Плетеное векторное пространство

В математике . плетеное векторное пространство $\;V$ представляет собой векторное пространство вместе с дополнительной структурной картой $\tau$ символизирующий обмен двумя копиями векторных тензоров :

$\tau :\;V\otimes V\longrightarrow V\otimes V$

такая, что уравнение Янга–Бакстера выполняется . Следовательно, рисуя тензорные диаграммы с $\tau$ пересечение к соответствующего составного морфизма не изменяется, когда тензорной диаграмме применяется ход Райдемейстера , и, таким образом, они представляют собой представление группы кос .

В качестве первого примера каждое векторное пространство сплетается с помощью тривиального сплетения (простого переворачивания). . Суперпространство нечетных имеет сплетение с отрицательным знаком при сплетении двух векторов . В более общем смысле диагональное плетение означает, что для $V$-база $x_{i}$ у нас есть

$\tau (x_{i}\otimes x_{j})=q_{ij}(x_{j}\otimes x_{i})$

Хороший источник плетеных векторных пространств, целых плетеных моноидальных категорий с переплетениями между любыми объектами. $\tau _{V,W}$, что наиболее важно, модули над квазитреугольными алгебрами Хопфа и модули Йеттера–Дринфельда над конечными группами (такими как $\mathbb {Z} _{2}$ выше)

Если $V$ дополнительно обладает структурой алгебры внутри категории со сплетением »), у него есть сплетенный коммутатор (например, для суперпространства антикоммутатор («скрученная алгебра ):

$\;[x,y]_{\tau }:=\mu ((x\otimes y)-\tau (x\otimes y))\qquad \mu (x\otimes y):=xy$

Примерами таких плетеных алгебр (и даже алгебр Хопфа ) являются алгебры Николса , которые по определению порождаются данным плетеным векторным пространством. Они появляются как квантовая борелевская часть квантовых групп и часто (например, когда они конечны или над абелевой группой) обладают арифметической корневой системой , множественными диаграммами Дынкина и PBW-базисом, состоящим из плетеных коммутаторов, точно так же, как в полупростых алгебрах Ли .