Представление Лоуренса – Краммера

В математике представление Лоуренса -Краммера представляет собой представление групп кос . Оно вписывается в семейство представлений, называемых представлениями Лоуренса. Первое представление Лоуренса — это представление Бурау , а второе — представление Лоуренса-Краммера.

Представительство Лоуренса-Краммера названо в честь Рут Лоуренс и Даана Краммера.

Определение

Рассмотрим группу кос $B_{n}$ быть группой классов отображения диска с n отмеченными точками, $P_{n}$. Представление Лоуренса-Краммера определяется как действие $B_{n}$ о гомологии некоторого накрытия конфигурационного пространства $C_{2}P_{n}$. В частности, первая целая группа гомологии $C_{2}P_{n}$ изоморфен $\mathbb {Z} ^{n+1}$и подгруппа $H_{1}(C_{2}P_{n},\mathbb {Z} )$ инвариантен относительно действия $B_{n}$ примитивна, свободна абелева и имеет ранг 2. Генераторы этой инвариантной подгруппы обозначаются через $q,t$.

Площадь покрытия $C_{2}P_{n}$ соответствующий ядру отображения проекции

$\pi _{1}(C_{2}P_{n})\to \mathbb {Z} ^{2}\langle q,t\rangle$

называется покрытием Лоуренса–Краммера и обозначается ${\overline {C_{2}P_{n}}}$. Диффеоморфизмы ​ $P_{n}$ действовать дальше $P_{n}$, таким образом, и на $C_{2}P_{n}$, причем они однозначно поднимаются до диффеоморфизмов ${\overline {C_{2}P_{n}}}$ которые ограничиваются тождеством на граничном слое коразмерности два (где обе точки находятся на граничном круге). Действие $B_{n}$ на

$H_{2}({\overline {C_{2}P_{n}}},\mathbb {Z} ),$

мыслится как

$\mathbb {Z} \langle t^{\pm },q^{\pm }\rangle$-модуль,

представляет собой представление Лоуренса-Краммера. Группа $H_{2}({\overline {C_{2}P_{n}}},\mathbb {Z} )$ как известно, является бесплатным $\mathbb {Z} \langle t^{\pm },q^{\pm }\rangle$-модуль ранга $n(n-1)/2$.

Матрицы

Используя соглашения Бигелоу для представления Лоуренса – Краммера, генераторы группы $H_{2}({\overline {C_{2}P_{n}}},\mathbb {Z} )$ обозначаются $v_{j,k}$ для $1\leq j<k\leq n$. Сдача в аренду $\sigma _{i}$ обозначим стандартные генераторы Артина группы кос , получим выражение:

$\sigma _{i}\cdot v_{j,k}=\left\{{\begin{array}{lr}v_{j,k}&i\notin \{j-1,j,k-1,k\},\\qv_{i,k}+(q^{2}-q)v_{i,j}+(1-q)v_{j,k}&i=j-1\\v_{j+1,k}&i=j\neq k-1,\\qv_{j,i}+(1-q)v_{j,k}-(q^{2}-q)tv_{i,k}&i=k-1\neq j,\\v_{j,k+1}&i=k,\\-tq^{2}v_{j,k}&i=j=k-1.\end{array}}\right.$

Верность

Стивен Бигелоу и Даан Краммер предоставили независимые доказательства того, что представление Лоуренса-Краммера верно .

Геометрия

Представление Лоуренса-Краммера сохраняет невырожденную полуторалинейную форму , которая, как известно, является отрицательно определенной эрмитовой при условии, что $q,t$ специализированы для подходящих единичных комплексных чисел ( q около 1 и t около i ). Таким образом, группа кос является подгруппой унитарной группы квадратных матриц размера $n(n-1)/2$. Недавно было показано, что образ представления Лоуренса–Краммера в этом случае является плотной подгруппой унитарной группы .

Полуторалинейная форма имеет явное описание:

$\langle v_{i,j},v_{k,l}\rangle =-(1-t)(1+qt)(q-1)^{2}t^{-2}q^{-3}\left\{{\begin{array}{lr}-q^{2}t^{2}(q-1)&i=k<j<l{\text{ or }}i<k<j=l\\-(q-1)&k=i<l<j{\text{ or }}k<i<j=l\\t(q-1)&i<j=k<l\\q^{2}t(q-1)&k<l=i<j\\-t(q-1)^{2}(1+qt)&i<k<j<l\\(q-1)^{2}(1+qt)&k<i<l<j\\(1-qt)(1+q^{2}t)&k=i,j=l\\0&{\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.$

Дальнейшее чтение

• Бигелоу, Стивен (2001), «Группы кос линейны», Журнал Американского математического общества , 14 (2): 471–486, doi : 10.1090/S0894-0347-00-00361-1 , MR   1815219
• Бигелоу, Стивен (2003), «Представление Лоуренса-Краммера», Топология и геометрия многообразий , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 71, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 51–68, doi : 10.1090/pspum/071 , ISBN.  9780821835074 , МР   2024629
• Бадни, Райан (2005), «Об образе представления Лоуренса-Краммера», Journal of Knot Theory and Her Ramifications , 14 (6): 773–789, arXiv : math/0202246 , doi : 10.1142/S0218216505004044 , MR   2172897 , S2CID   14196563
• Краммер, Даан (2002), «Группы кос линейны», Annals of Mathematics , 155 (1): 131–156, arXiv : math/0405198 , doi : 10.2307/3062152 , JSTOR   3062152 , MR   1888796 , S2CID   62899383
• Лоуренс, Рут (1990), «Гомологические представления алгебры Гекке» , Communications in Mathematical Physics , 135 (1): 141–191, Бибкод : 1990CMaPh.135..141L , doi : 10.1007/bf02097660 , MR   1086755 , S2CID   121644260
• Паолуцци, Луиза; Пэрис, Луис (2002). «Заметка о представлении Лоуренса-Краммера-Бигелоу». Алгебраическая и геометрическая топология . 2 : 499–518. arXiv : math/0111186 . дои : 10.2140/agt.2002.2.499 . МР   1917064 . S2CID   12672756 .