Альтернативная группа

В математике — знакопеременная группа это группа четных перестановок конечного множества . Знакомая группа на множестве из $n$ элементов называется знакопеременной группой степени $n$ или знакопеременной группой из $n$ букв обозначается $An и$ или $Alt(n).$

Основные свойства

При n > 1 группа An _{является} коммутантом симметрической группы Sn с _{индексом} 2 имеет и, следовательно, n ! /2 элемента. Это ядро гомоморфизма сигнатурной группы sn : Sn _→ {1, −1}, объясняемого в рамках симметричной группы .

Группа _An абелева n тогда и только тогда, когда ⩽ 3 , и простая тогда и только тогда, когда n = 3 или n ≥ 5 . A ₅ — наименьшая неабелева простая группа , имеющая порядок 60, и наименьшая неразрешимая группа .

Группа A ₄ имеет четырехгруппу Клейна V как собственную нормальную подгруппу , а именно единицу и двойные транспозиции { (), (12)(34), (13)(24), (14)(23) } , это ядро сюръекции A 4 _на A 3 _≅ Z ₃ . Имеем точную последовательность V → A ₄ → A ₃ = Z ₃ . В теории Галуа это отображение, а точнее соответствующее отображение S ₄ → S ₃ , соответствует сопоставлению резольвентной кубики Лагранжа с квартикой, что позволяет полином четвертой степени решать с помощью радикалов, как установил Лодовико Феррари .

Классы сопряженности

Как и в симметричной группе , любые два элемента An _, сопряженные элементом An _, должны иметь одинаковую форму цикла . Однако обратное не обязательно верно. Если форма цикла состоит только из циклов нечетной длины и нет двух циклов одинаковой длины, где циклы длины один включены в тип цикла, то для этой формы цикла существует ровно два класса сопряженности ( Скотт 1987 , §11.1, стр. 299). ).

Примеры:

Две перестановки (123) и (132) не являются сопряженными в A ₃ , хотя они имеют одинаковую форму цикла и, следовательно, сопряжены в S ₃ .
Перестановка (123)(45678) не сопряжена с обратной ей (132)(48765) в A ₈ , хотя обе перестановки имеют одинаковую форму цикла, поэтому они сопряжены в S ₈ .

Связь с симметричной группой

См. Симметричная группа .

Поскольку конечные симметрические группы — это группы всех перестановок множества с конечными элементами, а знакопеременные группы — это группы четных перестановок, знакопеременные группы — это подгруппы конечных симметрических групп.

Генераторы и отношения

При n ≥ 3 An _{порождается} 3-циклами, поскольку 3-циклы могут быть получены путем объединения пар транспозиций. Этот набор генераторов часто используется для доказательства того, что An _прост для n ≥ 5 .

Группа автоморфизмов

н	Аут(А _н )	Выход(А _н )
п ≥ 4, п ≠ 6	С _н	З ₂
п = 1, 2	З ₁	З ₁
п = 3	З ₂	З ₂
п = 6	С ₆ ⋊ З ₂	В = Z ₂ × Z ₂

Для n > 3 за исключением n 6 , группой автоморфизмов An _; является симметрическая группа _Sn с внутренней группой автоморфизмов An _и = внешней группой автоморфизмов Z ₂ , внешний автоморфизм возникает в результате сопряжения нечетной перестановкой.

При n = 1 и 2 группа автоморфизмов тривиальна. Для n = 3 группа автоморфизмов равна Z ₂ с тривиальной внутренней группой автоморфизмов и внешней группой автоморфизмов Z ₂ .

Внешняя группа автоморфизмов A ₆ представляет собой четырехгруппу Клейна V = Z ₂ × Z ₂ и связана с внешним автоморфизмом S ₆ . Дополнительный внешний автоморфизм в A ₆ заменяет 3-циклы (типа (123)) элементами формы 3. ² (например, (123)(456) ).

Исключительные изоморфизмы

Существуют некоторые исключительные изоморфизмы между некоторыми малыми знакопеременными группами и малыми группами лиева типа , в частности, проективными специальными линейными группами . Это:

A ₄ изоморфен PSL ₂ (3) ^[1] и группа симметрии киральной тетраэдрической симметрии .
A ₅ изоморфен PSL ₂ (4), PSL ₂ (5) и группе симметрии киральной икосаэдрической симметрии . (Видеть ^[1] для косвенного изоморфизма PSL ₂ (F ₅ ) → A ₅ с использованием классификации простых групп порядка 60, а здесь и для прямого доказательства).
A ₆ изоморфен PSL ₂ (9) и PSp ₄ (2)'.
A ₈ изоморфен PSL ₄ (2).

Более очевидно, что A ₃ изоморфна циклической группе Z ₃ , а A ₀ , A ₁ и A ₂ изоморфны тривиальной группе (которая также является SL ₁ ( q ) = PSL ₁ ( q ) для любого q ).

Примеры S ₄ и A ₄

Графики циклов
A3 ₍ = Z3 ₎ порядок 3	А ₄ (заказ 12)	А ₄ × Z ₂ (порядок 24)
S ₃ = Dih ₃ (порядок 6)	С ₄ (заказ 24)	А ₄ в S ₄ слева

Пример A ₅ как подгруппа трехмерных вращений

A ₅ — группа изометрий додекаэдра в 3-пространстве, поэтому существует представление A ₅ → SO ₃ ( R ) .

На этом рисунке вершины многогранников представляют элементы группы, а центр сферы представляет собой единичный элемент. Каждая вершина представляет собой вращение вокруг оси, направленной от центра к этой вершине, на угол, равный расстоянию от начала координат в радианах. Вершины одного и того же многогранника принадлежат к одному классу сопряженности. Поскольку уравнение класса сопряженности для A ₅ равно 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60 , мы получаем четыре различных (нетривиальных) многогранника.

Вершины каждого многогранника находятся в биективном соответствии с элементами его класса сопряженности, за исключением класса сопряженности (2,2)-циклов, который на внешней поверхности представлен икосододекаэдром, антиподальные вершины которого отождествляются с друг друга. Причина этой избыточности заключается в том, что соответствующие вращения совершаются на $π$ радиан и поэтому могут быть представлены вектором длины $π$ в любом из двух направлений. Таким образом, класс (2,2)-циклов содержит 15 элементов, а икосододекаэдр — 30 вершин.

Два класса сопряжения двенадцати 5-циклов в A ₅ представлены двумя икосаэдрами радиусов 2 $π$ /5 и 4 $π$ /5 соответственно. Нетривиальный внешний автоморфизм в Out(A ₅ ) ≃ Z ₂ меняет местами эти два класса и соответствующие икосаэдры.

Пример: головоломка «15».

Можно доказать, что головоломка 15 , известный пример скользящей головоломки , может быть представлена чередующейся группой A ₁₅ , ^[2] потому что комбинации головоломки 15 могут быть созданы с помощью 3-х циклов . Фактически, любую раздвижную головоломку размером 2 k − 1 с квадратными плитками одинакового размера можно представить как A _{2 k −1} .

Подгруппы

A ₄ — наименьшая группа, демонстрирующая, что обратная теорема Лагранжа в общем случае неверна: дана конечная группа G и делитель d группы | G |, не обязательно существует подгруппа G порядка d : группа G = A ₄ порядка 12 не имеет подгруппы порядка 6. Подгруппа из трех элементов (порожденная циклическим вращением трех объектов) с любой отдельный нетривиальный элемент порождает всю группу.

Для всех n > 4 An _. не имеет нетривиальных (т. е. собственных) подгрупп нормальных Таким образом, An _— простая группа для всех n > 4 . 5 _. наименьшая неразрешимая группа —

Групповая гомология

Групповая гомология знакопеременных групп демонстрирует стабилизацию, как и в стабильной теории гомотопий : при достаточно больших n она постоянна. Однако существуют некоторые исключительные низкоразмерные гомологии. Обратите внимание, что гомологии симметричной группы демонстрируют аналогичную стабилизацию, но без исключений малой размерности (дополнительных элементов гомологии).

H ₁ : Абелианизация

Первая группа гомологий совпадает с абелианизацией и (поскольку An _{совершенна} , за исключением упомянутых исключений) такова:

H ₁ (A _n , Z) = Z ₁ для n = 0, 1, 2;

ЧАС ₁ (А ₃ , Z) = А ^аб
₃ = А ₃ = Z ₃ ;

ЧАС ₁ (А ₄ , Z) = А ^аб
₄ = _Z3 ;

H ₁ (A _n , Z) = Z ₁ для n ≥ 5.

Это легко увидеть непосредственно следующим образом. A _n генерируется 3-циклами – поэтому единственными нетривиальными отображениями абелианизации являются An _{поэтому} → Z ₃ , поскольку элементы порядка 3 должны отображаться в элементы порядка 3 – а для n ≥ 5 все 3-циклы сопряжены, они должны отображаться в один и тот же элемент при абелианизации, поскольку сопряжение тривиально в абелевых группах. Таким образом, 3-цикл типа (123) должен отображаться в тот же элемент, что и его обратный (321), но, таким образом, должен отображаться в единицу, поскольку тогда он должен иметь порядок, разделяющий 2 и 3, поэтому абелианизация тривиальна.

При n < 3 An _. тривиален и, следовательно, имеет тривиальную абелианизацию Для A ₃ и A ₄ можно вычислить абелианизацию напрямую, заметив, что 3-циклы образуют два класса сопряженности (а не все они являются сопряженными) и существуют нетривиальные отображения A ₃ ↠ Z ₃ (фактически изоморфизм) и A ₄ ↠ З ₃ .

H ₂ : Множители Шура

Мультипликаторы Шура знакопеременных групп An ₍ в случае, когда n не меньше 5) являются циклическими группами порядка 2, за исключением случая, когда n равно либо 6, либо 7, и в этом случае существует также тройное накрытие. В этих случаях мультипликатор Шура имеет (циклическую группу) порядка 6. ^[3] Впервые они были вычислены в ( Schur 1911 ).

H ₂ (A _n , Z) = Z ₁ для n = 1, 2, 3;

Н ₂ (А _н , Z) = Z ₂ для n = 4, 5;

Н ₂ (А _н , Z) = Z ₆ для n = 6, 7;

H ₂ (A _n , Z) = Z ₂ для n ≥ 8.

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Робинсон (1996), с. 78
^ Билер, Роберт. «Загадка пятнадцати: мотивирующий пример для меняющейся группы» (PDF) . факультет.etsu.edu /. Государственный университет Восточного Теннесси. Архивировано из оригинала (PDF) 7 января 2021 г. Проверено 26 декабря 2020 г.
^ Уилсон, Роберт (31 октября 2006 г.), «Глава 2: Альтернирующие группы» , Конечные простые группы, версии 2006 г. , заархивировано из оригинала 22 мая 2011 г., 2.7: Накрывающие группы {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

Ссылки

Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Дипломные тексты по математике, том. 80 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-94461-6
Шур, Иссаи (1911), «О представлении симметричной и знакопеременной группы дробными линейными заменами», Журнал чистой и прикладной математики , 1911 (139): 155–250, doi : 10.1515/crll.1911.139.155 , S2CID 122809608
Скотт, WR (1987), Теория групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-65377-8

Внешние ссылки

[Robinson-p78-1] Перейти обратно: ^а ^б Робинсон (1996), с. 78

[2] Билер, Роберт. «Загадка пятнадцати: мотивирующий пример для меняющейся группы» (PDF) . факультет.etsu.edu /. Государственный университет Восточного Теннесси. Архивировано из оригинала (PDF) 7 января 2021 г. Проверено 26 декабря 2020 г.

[raw-3] Уилсон, Роберт (31 октября 2006 г.), «Глава 2: Альтернирующие группы» , Конечные простые группы, версии 2006 г. , заархивировано из оригинала 22 мая 2011 г., 2.7: Накрывающие группы {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[1]

[2]

[3]