных узла (но не более). Эту неоднозначность в сумме можно устранить, рассматривая узлы как ориентированные , т.е. имеющие предпочтительное направление движения вдоль узла и требуя, чтобы дуги узлов в сумме были ориентированы согласованно с ориентированной границей прямоугольника.

Узловая сумма ориентированных узлов коммутативна и ассоциативна . Узел является простым , если он нетривиален и не может быть записан как сумма двух нетривиальных узлов. Узел, который можно записать в виде такой суммы, является составным . Для узлов существует простое разложение, аналогичное простым и составным числам ( Шуберт, 1949 ). Для ориентированных узлов это разложение также уникально. Также можно добавить узлы более высокой размерности, но есть некоторые различия. Хотя вы не можете сформировать узел в трех измерениях, добавив два нетривиальных узла, вы можете это сделать в более высоких измерениях, по крайней мере, если рассматривать гладкие узлы в коразмерности не менее 3.

Узлы также могут быть построены с использованием подхода топологии схемы . Это достигается путем объединения основных единиц, называемых мягкими контактами, с использованием пяти операций (параллельно, последовательно, перекрестно, согласованно и вспомогательно). Этот подход применим и к открытым цепочкам, а также может быть расширен за счет включения так называемых жестких контактов.

Табулирующие узлы

См. Также: Список простых узлов и таблица узлов.

Таблица простых узлов до семи пересечений. Узлы отмечены обозначениями Александра – Бриггса.

Традиционно узлы каталогизируются по числу пересечений . Таблицы узлов обычно включают только простые узлы и только одну запись об узле и его зеркальном изображении (даже если они различны) ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ). Число нетривиальных узлов с заданным числом пересечений быстро увеличивается, что затрудняет расчеты табулирования ( Hoste 2005 , стр. 20). Усилия по составлению таблиц позволили подсчитать более 6 миллиардов узлов и звеньев ( Hoste 2005 , стр. 28). Последовательность количества простых узлов заданного номера пересечения до номера пересечения 16 равна 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46  972 , 253 293 , 1 388 705 ... (последовательность A002863 в OEIS ). Хотя экспоненциальные верхняя и нижняя границы этой последовательности известны, не доказано, что эта последовательность является строго возрастающей ( Адамс 2004 ).

В первых таблицах узлов Тейта, Литтла и Киркмана использовались диаграммы узлов, хотя Тейт также использовал предшественник нотации Даукера . Для узлов были изобретены различные обозначения, которые позволяют более эффективно табулировать ( Hoste 2005 ).

В ранних таблицах пытались перечислить все узлы, имеющие не более 10 пересечений, и все чередующиеся узлы, состоящие из 11 пересечений ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ). Развитие теории узлов Александром, Райдемайстером, Зейфертом и другими облегчило задачу проверки, а таблицы узлов до 9 пересечений включительно были опубликованы Александром-Бриггсом и Райдемайстером в конце 1920-х годов.

Первая крупная проверка этой работы была сделана в 1960-х годах Джоном Хортоном Конвеем , который не только разработал новую систему обозначений, но и полином Александера-Конвея ( Conway 1970 ) ( Doll & Hoste 1991 ). Это подтвердило список узлов максимум из 11 пересечений и новый список связей до 10 пересечений. Конвей обнаружил в таблицах Тейта – Литтла ряд пропусков, но только одно повторение; однако он пропустил дубликаты, называемые парой Перко , которые были замечены только в 1974 году Кеннетом Перко ( Perko 1974 ). Эта знаменитая ошибка распространилась, когда Дейл Рольфсен добавил таблицу узлов в свой влиятельный текст, основанный на работе Конвея. Статья Конвея 1970 года по теории узлов также содержит типографское дублирование на странице с 11 нечередующимися узлами и опускает 4 примера — 2, ранее перечисленные в диссертации Д. Ломбардеро в Принстоне 1968 года, и еще 2, впоследствии обнаруженные Аленом Кодроном . [см. Перко (1982), Природность некоторых узлов, Труды по топологии] Менее известен дубликат в его таблице 10 перекрестных связей: 2.-2.-20.20 является зеркалом 8*-20:-20. [См. Перко (2016), Исторические моменты нециклической теории узлов, Дж. Разветвления теории узлов].

В конце 1990-х годов Хост, Тистлтуэйт и Уикс составили таблицы всех узлов при 16 пересечениях ( Хост, Тистлтуэйт и Уикс, 1998 ). В 2003 году Рэнкин, Флинт и Шерманн составили таблицу чередующихся узлов на 22 пересечениях ( Хосте, 2005 ). В 2020 году Бертон составил таблицу всех простых узлов с числом пересечений до 19 ( Бертон 2020 ).

Обозначение Александра – Бриггса

Это наиболее традиционная запись, основанная на статье Джеймса В. Александра и Гарланда Б. Бриггса 1927 года и позже расширенная Дейлом Рольфсеном в его таблице узлов (см. изображение выше и Список простых узлов ). Обозначения просто упорядочивают узлы по числу их пересечений. Номер пересечения записывается с нижним индексом, обозначающим его порядок среди всех узлов с этим номером пересечения. Этот порядок произволен и поэтому не имеет особого значения (хотя при каждом количестве пересечений твист-узел следует за торическим узлом ). Ссылки записываются номером пересечения с верхним индексом, обозначающим количество компонентов, и нижним индексом, обозначающим его порядок внутри ссылок с одинаковым количеством компонентов и пересечений. Таким образом, узел-трилистник обозначается 3 ₁ , а звено Хопфа — 2. ²
₁ . Имена Александра-Бриггса в диапазоне от 10 ₁₆₂ до 10 ₁₆₆ неоднозначны из-за открытия пары Перко в исходных и последующих таблицах узлов Чарльза Ньютона Литтла , а также различий в подходах к исправлению этой ошибки в таблицах узлов и других созданных публикациях. после этого момента.

Обозначение Даукера – Тистлтуэйта

Основная статья: обозначения Даукера – Тистлтуэйта

Узловая диаграмма с пересечениями, обозначенными как последовательность Даукера.

Нотация Даукера -Тистлтуэйта , также называемая нотацией или кодом Даукера, для узла представляет собой конечную последовательность четных целых чисел. Числа генерируются путем отслеживания узла и маркировки пересечений последовательными целыми числами. Поскольку каждое пересечение посещается дважды, это создает пару четных и нечетных целых чисел. Устанавливается соответствующий знак, обозначающий пересечение и недосечение. Например, на этом рисунке диаграмма узла имеет пересечения, отмеченные парами (1,6) (3,−12) (5,2) (7,8) (9,−4) и (11,−10). Обозначение Даукера-Тистлтуэйта для этой маркировки представляет собой последовательность: 6, -12, 2, 8, -4, -10. Диаграмма узла имеет более одной возможной нотации Даукера, и при восстановлении узла по нотации Даукера-Тистлтуэйта возникает хорошо понятная двусмысленность.

Обозначение Конвея

Основная статья: обозначения Конвея (теория узлов)

Обозначение Конвея для узлов и звеньев, названное в честь Джона Хортона Конвея , основано на теории клубков ( Conway 1970 ). Преимущество этого обозначения в том, что оно отражает некоторые свойства узла или звена.

Обозначение описывает, как построить конкретную диаграмму связи. Начните с базового многогранника — четырехвалентного связного плоского графа без двуугольных областей. Такой многогранник обозначается сначала количеством вершин, затем количеством звездочек, которые определяют положение многогранника в списке основных многогранников. Например, 10** обозначает второй 10-вершинный многогранник в списке Конвея.

Затем в каждую вершину подставляется алгебраический клубок (каждая вершина ориентирована так, что при замене нет произвольного выбора). Каждый такой клубок имеет обозначение, состоящее из цифр и знаков + или –.

Пример: 1*2 −3 2. 1* обозначает единственный базовый многогранник с 1 вершиной. 2 −3 2 — это последовательность, описывающая цепную дробь, связанную с рациональным клубком . Этот клубок вставляем в вершину базисного многогранника 1*.

Более сложный пример: 8*3.1.2 0.1.1.1.1.1 Здесь снова 8* относится к базовому многограннику с 8 вершинами. Точки разделяют обозначения для каждого клубка.

Любая ссылка допускает такое описание, и понятно, что это очень компактное обозначение даже для очень большого числа пересечений. Обычно используются еще несколько сокращений. Последний пример обычно записывается как 8*3:2 0, где единицы опускаются и сохраняется количество точек, за исключением точек в конце. Для алгебраического узла, такого как в первом примере, 1* часто опускается.

В новаторской статье Конвея по этой теме перечислены базовые многогранники с числом до 10 вершин, которые он использует для табуляции связей, которые стали стандартными для этих связей. Для дальнейшего перечисления многогранников с более высокими вершинами доступны нестандартные варианты.

Код Гаусса

Основная статья: Код Гаусса

Код Гаусса , аналогичный нотации Даукера-Тистлтуэйта, представляет собой узел с последовательностью целых чисел. Однако вместо того, чтобы каждое пересечение обозначалось двумя разными номерами, пересечения обозначаются только одним номером. Если пересечение является пересечением, указывается положительное число. На подземном переходе отрицательное число. Например, узел-трилистник в коде Гаусса может быть задан как: 1,−2,3,−1,2,−3.

Код Гаусса ограничен в своей способности идентифицировать узлы. Эту проблему частично решает расширенный код Гаусса .

См. также

• Список тем по теории узлов
• Молекулярный узел
• Топология схемы
• Квантовая топология
• Теория ленты
• Контактная геометрия #Легендровы подмногообразия и узлы
• Узлы и графики
• Галстук § Узлы
• Трюк со шнуром лампы

Ссылки

Источники

• Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-3678-1
• Адамс, Колин; Кроуфорд, Томас; ДеМео, Бенджамин; Лэндри, Майкл; Лин, Алекс Тонг; Монти, МерфиКейт; Пак, Соджон; Венкатеш, Сарасвати; Йи, Фарра (2015), «Проекции узла с одним множественным пересечением», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 24 (3): 1550011, 30, arXiv : 1208.5742 , doi : 10.1142/S021821651550011X , MR   3342136 , ID   119320887
• Адамс, Колин; Хильдебранд, Мартин; Уикс, Джеффри (1991), «Гиперболические инварианты узлов и связей», Transactions of the American Mathematical Society , 326 (1): 1–56, doi : 10.1090/s0002-9947-1991-0994161-2 , JSTOR   2001854
• Акбулут, Сельман ; Кинг, Генри К. (1981), «Все узлы алгебраические», Комментарий. Математика. Хелв. , 56 (3): 339–351, doi : 10.1007/BF02566217 , S2CID   120218312
• Бар-Натан, Дрор (1995), «Об инвариантах узла Васильева», Топология , 34 (2): 423–472, doi : 10.1016/0040-9383(95)93237-2
• Бертон, Бенджамин А. (2020). «Следующие 350 миллионов узлов» . 36-й Международный симпозиум по вычислительной геометрии (SoCG 2020) . Лейбниц Междунар. Учеб. Информ. Том 164. Замок Дагштуль – Центр информатики Лейбница. стр. 25:1–25:17. doi : 10.4230/LIPIcs.SoCG.2020.25 .
• Коллинз, Грэм (апрель 2006 г.), «Вычисления с квантовыми узлами», Scientific American , 294 (4): 56–63, Бибкод : 2006SciAm.294d..56C , doi : 10.1038/scientificamerican0406-56 , PMID   16596880
• Ден, Макс (1914), «Две петли клеверного листа», Mathematical Annals , 75 (3): 402–413, doi : 10.1007/BF01563732 , S2CID   120452571
• Конвей, Джон Х. (1970), «Перечисление узлов и связей, а также некоторые из их алгебраических свойств», Вычислительные проблемы в абстрактной алгебре , Пергамон, стр. 329–358, doi : 10.1016/B978-0-08-012975 -4.50034-5 , ISBN  978-0-08-012975-4
• Кукла, Гельмут; Хост, Джим (1991), «Таблица ориентированных ссылок. С дополнением к микрофишам», Math. Комп. , 57 (196): 747–761, Bibcode : 1991MaCom..57..747D , doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1094946-4
• Флапан, Эрика (2000), Когда топология встречается с химией: топологический взгляд на молекулярную хиральность , Outlook, Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-66254-3
• Хефлигер, Андре (1962), «Завязанные (4 k - 1)-сферы в 6 k -пространстве», Annals of Mathematics , Second Series, 75 (3): 452–466, doi : 10.2307/1970208 , JSTOR   1970208
• Хакен, Вольфганг (1962), «О проблеме гомеоморфизма трехмерных многообразий. I», Mathematical Journal , 80 : 89–120, doi : 10.1007/BF01162369 , ISSN   0025-5874 , MR   0160196
• Хасс, Джоэл (1998), «Алгоритмы распознавания узлов и трехмерных многообразий», Хаос, солитоны и фракталы , 9 (4–5): 569–581, arXiv : math/9712269 , Bibcode : 1998CSF.....9 ..569H , doi : 10.1016/S0960-0779(97)00109-4 , S2CID   7381505
• Хосте, Джим; Тистлетуэйт, Морвен ; Уикс, Джеффри (1998), «Первые 1 701 935 узлов», Math. Intelligencer , 20 (4): 33–48, doi : 10.1007/BF03025227 , S2CID   18027155
• Хосте, Джим (2005). «Перечисление и классификация узлов и звеньев». Справочник по теории узлов . стр. 209–232. дои : 10.1016/B978-044451452-3/50006-X . ISBN  978-0-444-51452-3 .
• Левин, Джером (1965), «Классификация дифференцируемых узлов», Annals of Mathematics , Second Series, 1982 (1): 15–50, doi : 10.2307/1970561 , JSTOR   1970561
• Концевич, М. (1993). «Инварианты узла Васильева». Семинар И.М.Гельфанда . АДВСОВ. Том. 16. С. 137–150. дои : 10.1090/advsov/016.2/04 . ISBN  978-0-8218-4117-4 .
• Ликориш, В.Б. Рэймонд (1997), Введение в теорию узлов , Тексты для аспирантов по математике, том. 175, Springer-Verlag, номер домена : 10.1007/978-1-4612-0691-0 , ISBN.  978-0-387-98254-0 , S2CID   122824389
• Перко, Кеннет (1974), «О классификации узлов», Труды Американского математического общества , 45 (2): 262–6, doi : 10.2307/2040074 , JSTOR   2040074
• Рольфсен, Дейл (1976), Узлы и связи , Серия лекций по математике, том. 7, Беркли, Калифорния : Опубликуй или погибни, ISBN  978-0-914098-16-4 , МР   0515288
• Шуберт, Хорст (1949). Уникальная разложимость узла на простые узлы . дои : 10.1007/978-3-642-45813-2 . ISBN  978-3-540-01419-5 .
• Сильвер, Дэниел (2006). «Странное происхождение теории узлов». Американский учёный . 94 (2): 158. дои : 10.1511/2006.2.158 .
• Саймон, Джонатан (1986), «Топологическая хиральность некоторых молекул», Topology , 25 (2): 229–235, doi : 10.1016/0040-9383(86)90041-8
• Сосинский, Алексей (2002), Узлы, математика с изюминкой , издательство Гарвардского университета, ISBN  978-0-674-00944-8
• Тураев, Владимир Георгиевич (2016). Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий . дои : 10.1515/9783110435221 . ISBN  978-3-11-043522-1 . S2CID   118682559 .
• Вайсштейн, Эрик В. (2013). «Сокращенная схема узла» . Математический мир . Вольфрам . Проверено 8 мая 2013 г.
• Вайсштейн, Эрик В. (2013a). «Приводимое пересечение» . Математический мир . Вольфрам . Проверено 8 мая 2013 г.
• Виттен, Эдвард (1989), «Квантовая теория поля и полином Джонса» , Comm. Математика. Физ. , 121 (3): 351–399, Bibcode : 1989CMaPh.121..351W , doi : 10.1007/BF01217730 , S2CID   14951363
• Зееман, Эрик К. (1963), «Развязывание комбинаторных шаров», Annals of Mathematics , Second Series, 78 (3): 501–526, doi : 10.2307/1970538 , JSTOR   1970538

Дальнейшее чтение

Вводные учебники

Существует ряд введений в теорию узлов. Классическое введение для аспирантов и студентов старших курсов ( Rolfsen 1976 ). Другие хорошие тексты из ссылок: ( Адамс 2004 ) и ( Ликориш 1997 ). Адамс неформальный и доступен по большей части старшеклассникам. Ликориш — это подробное введение для аспирантов, охватывающее удачное сочетание классических и современных тем. ( Кромвель 2004 ) подходит для студентов, знакомых с топологией множества точек; знание алгебраической топологии не требуется.

• Бурде, Герхард ; Цишанг, Хайнер (1985), Узлы , Исследования Де Грюйтера по математике, том. 5, Вальтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-008675-1
• Кроуэлл, Ричард Х .; Фокс, Ральф (1977). Введение в теорию узлов . Спрингер. ISBN  978-0-387-90272-2 .
• Кауфман, Луи Х. (1987), На узлах , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08435-0
• Кауфман, Луи Х. (2013), Узлы и физика (4-е изд.), World Scientific, ISBN  978-981-4383-00-4
• Кромвель, Питер Р. (2004), Узлы и Связи , Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-54831-1

Опросы

• Менаско, Уильям В.; Тистлтуэйт, Морвен , ред. (2005), Справочник по теории узлов , Elsevier, ISBN  978-0-444-51452-3
  • В справочнике Менаско и Тистлтуэйта рассмотрен ряд тем, имеющих отношение к современным тенденциям исследований, в доступной для студентов продвинутого уровня форме, но представляющей интерес для профессиональных исследователей.
• Ливио, Марио (2009), «Глава 8: Необоснованная эффективность?» , Является ли Бог математиком? , Саймон и Шустер, стр. 203–218, ISBN.  978-0-7432-9405-8

Внешние ссылки

• «Математика и узлы». Это онлайн-версия выставки, разработанной для «PopMath RoadShow» Королевского общества 1989 года. Его целью было использовать узлы для представления методов математики широкой публике.

История

• Томсон, сэр Уильям (1867), «О вихревых атомах» , Труды Королевского общества Эдинбурга , VI : 94–105.
• Силлиман, Роберт Х. (декабрь 1963 г.), «Уильям Томсон: кольца дыма и атомизм девятнадцатого века», Isis , 54 (4): 461–474, doi : 10.1086/349764 , JSTOR   228151 , S2CID   144988108
• Фильм о современной реконструкции эксперимента Тейта с дымовым кольцом.
• История теории узлов (на домашней странице Эндрю Раницки )

Узловые столы и программное обеспечение

• KnotInfo : Таблица инвариантов узлов и ресурсы по теории узлов
• Атлас узлов — подробная информация об отдельных узлах в таблицах узлов.
• KnotPlot — программа для исследования геометрических свойств узлов.
• Knotscape — программа для создания изображений узлов
• Knutilus — онлайн-база данных и генератор изображений узлов
• KnotData.html — функция Wolfram Mathematica для исследования узлов.
• Regina — программное обеспечение для низкоразмерной топологии со встроенной поддержкой узлов и связей. Таблицы простых узлов с числом пересечений до 19