Алгебра Николса

В алгебре алгебра Николса плетеного векторного пространства (с расплетением, часто индуцированным конечной группой) является плетеной алгеброй Хопфа , которая обозначается ${\mathfrak {B}}(V)$ и назван в честь математика Уоррена Николса. Он играет роль квантовой борелевской части заостренной алгебры Хопфа. такие как квантовые группы и их хорошо известные конечномерные усечения. Алгебры Николса можно сразу же использовать для записи новых таких квантовых групп, используя бипроизведение Рэдфорда .

Классификация всех таких алгебр Николса и даже всех связанных с ними квантовых групп (см. Приложение) быстро продвигалась, хотя многое еще остается открытым: случай абелевой группы был решен в 2005 г. но в остальном это явление кажется очень редким: известно несколько примеров и установлены мощные критерии отрицания (см. Ниже). См. также этот Список конечномерных алгебр Николса .

Конечномерная теория во многом определяется теорией корневых систем и диаграмм Дынкина , поразительно похожих на те, что используются в полупростых алгебрах Ли . Подробное введение можно найти в лекции Хекенбергера.

Определение

Рассмотрим модуль Йеттера–Дринфельда V в категории Йеттера–Дринфельда. ${}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$. Это особенно плетеное векторное пространство, см. Категория плетеного моноида .

Тензорная алгебра $TV$ модуля Йеттера–Дринфельда $V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$ всегда является плетеной алгеброй Хопфа . Побочный продукт $\Delta$ и счетчик $\epsilon$ из $TV$ определяется таким образом, что элементы $V$ примитивны, то естьдля всех $v\in V$

$\Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1$

$\epsilon (v)=0$

Алгебра Николса может быть однозначно определена несколькими эквивалентными характеризациями , некоторые из которых сосредоточены на структуре алгебры Хопфа, а некоторые являются более комбинаторными. Тем не менее, явное определение алгебры Николса (даже определение того, конечномерна ли она) может быть очень трудным и открытым в нескольких конкретных случаях (см. ниже).

Определение I: Комбинаторная формула

Позволять $V$ быть сплетенным векторным пространством , это означает, что существует действие группы кос $\mathbb {B} _{n}$ на $V^{\otimes n}$ для любого $n\in \mathbb {N}$, где транспонирование $(i,i+1)$ действует как $id\otimes \cdots \otimes \tau \otimes id\cdots id$. Очевидно, существует гомоморфизм симметрической группы $\pi :\mathbb {B} _{n}\to \mathbb {S} _{n}$ но это не допускает ни раздела, ни действия по $V^{\otimes n}$ в общем факторизуйте это.

Рассмотрим все же теоретико-множественный раздел $s:\mathbb {S} _{n}\to \mathbb {B} _{n}$ отправка транспозиции в транспозицию и произвольные элементы через любое сокращенное выражение . Это не групповой гомоморфизм, но теорема Мацумото (теория групп) говорит нам, что действие любого $s(\sigma )$ на $V^{\otimes n}$ корректно определен независимо от выбора сокращенного выражения. Наконец, алгебра Николса тогда будет

${\mathfrak {W}}_{n}:=\sum _{\sigma \in \mathbb {S} _{n}}s(\sigma ):\;\;V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}\qquad {\text{(quantum symmetrizer or quantum shuffle map)}}$

${\mathfrak {B}}(V):=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}/Ker({\mathfrak {W}}_{n})$

Это определение позже (но независимо) было дано Вороновичем. Его недостаток заключается в том, что он редко бывает полезен в алгебраических доказательствах, но он представляет собой самостоятельную интуицию и имеет дидактическое преимущество, заключающееся в том, что он очень явный и не зависит от обозначений алгебры Хопфа.

Определение II: Предписанные примитивы

Алгебра Николса ${\mathfrak {B}}(V)$ — единственная алгебра Хопфа в косой категории ${}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$ созданный данным $V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$, такой, что $V\subset {\mathfrak {B}}(V)$ являются единственными примитивными элементами.

Это оригинальное определение, данное Николсом, и оно делает очень прозрачной роль алгебры Николса как фундаментального понятия в классификации алгебр Хопфа.

Определение III: Универсальный коэффициент

Позволять $V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$. Существует наибольший идеал ${\mathfrak {I}}\subset TV$ со следующими свойствами:

${\mathfrak {I}}\subset \bigoplus _{n=2}^{\infty }T^{n}V,$

$\Delta ({\mathfrak {I}})\subset {\mathfrak {I}}\otimes TV+TV\otimes {\mathfrak {I}}$ (это автоматически)

Алгебра Николса — это

${\mathfrak {B}}(V):=TV/{\mathfrak {I}}$

Определение IV: Невырожденное спаривание

Уникальная пара Хопфа $V\otimes TV^{*}\to k$ факторизуется до невырожденного спаривания Хопфа между ${\mathfrak {B}}(V)\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\to k$ и этот факт однозначно характеризует алгебру Николса. Эта теоретически очень полезная характеристика принадлежит Люстигу.

Определение V: Косые производные

Это несколько явная форма предыдущего определения: выбран однородный базис. $v_{i}\in V$ (т.е. сотрудничество/выпуск $v_{i}\mapsto g_{i}\otimes v_{i}$) можно определить косые выводы $\partial _{i}$, используя универсальное свойство тензорной алгебры:

$\partial _{i}(1)=0\quad \partial _{i}(v_{j})=\delta _{ij}$

$\partial _{i}(ab)=a\partial _{i}(b)+\partial _{i}(a)(g_{i}.b)$

Тогда алгебра Николса ${\mathfrak {B}}(V)$ это частное $TV$ по наибольшему однородному идеалу, не содержащему констант и инвариантному относительно всех выводов $\partial _{i}$. Грубо говоря, можно заглянуть $TV$ для элементов в ядре всех косых производных и разделить их; затем снова найдите все элементы, которые теперь находятся в ядре всех косых производных, и разделите их и т. д.

Примеры

Приводятся примеры конечномерных алгебр Николса. Над характеристикой p этот эффект может проявиться уже в ситуации без сплетения, а именно в усеченных универсальных обертках p-ограниченных алгебр Ли. В нулевой характеристике и с переплетением, исходящим из абелевой группы, это, по-видимому, такое же частое явление (хотя и более сложное, см. Классификацию). С другой стороны, для G- неабелиана пока известно лишь очень мало примеров, а мощные критерии отрицания вообще исключают многие группы (см. Классификацию).

Одномерные примеры

В качестве первого примера рассмотрим одномерный модуль Йеттера – Дринфельда. $V_{\pm }=kx$ над групповой алгеброй Хопфа H = k [ Z /2 Z ] с мультипликативно обозначенной циклической группой (как обычно в алгебре) и порожденной некоторым g .

• Возьмем как H -кодействие (соответственно Z /2 Z -градацию) на $V_{\pm }$: $x\mapsto g\otimes x$
• Примите как H -действие (соответственно Z /2 Z -действие) на $V_{\pm }$: $g\otimes x\mapsto \pm x$
• Таким образом, плетение $x\otimes x\rightarrow \pm x\otimes x$

Тогда, в зависимости от выбора знака, алгебры Николса имеют вид:

${\mathfrak {B}}(V_{+})=k[x]\qquad {\mathfrak {B}}(V_{-})=k[x]/(x^{2})$

Обратите внимание, что первый вариант соответствует ожиданиям (случай без переплетения), а второй был усечен до такой степени, что стал конечномерным! Аналогично, V _q над высшей циклической группой с g, действующим посредством некоторого q из k, имеет алгебру Николса ${\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]/(x^{n})$ если q ≠ 1 является примитивным корнем n-й степени из единицы, и ${\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]$ в противном случае.

(с физической точки зрения V ₊ соответствует бозону, а V _– представляет собой фермион, ограниченный принципом Паули ; аналогия, которая повторяется при рассмотрении плетеных коммутаторов, являющихся в этих случаях (анти)коммутаторами, см. Также Суперсимметрию как квантовую группа и обсуждение)

Примеры более высокого ранга над Габелевым : плетеные коммутаторы

Следующие примеры показывают взаимодействие двух базисных элементов: рассмотрим двумерный модуль Йеттера–Дринфельда V _0,1 = kx ⊕ ky над групповой алгеброй Хопфа H = k [ Z /2 Z × Z /2 Z ] с Клейном четыре группы, мультипликативно обозначаемые и порожденные некоторыми g,h .

• примем В качестве H -кодействия/градации по V _0,1 : $x\mapsto g\otimes x$ и $x\mapsto g\otimes x$
• Примем за H -действие (соответственно Z /2 Z -действие) на V _0,1 :
  • $g\otimes x\mapsto -x$
  • $g\otimes y\mapsto +y$
  • $h\otimes y\mapsto -y$
  • $h\otimes x\mapsto \pm x$ с «+» для V ₀ (симметричный) и «–» для V ₁ (асимметричный)
• Таким образом, плетение
  • $x\otimes x\rightarrow -x\otimes x$
  • $y\otimes y\rightarrow -y\otimes y$
  • $x\otimes y\rightarrow y\otimes x$
  • $y\otimes x\rightarrow \pm x\otimes y$

Тогда, в зависимости от выбора знака, алгебры Николса имеют размерность 4 и 8 (они появляются в классификации под $q_{12}q_{21}=\pm 1$):

${\mathfrak {B}}(V_{0})=k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy+yx),$

${\mathfrak {B}}(V_{1})=k[x]/(x^{2},y^{2},xyxy+yxyx)$

Здесь можно увидеть поразительное сходство с полупростыми алгебрами Ли : в первом случае плетеный коммутатор [ x , y ] (здесь: антикоммутатор) равен нулю, а во втором корневая строка длиннее [ x , [ x , y ] ]] = 0. Следовательно, эти две принадлежат диаграммам Дынкина $A_{1}\cup A_{1}$ и А ₂ .

Строятся также примеры с еще более длинными корневыми цепочками V ₂ , V _{3 ,} соответствующими диаграммам Дынкина B ₂ , G ₂ (но и не более высоким).

Универсальная обертывающая алгебр Ли, Квантовые группы

Алгебры Николса, вероятно, наиболее известны как борелевская часть квантовых групп и их обобщений. Точнее пусть

$V:=x_{1}\mathbb {C} \oplus x_{2}\mathbb {C} \oplus \cdots \oplus x_{n}\mathbb {C}$

— диагональный модуль Йеттера-Дринфельда над абелевой группой $\Lambda =\mathbb {Z} ^{n}=\langle K_{1},\ldots ,K_{n}\rangle$ с плетением

$x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}\qquad q_{ij}:=q^{(\alpha _{i},\alpha _{j})}$

где $(\alpha _{i},\alpha _{j})$ — форма Киллинга полупростой (конечномерной) алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$, то алгебра Николса является положительной частью малой квантовой группы Люстига

${\mathfrak {B}}(V)=u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}$

Включает алгебры суперлия.

В списке Хекенбергера диагональных алгебр Николса больше, чем алгебр Ли, а теория корневой системы является систематической, но более сложной (см. ниже). В частности, он содержит также классификацию супералгебр Ли (пример ниже), а также некоторых алгебр Ли и супералгебр Ли, которые появляются только в определенной конечной характеристике.

Таким образом, теория алгебры Николса и теория корневой системы обеспечивают единую основу для этих концепций.

Недиагональные косы, Неабелевы группы

лишь несколько конечномерных алгебр Николса над k = C. На данный момент известно Известно, что в этом случае каждый неприводимый модуль Йеттера–Дринфельда ${\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }$ соответствует сопряженности группы (вместе с неприводимым представлением централизатора g ) классу . Произвольный модуль Йеттера–Дринфельда является прямой суммой таких ${\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }$количество слагаемых называется рангом ; каждое слагаемое соответствует аноду на диаграмме Дынкина (см. ниже) . Обратите внимание, что для абелевых групп, как указано выше, неприводимые слагаемые одномерны, следовательно, ранг и размерность совпадают.

Конкретные примеры включают алгебру Николса, связанную с классом(ами) сопряженности отражений в группе Кокстера. Они связаны с алгебрами Фомина Кирилова. Известно, что эти алгебры Николса конечномерны для $\mathbb {S} _{3},\mathbb {S} _{4},\mathbb {S} _{5},\mathbb {D} _{4}$ но уже дело $\mathbb {S} _{6}$ открыт с 2000 года. Другой класс примеров можно построить в абелевом случае путем свертки через автоморфизмы диаграмм.

См. здесь список. Список конечномерных алгебр Николса, насколько нам известно.

Корневая система

Весьма примечательной особенностью является то, что для любой алгебры Николса (при достаточных условиях конечности) существует обобщенная система корней с набором корней $\Phi$, который управляет алгеброй Николса. Это было обнаружено в для диагональных алгебр Николса в терминах бихарактера $q_{ij}$ и в для общих полупростых алгебр Николса. В отличие от обычных кристаллографических корневых систем, известных из алгебр Ли, одна и та же обобщенная корневая система $\Phi$ может иметь несколько различных камер Вейля , что соответствует неэквивалентному выбору наборов положительных корней. $\Phi =\Phi ^{+}\cup -\Phi ^{+}$ и простые положительные корни $\alpha _{1},\ldots \alpha _{n}$, имеющие разные матрицы Картана и разные диаграммы Дынкина.

Разные камеры Вейля фактически соответствуют разным неизоморфным алгебрам Николса, которые называются вейлев-эквивалентными. Квантовые группы весьма особенны в том смысле, что здесь все борелевские части изоморфны; тем не менее даже в этом случае оператор отражения Люстига $T_{s}$ снова не является изоморфизмом алгебры Хопфа!

Определение группоида Вейля и обобщенной системы корней

Позволять $I=\{1,\ldots n\}$ где $n$ это звание, имеющее формальную основу $\alpha _{1},\ldots \alpha _{n}$.

Сначала мы обсудим обобщенные графы Картана, например:

• Обобщенная матрица Картана $c_{ij},\;\;i,j\in I$ является целой матрицей такой, что
  • $c_{ii}=2,\quad c_{ij}<0$
  • $c_{ij}=0\Rightarrow c_{ji}=0$
• Граф Картана — это набор таких матриц Картана. $c_{ij}^{a},\;\forall a\in A$ параметризуется набором объектов/камер $A$, вместе с морфизмом (изменения объекта) $r_{i}:A\to A$ такой, что
  • $r_{i}^{2}=id$
  • $c_{ij}^{a}=c_{ij}^{r_{i}(a)}$
• Определение карт

$s_{i}^{a}:\mathbb {Z} ^{I}\to \mathbb {Z} ^{I}$

$s_{i}^{a}:\;\alpha _{j}\mapsto \alpha _{j}-c_{ij}^{a}\alpha _{i}$

(обратите внимание, что в литературе по алгебре Ли также существует соглашение о транспонировании для $c_{ij}$, например, в книге Хамфри)

• Группоид Вейля — категория с объектами $A$ и морфизмы $Hom(a,b)$ формально группы, порожденные $s_{i}^{a}:a\to r_{i}(a)$
• Множество действительных корней $\Phi _{a}^{+}$ это набор $\{id^{a}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}(\alpha _{j})\,|\,k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\dots ,i_{k},j\in I\}\subseteq \mathbb {N} ^{I}$
• Определять $m_{i,j}^{a}=|\Phi ^{a}\cap (\mathbb {N} _{0}\alpha _{i}+\mathbb {N} _{0}\alpha _{j})|$,
• Затем корневая система $\Phi$ типа $(c_{i,j}^{a})_{a\in A}$ это набор
  • $\Phi ^{a}=\Phi _{+}^{a}\cup -\Phi _{+}^{a}$ с $\Phi _{+}^{a}=\Phi ^{a}\cap \mathbb {N} _{0}^{I}$
  • $\Phi ^{a}\cap \mathbb {Z} \alpha _{i}=\{\alpha _{i},-\alpha _{i}\}$
  • $s_{i}^{a}(\Phi ^{a})=\Phi ^{r_{i}(a)}$
  • Для $i\neq j$ с $m_{ij}$ конечный $(r_{i}r_{j})^{m_{i,j}^{a}}(a)=a$

Эквивалентность кристаллографическим расположениям гиперплоскостей.

В было показано, что группоиды Вейля находятся в соотношении 1:1 с расположением кристаллографических гиперплоскостей . Это набор гиперплоскостей в $\mathbb {R} ^{n}$ через происхождение и выбор нормальных векторов таких, что для каждой симплициальной камеры, ограниченной $n$ гиперплоскости с нормальными векторами $\alpha _{1}^{\perp },\ldots \alpha _{n}^{\perp }$ все остальные выбранные нормальные вектора $\alpha ^{\perp }$ может быть выражена как целая линейная комбинация $\alpha _{i}^{\perp }$.

В классифицировано множество всех конечных кристаллографических расположений гиперплоскостей (и, следовательно, конечных группоидов Вейля или конечных обобщенных систем корней). Помимо механизмов отражения $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ есть еще одно бесконечное семейство и всего 74 исключения рангом до $8$.

Пример ранга 3 (тоже супералгебра Ли)

Наименьшее кристаллографическое расположение гиперплоскостей, группоид Вейля, обобщенная корневая система, не являющаяся обычным лиевым типом, заключается в следующем. Оно появляется для диагональной алгебры Николса, даже для супералгебры Ли. Гиперплоскость может быть построена из кубооктаэдра (платонового тела):

Он имеет $7$ корни ( $4$ соотв. $3$ гиперплоскости, на картинках, ограничивающие равносторонний треугольник соотв. диагонали в квадратах, в супералгебре Ли нечетный соотв. даже корни). Он явно имеет $2$ различные типы камер Вейля (равносторонние треугольники или прямоугольные треугольники) с разными матрицами Картана, в которых корни через простые корни имеют следующий вид:

$\Phi _{+}^{a}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)\}$

На фото белая камера, например с основой $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$. Видно, что диаграмма Дынкина камеры такого типа $a\in A$ представляет собой просто переплетенный треугольник,

Размышления о $\alpha _{2}$ подводит нас ко второму типу камеры

$\Phi _{+}^{a'}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,2,1)\}$

На картинке серая камера, например с основой $\alpha _{1}',\alpha _{2}',\alpha _{3}'=\alpha _{12},-\alpha _{2},\alpha _{23}$. Диаграмма Дынкина камеры этого типа. $a'\in A$ это просто $A_{2}$ (но еще один корень).

Эта корневая система является наименьшим представителем бесконечного ряда. Фотографии взяты из, где пример также подробно обсуждается.

Классификация (Подробнее)

Над абелевыми группами

Алгебры Николса конечной размерности над абелевыми группами в k = C были классифицированы Иштваном Хекенбергером. в 2004–2005 годах путем классификации арифметических корневых систем и обобщенных диаграмм Дынкина ; где уже Харченко доказал, что они обладают базисом Пуанкаре – Биркгофа – Витта итерированных (плетеных) коммутаторов. Единственная необходимая информация — это матрица плетения, которая в этом случае является диагональной (см. примеры выше).

$x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}$

Хотя в основном встречаются только классические случаи Картана , существует несколько экзотических диаграмм для маленьких простых чисел, таких как треугольник

Диаграмма Дынкина ранга 3, ассоциированная с конечномерной алгеброй Николса

В этих случаях отражения Вейля одной диаграммы могут попасть не в «одну и ту же» диаграмму, а в так называемый эквивалент Вейля . Это и есть точная причина того, что в этих экзотических случаях имеется группоид вместо обычной группы Вейля.

Генераторы и отношения алгебры Николса нелегко получить из корневой системы. Скорее, со словами Линонда приходится проделать утомительную работу. Это было полностью сделано в

Отрицательные критерии: абелевы подстои

Особенно для неприводимого V нет подмодулей; однако можно использовать более абстрактное понятие крейта, отражающее только сплетение двух содержащихся в нем элементов. В нескольких статьях Николас Андрускевич и др. дал отрицательные критерии, вообще исключающие группы из обладания (неразложимыми) алгебрами Николса. Их методы можно грубо резюмировать. (подробнее!) :

Рассмотрим абелеву подстойку, проверьте, какое представление может быть унаследовано от большей стойки, и найдите ее в списке Хеккенбегера.

Этот анзац иногда налагает строгие условия, особенно на переплетение любого g -градуированного элемента x с самим собой (например, первый пример выше показывает q ≠ 1). Заметим, что поскольку g является центральной в централизаторе, она действует на неприводимое представление скаляром как следствие леммы Шура ; отсюда и это самоплетение соответственно. 1-мерный суб-модуль Йеттера-Дринфельда / плетеное векторное пространство / 1-мерный суб-корпус диагональный

$x\otimes x\;{\stackrel {\tau }{\longmapsto }}\;q(x\otimes x)\;\;\Longleftrightarrow \;\;g.x=qx$

Обычно он используется для исключения g , например, нечетного порядка и/или χ высокой размерности:

• Если g вещественный q (т.е. сопряжен с обратным ему), то = –1 (особенно g должен быть четного порядка)
• Если g квазивещественна то (т.е. сопряжена с некоторой j -й степенью),
  • либо q = –1, как указано выше
  • или $g^{(j^{2})}=g$ и представление χ одномерно с q = ζ _{3 ​​-} примитивным корнем третьей степени из единицы (особенно порядок g делится на 3)
• Если наоборот, g является инволюцией и некоторый централизующий h = tgt, то собственные значения h (рассматриваемые как матрица) , действующие на ${\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }$ строго ограничено.

Корневые системы над неабелевыми группами

Существование корневой системы и в неабелевом случае сразу же подразумевает следующие очень серьезные последствия:

Непосредственные следствия подразумеваются для ранга 2. алгебр Николса ${\mathfrak {B}}\left({\mathcal {O}}_{[g]}\oplus {\mathcal {O}}_{[h]}\right)$ который g, h приводит в замешательство ; затем:

• Плетеные коммутаторы [ x , y ] элементов $x\in {\mathcal {O}}_{[g]}\;y\in {\mathcal {O}}_{[h]}$ не все равны нулю .
• Пространство плетеных коммутаторов $ad_{{\mathcal {O}}_{[g]}}{\mathcal {O}}_{[h]}=[{\mathcal {O}}_{[g]},{\mathcal {O}}_{[h]}]$ образуют неприводимый субмодуль Йеттера – Дринфельда ${\mathcal {O}}_{[gh]}$ (т.е. корень уникален, как и в случае алгебры Ли)
• Они «близки к поездкам на работу» $\;(gh)^{2}=(hg)^{2}$

Грубо говоря, это означает, что конечномерные алгебры Николса над неабелевыми группами должны иметь (если вообще иметь) очень низкий ранг или группа должна быть близка к абелевой.

Отрицательные критерии: неабелевы крейты (тип D)

Поскольку абелевы подстои используют структурную классификацию Хекенбергера для алгебр Николса над абелевыми группами (см. выше), можно также рассматривать неабелевы подстои. Если такой каркас распадается на несколько частей (потому что теперь меньше элементов для сопряжения), то применимы приведенные выше результаты для корневых систем.

Конкретный случай где это очень успешно, это тип D , т.е. для $r,s\in [g]\;$

• r , s не сопряжены в порожденной подгруппе $\langle r,s\rangle \;$
• $(rs)^{2}\neq (sr)^{2}\;$

в этом случае алгебра Николса подстойки бесконечномерна , как и вся алгебра Николса.

Известные группы, не допускающие конечномерных алгебр Николса

Оба описанных выше метода отрицания оказались очень плодотворными для отрицания (неразложимых) конечномерных алгебр Николса:

• для чередующихся групп $\mathbb {A} _{n\geq 5}$
• для симметричных групп $\mathbb {S} _{n\geq 6}$ кроме краткого списка примеров
• какая-то группа типа Лжи (источники, полный список?)
• все спорадические группы, за исключением короткого списка возможностей (соответственно классов сопряженности в нотации ATLAS), которые все действительны или j = 3-квазивещественны:
  • ...для группы Фишера $Fi_{22}\;$ классы $22A,22B\;$
  • ...для малышки-монстра группы Б классы $16C,\;16D,\;32A,\;32B,\;32C,\;32D,\;34A,\;46A,\;46B\;$
  • ...для группы монстров M классы $32A,\;32B,\;46A,\;46B,\;92A,\;92B,\;94A,\;94B\;$

Обычно большое количество классов сопряженности относятся к типу D («недостаточно коммутативны»), тогда как остальные имеют тенденцию обладать достаточными абелевыми подстойками и могут быть исключены при их рассмотрении. Некоторые случаи приходится выполнять вручную. Обратите внимание, что открытые случаи, как правило, имеют очень маленькие централизаторы (обычно циклические) и представления χ (обычно одномерное знаковое представление). Существенным исключением являются классы сопряженности порядка 16, 32, имеющие в качестве централизаторов p-группы порядка 2048 соотв. 128 и в настоящее время нет ограничений на χ.

Приложения

Алгебра Николса появляется как квантовая борелевская часть в классификации конечномерных заостренных алгебр Хопфа. (без маленьких простых чисел) Николаса Андрускевича и Ханса-Юргена Шнайдера, особенно квантовые группы . Например, $U_{q}({\mathfrak {g}})$ и их хорошо известные усечения для q, корня из единицы, разлагаются, как обычная полупростая алгебра Ли, на E ´s (борелевская часть), двойственные F´s и K´s (алгебра Картана):

$U_{q}({\mathfrak {g}})\cong \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbb {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }$

Здесь, как и в классической теории, — векторное пространство размерности n ( ранг V ${\mathfrak {g}}$), натянутый на E ´s, а σ (так называемый поворот коцикла) создает нетривиальную связь между E´s и F´s . Обратите внимание, что в отличие от классической теории может появиться более двух связанных компонентов. См. цит . лок. для экзотического примера с 4 частями типа А ₃ .

обобщенная диаграмма Дынкина для точечной алгебры Хопфа, связывающая четыре копии A3

Классификация грубо сводит данный гипотетический пример к бипроизведению Рэдфорда (корадикальной) группы и (связной) части, содержащей алгебру Николса, путем взятия соответствующего «градуированного объекта» (уничтожая все связи). Используя знания из приведенной выше классификации конечномерных алгебр Николса, авторы доказывают отсутствие дополнительных элементов в связной части (поколение в степени 1) и, наконец, описывают все возможные подъемы как «пунктирные линии» в обобщенных диаграммах Дынкина .

Недавно это соответствие было значительно расширено, чтобы идентифицировать некоторые так называемые коидеальные подалгебры, находящиеся в соответствии 1:1. к группе Вейля , которая ранее была высказана как «числовое совпадение» и в некоторых случаях доказана вручную.