Представительство Бурау

В математике представление Бурау — это представление групп кос , названное в честь немецкого математика Вернера Бурау и первоначально изученное им. ^[1] в течение 1930-х годов. Представление Бурау имеет две распространенные и почти эквивалентные формулировки: приведенное и нередуцированное представления Бурау.

Определение

Конкретно накрывающее пространство $Cn .$ можно представить так: разрежьте диск по линиям от границы до отмеченных точек Возьмите столько копий результата, сколько существует целых чисел, сложите их вертикально и соедините их наклонами, идущими от одной стороны разреза на одном уровне к другой стороне разреза на уровне ниже. Эта процедура показана здесь для $n = 4$ ; накрывающие преобразования $t \pm1$ действовать путем смещения пространства по вертикали.

Рассмотрим группу кос $Bn точками$ как группу классов отображений диска $n$ отмеченными $Dn с$ . Группа гомологии $H1 (свободной абелевой группой Dn) является$ ранга $n$ . Более того, инвариантное подпространство $H 1 (D n)$ (относительно действия $B n$ ) примитивно и бесконечно циклично. Пусть $π : H 1 (D n) \to Z$ — проекция на это инвариантное подпространство. Тогда существует накрытие $Cn,$ соответствующее этому отображению проекции. Как и при построении полинома Александера , рассмотрим $H 1 (C n)$ как модуль над групповым кольцом накрывающих преобразований $Z [Z]$ , которое изоморфно кольцу полиномов Лорана $Z [t, t -1]$ . Как $Z [т, т -1]$ -модуль, $H 1 (C n)$ свободен от ранга $n - 1$ . Согласно основной теории , Bn $действует это представление$ на $H1, и (Cn) накрытий$ называется приведенным представлением Бурау .

Нередуцированное представление Бурау имеет аналогичное определение: $D n$ заменяется его (вещественным, ориентированным) раздутием в отмеченных точках. Тогда вместо рассмотрения $H 1 (C n)$ рассматриваются относительные гомологии $H 1 (C n, Γ)$ , где $γ \subset D n$ — часть границы $D n,$ соответствующая операции раздутия, вместе с одной точкой на граница диска. $Γ$ подъем $γ$ до $Cn .$ обозначает Как $Z [т, т -1]$ -модуль свободен от ранга $n$ .

Благодаря гомологии длинной точной последовательности пары представления Бурау вписываются в короткую точную последовательность

0 \to V r \to V ты \to D \oplus Z [т, т -1] \to 0,

где $V r$ (соответственно $V u$ ) — приведенный (соответственно нередуцированный) модуль Бурау $B n$ -модуль и $D \subset Z н$ является дополнением к диагональному подпространству, другими словами:

D=\left\{\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbf {Z} ^{n}:x_{1}+\cdots +x_{n}=0\right\},

и $B n$ действует на $Z н$ по представлению перестановок.

Явные матрицы

Обозначим через $стандартные σi$ образующие группы $Bn .$ кос Тогда нередуцированное представление Бурау можно задать явно, отобразив

\sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc|c}I_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hline 0&0&0&I_{n-i-1}\end{array}}\right),

для $1 ⩽ i ⩽ n - 1$ , где $I k$ обозначает $единичную матрицу размера k \times k$ . Аналогично, для $n \geq 3$ приведенное представление Бурау имеет вид

\sigma _{1}\mapsto \left({\begin{array}{cc|c}-t&1&0\\0&1&0\\\hline 0&0&I_{n-3}\end{array}}\right),

\sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|ccc|c}I_{i-2}&0&0&0&0\\\hline 0&1&0&0&0\\0&t&-t&1&0\\0&0&0&1&0\\\hline 0&0&0&0&I_{n-i-2}\end{array}}\right),\quad 2\leq i\leq n-2,

\sigma _{n-1}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc}I_{n-3}&0&0\\\hline 0&1&0\\0&t&-t\end{array}}\right),

в то время как для $n = 2$ это отображает

\sigma _{1}\mapsto \left(-t\right).

Интерпретация боулинга

Воган Джонс ^[2] дал следующую интерпретацию нередуцированного представления Бурау положительных кос для $t$ в $[0,1]$ – т.е. для кос, которые являются словами в стандартных генераторах группы кос, не содержащими обратных, – что непосредственно следует из приведенного выше явного описания:

Учитывая положительную косу $σ$ на $n$ прядях, интерпретируйте ее как дорожку для боулинга с $n$ переплетающимися дорожками. Теперь бросьте шар для боулинга на одну из дорожек и предположим, что на каждом перекрестке, где его путь пересекает другую дорожку, он падает с вероятностью $t$ и продолжает движение по нижней дорожке. Тогда $(i, j)$ -я запись нередуцированного представления Бурау для $σ$ — это вероятность того, что мяч, брошенный на $i$ -ю дорожку, окажется на $j$ -й дорожке.

Связь с полиномом Александера

узел $K$ является замыканием косы $f$ в $Bn Если$ , то с точностью до умножения на единицу в $Z [t, t -1]$ , полином Александера $Δ K (t)$ от $K$ определяется выражением

{\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*}),

где $f *$ — приведенное представление Бурау косы $f$ .

Например, если $f = σ1 что σ2,$ в $B3,$ с помощью явных матриц, приведенных выше, можно найти

{\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*})=1,

и замыкание $f *$ — это узел, полином Александера которого равен $1$ .

Верность

Первые неточные представления Бурау были найдены Джоном А. Муди без использования компьютера, с использованием понятия числа витков или контурного интегрирования. ^[3] Более концептуальное понимание благодаря Даррену Д. Лонгу и Марку Пэтону. ^[4] интерпретирует связывание или обмотку как результат двойственности Пуанкаре в первой гомологии относительно базовой точки покрывающего пространства и использует форму пересечения (традиционно называемую формой Сквайера, поскольку Крейг Сквайер был первым, кто исследовал ее свойства). ^[5] Стивен Бигелоу объединил компьютерные методы и теорему Лонга – Патона, чтобы показать, что представление Бурау неверно для $n \geq 5$ . ^[6]^[7]^[8] Более того, Бигелоу предоставляет явный нетривиальный элемент в ядре в виде слова в стандартных генераторах группы кос: пусть

\psi _{1}=\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{4}^{3}\sigma _{3}\sigma _{2},\quad \psi _{2}=\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}\sigma _{4}^{5}.

Тогда элемент ядра задается коммутатором

[\psi _{1}^{-1}\sigma _{4}\psi _{1},\psi _{2}^{-1}\sigma _{4}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{4}\psi _{2}].

представление Бурау для $n = 2, 3$ В течение некоторого времени известно, что является точным. Точность представления Бурау при $n = 4$ является открытой проблемой. Представление Бурау появляется как слагаемое представления Джонса , и для $n = 4$ точность представления Бурау эквивалентна точности представления Джонса, что, с другой стороны, связано с вопросом о том, является ли полином Джонса это детектор развязывания . ^[9]

Геометрия

Крейг Сквайер показал, что представление Бурау сохраняет полуторалинейную форму . ^[5] Более того, когда переменная $t$ выбирается в качестве трансцендентного единичного комплексного числа вблизи $1$ , это положительно определенное эрмитово спаривание . Таким образом, представление Бурау группы кос $B n$ можно рассматривать как отображение в унитарную группу U( n ).

Ссылки

^ Бурау, Вернер (1936). «О группах кос и сцеплений, скрученных в одном направлении». Деф. Гамбург . 11 :179-186. дои : 10.1007/bf02940722 . S2CID 119576586 .
^ Джонс, Воган (1987). «Представления групп кос и полиномов зацепления в алгебре Гекке». Анналы математики . Вторая серия. 126 (2): 335–388. дои : 10.2307/1971403 . JSTOR 1971403 .
^ Муди, Джон Этвелл (1993), «Вопрос верности представления Бурау», Proceedings of the American Mathematical Society , 119 (2): 671–679, doi : 10.1090/s0002-9939-1993-1158006-x , JSTOR 2159956 , МР 1158006
^ Лонг, Даррен Д.; Патон, Марк (1993), «Представление Бурау неверно для $n\geq 6$ ", Топология , 32 (2):439–447, doi : 10.1016/0040-9383(93)90030-Y , МР 1217079
^ Перейти обратно: ^а ^б Сквайер, Крейг С. (1984). «Представительство Бурау унитарно» . Труды Американского математического общества . 90 (2): 199–202. дои : 10.2307/2045338 . JSTOR 2045338 .
^ Бигелоу, Стивен (1999). «Представление Бурау неверно при $n = 5$ ». Геометрия и топология . 3 : 397–404. arXiv : математика/9904100 . дои : 10.2140/gt.1999.3.397 . S2CID 5967061 .
^ С. Бигелоу , Международный конгресс математиков, Пекин, 2002 г.
^ Владимир Тураев , Верные представления групп кос, Бурбаки 1999-2000 гг.
^ Бигелоу, Стивен (2002). «Обнаруживает ли полином Джонса узел?». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 11 (4): 493–505. arXiv : math/0012086 . дои : 10.1142/s0218216502001779 . S2CID 1353805 .

Внешние ссылки

« Теорема Бурау », Атлас узлов .

[burau-1] Бурау, Вернер (1936). «О группах кос и сцеплений, скрученных в одном направлении». Деф. Гамбург . 11 :179-186. дои : 10.1007/bf02940722 . S2CID 119576586 .

[Jones-2] Джонс, Воган (1987). «Представления групп кос и полиномов зацепления в алгебре Гекке». Анналы математики . Вторая серия. 126 (2): 335–388. дои : 10.2307/1971403 . JSTOR 1971403 .

[3] Муди, Джон Этвелл (1993), «Вопрос верности представления Бурау», Proceedings of the American Mathematical Society , 119 (2): 671–679, doi : 10.1090/s0002-9939-1993-1158006-x , JSTOR 2159956 , МР 1158006

[lp-4] Лонг, Даррен Д.; Патон, Марк (1993), «Представление Бурау неверно для $n\geq 6$ ", Топология , 32 (2):439–447, doi : 10.1016/0040-9383(93)90030-Y , МР 1217079

[squier-5] Перейти обратно: ^а ^б Сквайер, Крейг С. (1984). «Представительство Бурау унитарно» . Труды Американского математического общества . 90 (2): 199–202. дои : 10.2307/2045338 . JSTOR 2045338 .

[bigelow-6] Бигелоу, Стивен (1999). «Представление Бурау неверно при $n = 5$ ». Геометрия и топология . 3 : 397–404. arXiv : математика/9904100 . дои : 10.2140/gt.1999.3.397 . S2CID 5967061 .

[icm-7] С. Бигелоу , Международный конгресс математиков, Пекин, 2002 г.

[8] Владимир Тураев , Верные представления групп кос, Бурбаки 1999-2000 гг.

[bigelowunknot-9] Бигелоу, Стивен (2002). «Обнаруживает ли полином Джонса узел?». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 11 (4): 493–505. arXiv : math/0012086 . дои : 10.1142/s0218216502001779 . S2CID 1353805 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]