Теорема Маркова

Закрытие косы

В математике теорема Маркова дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы две косы имели замыкания, являющиеся эквивалентными узлами или связями . Условия формулируются в терминах групповых структур на косах.

Косы — это алгебраические объекты, описываемые диаграммами; Связь с топологией дается теоремой Александера , которая утверждает, что каждый узел или звено в трехмерном евклидовом пространстве является замыканием косы . Теорема Маркова, доказанная российским математиком Андреем Андреевичем Марковым-младшим. описывает элементарные ходы, порождающие отношение эквивалентности на косах, заданное эквивалентностью их замыканий.

Более точно теорему Маркова можно сформулировать следующим образом: даны две косы, представленные элементами $\beta _{n},\beta _{m}'$ в группах кос $B_{n},B_{m}$, их замыкания являются эквивалентными ссылками тогда и только тогда, когда $\beta _{m}'$ можно получить, обратившись в $\beta _{n}$ последовательность следующих операций:

1. сопряжение $\beta _{n}$ в $B_{n}$;
2. замена $\beta _{n}$ к $\beta _{n}\sigma _{n+1}^{\pm 1}\in B_{n+1}$ (здесь $\sigma _{i}$ – стандартные образующие групп кос; геометрически это означает добавление пряди справа от схемы косы и один раз скручивание ее с (ранее) последней прядью);
3. обратная предыдущей операции (если $\beta _{n}=\beta _{n-1}\sigma _{n}^{\pm 1}$ с $\beta _{n-1}\in B_{n-1}$ заменить на $\beta _{n-1}$).