Лепестковая проекция

Лепестковая проекция узла -трилистника , уникальный нетривиальный узел с лепестком номер пять.

В теории узлов лепестковая проекция узла — это диаграмма узла с одним пересечением, на которой встречается нечетное количество невложенных дуг («лепестков»). Поскольку связь «выше-ниже» между ветвями узла в этой точке пересечения не очевидна из внешнего вида диаграммы, ее необходимо указать отдельно как перестановку , описывающую упорядочение ветвей сверху вниз.

Каждый узел или звено имеет выступ-лепесток; минимальное количество лепестков в такой проекции определяет инвариант узла — номер лепестка узла. Лепестковые проекции можно использовать для определения модели Петалумы — семейства распределений вероятностей на узлах с заданным количеством лепестков, определяемых путем выбора случайной перестановки для ветвей лепестковой диаграммы.

Лепестковая проекция

Проекция лепестка — это описание узла как особого вида диаграммы узла, двумерной самопересекающейся кривой, образованной проецированием узла из трех измерений на плоскость. В лепестковой проекции эта диаграмма имеет только одну точку пересечения, образующую топологическую розу . Каждые две ветви кривой, проходящие через эту точку, пересекаются там; ответвления, которые встречаются по касательной без пересечения, не допускаются. «Лепестки», образованные дугами кривой, которые выходят из этой точки пересечения, а затем возвращаются в нее, представляют собой невложенные ограничивающие замкнутые диски, которые не пересекаются, за исключением их общего пересечения в точке пересечения.

Помимо этого топологического описания, точная форма кривой не имеет значения. Например, кривые этого типа могут быть реализованы алгебраически как некие розовые кривые . Однако вместо этого обычно рисуют проекцию лепестка, используя отрезки прямых линий, пересекающие точку пересечения, соединенные в своих конечных точках плавными кривыми, образующими лепестки.

Чтобы указать отношение ветвей кривой «сверху-вниз» в точке пересечения, каждая ветвь помечается целым числом от 1 до количества ветвей, что указывает ее положение в порядке расположения ветвей сверху вниз, как это было бы можно увидеть с трехмерной точки зрения над проецируемой диаграммой. Циклическая перестановка этих целых чисел в радиальном порядке ветвей вокруг точки пересечения может использоваться как чисто комбинаторное описание проекции лепестка.

Чтобы образовать один узел, а не звено, выступ лепестка должен иметь нечетное количество ветвей в точке пересечения. Каждый узел можно представить в виде проекции лепестка для диаграмм с достаточно большим количеством лепестков. Минимально возможное количество лепестков в проекции лепестка данного узла определяет инвариант узла, называемый его номером лепестка.

Модель Петалумы

Модель Петалумы представляет собой случайное распределение узлов, параметризованное нечетным числом. $2n+1$ лепестков в лепестковой диаграмме и определяется путем построения лепестковой диаграммы с этим количеством лепестков с использованием равномерно случайной перестановки на ее ветвях.

Обобщение на ссылки

Проекции лепестков и модель лепестума можно обобщить от узлов до звеньев. Однако при таком обобщении уже невозможно гарантировать, что все лепестки невложены. Вместо этого обобщенные проекции лепестков для связей имеют другой тип стандартной диаграммы, допускающей некоторую вложенность лепестков.