Расслоенное пространство Зейферта

Расслоение Зейферта представляет собой трехмерное многообразие с разложением в виде несвязного объединения окружностей. Другими словами, это $S^{1}$-расслоение ( расслоение окружностей ) над двумерным орбифолдом . Многие 3-многообразия являются расслоениями Зейферта и объясняют все компактные ориентированные многообразия в 6 из 8 геометрий Терстона геометризации гипотезы .

Определение

Стандартный расслоенный тор, соответствующий (5,2), получается склейкой верха цилиндра с низом поворотом на 2/5 против часовой стрелки.

Многообразие Зейферта — это замкнутое трехмерное многообразие с разложением на несвязное объединение окружностей (называемых слоями), такое, что каждый слой имеет трубчатую окрестность, образующую стандартный расслоенный тор.

Стандартный расслоенный тор, соответствующий паре взаимно простых целых чисел. $(a,b)$ с $a>0$ — поверхностное расслоение автоморфизма диска, заданного поворотом на угол $2\pi b/a$ (с естественным расслоением кружками). Если $a=1$ среднее волокно называется обычным , а если $a>1$ среднее волокно называется исключительным . Компактное расслоение Зейферта имеет лишь конечное число исключительных слоев.

Набор слоев образует двумерный орбифолд , обозначаемый B и называемый базой (также называемой поверхностью орбиты ) расслоения. Он имеет подстилающую двумерную поверхность. $B_{0}$, но может иметь некоторые специальные точки орбифолда, соответствующие исключительным слоям.

Определение расслоения Зейферта можно обобщить несколькими способами. Многообразию Зейферта часто разрешено иметь границу (также расслоенную окружностями, поэтому оно представляет собой объединение торов). При изучении неориентируемых многообразий иногда полезно разрешить слоям иметь окрестности, которые выглядят как поверхностное расслоение отражения (а не вращения) диска, так что некоторые слои имеют окрестности, похожие на расслоенные бутылки Клейна, в которых В этом случае могут существовать однопараметрические семейства исключительных кривых. В обоих этих случаях база B расслоения обычно имеет непустую границу.

Классификация

Герберт Зейферт классифицировал все замкнутые расслоения Зейферта в терминах следующих инвариантов. Многообразия Зейферта обозначаются символами

$\{b,(\varepsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,$

где: $\varepsilon$ является одним из 6 символов: $o_{1},o_{2},n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\,$, (или Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII в исходных обозначениях Зейферта), что означает:

• $o_{1}$ если B ориентируем ориентируем и M .
• $o_{2}$ если B ориентируем, а M неориентируем.
• $n_{1}$ если B неориентируемо и M неориентируемо и все образующие $\pi _{1}(B)$ сохранить ориентацию волокна.
• $n_{2}$ если B неориентируемо, а M ориентируемо, то все генераторы $\pi _{1}(B)$ обратная ориентация волокна.
• $n_{3}$ если B неориентируемо и M неориентируемо и $g\geq 2$ и ровно один генератор $\pi _{1}(B)$ сохраняет ориентацию волокна.
• $n_{4}$ если B неориентируемо и M неориентируемо и $g\geq 3$ и ровно два генератора $\pi _{1}(B)$ сохранить ориентацию волокна.

Здесь

• g — род лежащего в основе 2-многообразия поверхности орбиты.
• b — целое число, нормализованное до 0 или 1, если M неориентируемо, и нормализованное до 0, если, кроме того, некоторые $a_{i}$ это 2.
• $(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})$ — пары чисел, определяющие тип каждой из r исключительных орбит. Они нормированы так, что $0<b_{i}<a_{i}$ когда M ориентируемо, и $0<b_{i}\leq a_{i}/2$ когда M неориентируемо.

Расслоение Зейферта символа

$\{b,(\epsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})\}$

может быть построено из символа

$\{0,(\epsilon ,g);\}$

с помощью хирургического вмешательства по добавлению волокон типов b и $b_{i}/a_{i}$.

Если отказаться от условий нормировки, то символ можно изменить следующим образом:

• Изменение знака обоих $a_{i}$ и $b_{i}$ не имеет никакого эффекта.
• Прибавление 1 к b и вычитание $a_{i}$ от $b_{i}$ не имеет никакого эффекта. (Другими словами, мы можем добавить целые числа к каждому из рациональных чисел $(b,b_{1}/a_{1},\ldots ,b_{r}/a_{r}$ при условии, что их сумма остается постоянной.)
• Если многообразие неориентируемо, то изменение знака $b_{i}$ не имеет никакого эффекта.
• Добавление волокна типа (1,0) не дает никакого эффекта. При этих операциях каждый символ эквивалентен уникальному нормализованному символу. При работе с ненормализованными символами целое число b можно обнулить, добавив слой типа $(1,b)$.

Два замкнутых ориентированных или неориентируемых расслоения Зейферта изоморфны как ориентированные или неориентируемые расслоения тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же нормализованный символ. Однако иногда два многообразия Зейферта могут быть гомеоморфными, даже если они имеют разные нормализованные символы, поскольку некоторые многообразия (например, линзовые пространства) могут иметь более одного типа расслоений Зейферта. Также ориентированное расслоение при изменении ориентации становится расслоением Зейферта, символ которого имеет знак всех измененных b s, что после нормализации дает ему символ

$\{-b-r,(\epsilon ,g);(a_{1},a_{1}-b_{1}),\ldots ,(a_{r},a_{r}-b_{r})\}$

и оно гомеоморфно этому как неориентированное многообразие.

Сумма $b+\sum b_{i}/a_{i}$ является инвариантом ориентированных расслоений,которое равно нулю тогда и только тогда, когда расслоение становится тривиальным после конечного покрытия B .

Орбифолдная характеристика эйлерова $\chi (B)$ орбифолда B определяется выражением

$\chi (B)=\chi (B_{0})-\sum (1-1/a_{i})$,

где $\chi (B_{0})$ — обычная эйлерова характеристика подстилающей топологической поверхности. $B_{0}$ орбифолда B . Поведение M во многом зависит от знака орбифолда Эйлера, характерного для B .

Фундаментальная группа

Фундаментальная группа M последовательность вписывается в точную

$\pi _{1}(S^{1})\rightarrow \pi _{1}(M)\rightarrow \pi _{1}(B)\rightarrow 1$

где $\pi _{1}(B)$ — это орбифолда фундаментальная группа B (которая не совпадает с фундаментальной группой лежащего в основе топологического многообразия). Образ группы $\pi _{1}(S^{1})$ является циклическим, нормальным и порождается элементом h, представленным любым регулярным слоем, но отображение из π ₁ ( S ¹ ) до π ₁ ( M ) не всегда инъективен.

Фундаментальная группа M имеет следующее представление образующими и отношениями:

B регулируемый:

$\langle u_{1},v_{1},...u_{g},v_{g},q_{1},...q_{r},h|u_{i}h=h^{\epsilon }u_{i},v_{i}h=h^{\epsilon }v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}[u_{1},v_{1}]...[u_{g},v_{g}]=h^{b}\rangle$

где ε равно 1 для типа o ₁ и равно −1 для типа o ₂ .

B неориентируемый:

$\langle v_{1},...,v_{g},q_{1},...q_{r},h|v_{i}h=h^{\epsilon _{i}}v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}v_{1}^{2}...v_{g}^{2}=h^{b}\rangle$

где ε _i равно 1 или −1 в зависимости от того, сохраняет ли соответствующий генератор v _i ориентацию волокна или меняет ее на противоположную. (Итак, все ε _i равны 1 для типа n ₁ , все −1 для типа n ₂ только первый из них один для типа n ₃ , и только первые два — один для типа n _4. )

Положительная орбифолдная эйлерова характеристика

Нормированные символы расслоений Зейферта с положительной эйлеровой характеристикой орбифолда приведены в списке ниже. Эти многообразия Зейферта часто имеют множество различных расслоений Зейферта. Они имеют сферическую геометрию Терстона , если фундаментальная группа конечна, а S ² × R Геометрия Терстона, если фундаментальная группа бесконечна. Эквивалентно, геометрия S ² × R, если многообразие неориентируемо или если b + Σ b _i / a _i = 0, и сферическая геометрия в противном случае.

{ б ; ( o ₁ , 0);} ( b целое) это S ² × S ¹ для b =0, иначе линзовое пространство L ( b ,1). В частности, {1; ( o ₁ , 0);} = L (1,1) – 3-сфера.

{ б ; ( o ₁ , 0);( a ₁ , b ₁ )} ( b целое) — линзовое пространство L ( ba ₁ + b ₁ , a ₁ ).

{ б ; ( о ₁ , 0);( а ₁ , б ₁ ), ( а ₂ , б ₂ )} ( б целое число) это S ² × S ¹ если ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ = 0, в противном случае пространство линзы L ( ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ , ma ₂ + nb ₂ ), где ma ₁ − n ( ба ₁ + б ₁ ) = 1.

{ б ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (2, 1), ( a ₃ , b ₃ )} ( b целое) Это призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка 4 a ₃ |( b +1) a ₃ + b ₃ |и первая группа гомологий порядка 4|( b +1) a ₃ + b ₃ |.

{ б ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b целое) Фундаментальная группа является центральным расширением тетраэдрической группы 12-го порядка циклической группой.

{ б ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b целое) Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка |12 b +6+4 b ₂ + 3 b ₃ | и двойное покрытие 48-го порядка октаэдрической группы 24-го порядка.

{ б ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (5, b ₃ )} ( b целое) Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка m =|30 b +15+10 b ₂ +6 b ₃ | и идеальное двойное покрытие порядка 120 икосаэдрической группы. Многообразия факторы сферы гомологии Пуанкаре по циклическим группам порядка m . В частности, {−1; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, 1), (5, 1)} — сфера Пуанкаре.

{ б ; ( n ₁ , 1);} ( b равно 0 или 1.) Это неориентируемые 3-многообразия с S ² × R -геометрия.Если b четно, это гомеоморфно проективная плоскость умножена на окружность, в противном случае она гомеоморфна поверхностному расслоению, соответствующему автоморфизму 2-сферы, меняющему ориентацию.

{ б ; ( n ₁ , 1); ( a ₁ , b ₁ )} ( b равно 0 или 1.) Это неориентируемые 3-многообразия с S ² × R -геометрия.Если ba ₁ + b ₁ четно, то это гомеоморфно проективная плоскость умножена на окружность, в противном случае она гомеоморфна поверхностному расслоению, соответствующему автоморфизму 2-сферы, меняющему ориентацию.

{ б ; ( n ₂ , 1);} ( b целое.) Это многообразие призмы с фундаментальной группой порядка 4 | б | и первая группа гомологии порядка 4, за исключением b = 0, когда она представляет собой сумму двух копий реального проективного пространства, и | b |=1, когда это пространство линзы с фундаментальной группой порядка 4.

{ б ; ( n ₂ , 1);( a ₁ , b ₁ )} ( b целое.) Это (уникальное) призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка.4 а ₁ | ба ₁ + б ₁ | и первая группа гомологии порядка 4 a ₁ .

Нулевая орбифолдная эйлерова характеристика

Нормализованные символы расслоений Зейферта с нулевой орбифолдной эйлеровой характеристикой приведены в списке ниже. Многообразия имеют евклидову геометрию Терстона , если они неориентируемы или если b + Σ b _i / a _i = 0, и нулевую геометрию в противном случае. Эквивалентно, многообразие имеет евклидову геометрию тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа имеет абелеву группу конечного индекса. Существует 10 евклидовых многообразий, но четыре из них имеют два разных расслоения Зейферта. Все поверхностные расслоения, ассоциированные с автоморфизмами 2-тора следа 2, 1, 0, −1 или −2, являются расслоениями Зейферта с нулевой орбифолдной эйлеровой характеристикой (расслоения для других ( аносовских ) автоморфизмов не являются расслоениями Зейферта, но имеют геометрия Солнца ). Все многообразия с нулевой геометрией имеют единственное расслоение Зейферта и характеризуются своими фундаментальными группами. Все пространства являются ациклическими.

{ б ; ( о ₁ , 0); (3, b ₁ ), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b целое число, b _i равно 1 или 2) Для b + Σ b _i / a _i = 0 это ориентированное евклидово расслоение 2-торов над окружностью и поверхностное расслоение, связанное с вращением порядка 3 (след −1) 2-тора.

{ б ; ( о ₁ , 0); (2,1), (4, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b целое число, b _i равно 1 или 3) Для b + Σ b _i / a _i = 0 это ориентированное евклидово расслоение 2-торов над окружностью и поверхностное расслоение, связанное с вращением 2-тора порядка 4 (след 0).

{ б ; ( о ₁ , 0); (2, 1), (3, b ₂ ), (6, b ₃ )} ( b целое число, b ₂ равно 1 или 2, b ₃ равно 1 или 5) Для b + Σ b _i / a _i = 0 это ориентированное евклидово расслоение 2-тора над окружностью и поверхностное расслоение, связанное с вращением 2-тора порядка 6 (след 1).

{ б ; ( о ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} ( б интеграл) Это ориентированные расслоения 2-торов для автоморфизмов следа −2 2-тора. При b = −2 это ориентированное евклидово расслоение 2-торов над окружностью (поверхностное расслоение, связанное с вращением 2-тора порядка 2) и гомеоморфно {0; ( n ₂ , 2);}.

{ б ; ( о ₁ , 1); } ( б интеграл) Это ориентированное расслоение 2-торов над окружностью, заданное как поверхностное расслоение, ассоциированное с автоморфизмом следа 2 2-тора. Для b = 0 это евклидово и является 3-тором (поверхностное расслоение, связанное с тождественным отображением 2-тора).

{ б ; ( о ₂ , 1); } ( b равно 0 или 1) Два неориентируемых пучка евклидовых бутылок Клейна по окружности. Первая гомология — это Z + Z + Z /2 Z, если b = 0, и Z + Z, если b = 1.Первый — это время бутылки Клейна S. ¹ и другое — поверхностное расслоение, связанное с поворотом Дена бутылки Клейна .Они гомеоморфны расслоениям торов { b ; ( n ₁ , 2);}.

{0; ( п ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)} Гомеоморфно неориентируемому расслоению евклидовой бутылки Клейна {1; ( n ₃ , 2);} с первыми гомологиями Z + Z /4 Z .

{ б ; ( п ₁ , 2); } ( b равно 0 или 1) Это неориентируемые евклидовы поверхностные расслоения, связанные с изменяющими ориентацию автоморфизмами порядка 2 2-тора без неподвижных точек.Первая гомология — это Z + Z + Z /2 Z, если b = 0, и Z + Z, если b = 1.Они гомеоморфны расслоениям бутылок Клейна { b ; ( о ₂ , 1);}.

{ б ; ( п ₂ , 1); (2, 1), (2, 1)} ( б интеграл) При b = −1 это ориентированное евклидово.

{ б ; ( п ₂ , 2); } ( б интеграл) При b =0 это ориентированное евклидово многообразие, гомеоморфное расслоению 2-торов {−2; ( о ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} над кругом связанный с вращением 2-го порядка 2-тора.

{ б ; ( п ₃ , 2); } ( b равно 0 или 1) Два других неориентируемых пучка евклидовых бутылок Клейна. Тот, у которого b = 1, гомеоморфен {0; ( п ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}. Первая гомология равна Z + Z /2 Z + Z /2 Z , если b =0, и Z + Z /4 Z, если b =1. Эти два расслоения бутылок Клейна представляют собой поверхностные расслоения, связанные с y-гомеоморфизмом и его продуктом и скручиванием.

Отрицательная эйлерова характеристика орбифолда

Это общий случай. Все такие расслоения Зейферта определяются с точностью до изоморфизма своей фундаментальной группой. Тотальные пространства асферичны (другими словами, все высшие гомотопические группы исчезают). Они имеют геометрию Терстона типа универсального накрытия SL ₂ ( R ) , если только какое-то конечное накрытие не распадается как произведение, и в этом случае они имеют геометрию Терстона типа H ₂ × R .Это происходит, если многообразие неориентируемо или b + Σ b _i / a _i = 0.

Ссылки

• А.В. Чернавский (2001) [1994], "Расслоения Зейферта" , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Herbert Seifert , Topologie drei Dimensioner gefaserter Räume , Acta Mathematica 60 (1933) 147–238 (Есть перевод В. Хайля, опубликованный Университетом штата Флорида в 1976 году и найденный в: Herbert Seifert , William Threlfall , Seifert and Threllfall: a textbook топологии , Чистая и прикладная математика, Academic Press Inc (1980), том 89.)
• Питер Орлик , Многообразия Зейферта , Конспект лекций по математике 291, Springer (1972).
• Фрэнк Рэймонд , Классификация действий круга на трехмерных многообразиях , Труды Американского математического общества 31, (1968) 51–87.
• Уильям Х. Жако , Лекции по топологии трехмерного многообразия ISBN   0-8218-1693-4
• Уильям Х. Жако , Питер Б. Шален , Расслоенные пространства Зейферта в трех многообразиях: Серия мемуаров № 220 ( Мемуары Американского математического общества ; т. 21, № 220) ISBN   0-8218-2220-9
• Мэтью Г. Брин (2007). «Расслоенные пространства Зейферта: заметки к курсу, прочитанному весной 1993 года». arXiv : 0711.1346 [ math.GT ].
• Джон Хемпель, 3-многообразия , Американское математическое общество, ISBN   0-8218-3695-1
• Питер Скотт , Геометрия трёхмерных многообразий. ( опечатка ), Бюлл. Лондонская математика. Соц. 15 (1983), вып. 5, 401–487.