Список конечномерных алгебр Николса

В математике алгебра Николса — это алгебра Хопфа в категории со сплетением, присвоенная объекту V в этой категории (например, сплетенному векторному пространству ). Алгебра Николса — это фактор тензорной алгебры V , обладающий определенным универсальным свойством и обычно бесконечномерный. Алгебры Николса естественным образом появляются в любой точечной алгебре Хопфа и позволяют их классифицировать в важных случаях. Наиболее известными примерами алгебр Николса являются борелевские части. $U_{q}({\mathfrak {g}})^{+}$ бесконечномерных квантовых групп , когда q не является корнем из единицы, а первыми примерами конечномерных алгебр Николса являются борелевские части $u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}$ ядра Фробениуса-Люстига ( малой квантовой группы ), когда q является корнем из единицы.

В следующей статье перечислены все известные конечномерные алгебры Николса. ${\mathfrak {B}}(V)$ где $V$ является модулем Йеттера–Дринфельда над конечной группой. $G$, где группа порождается носителем $V$. Более подробную информацию об алгебрах Николса см. в разделе « Алгебра Николса» .

• Есть два основных случая:
  • $G$ абелева , что подразумевает $V$ заплетена по диагонали $x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}$.
  • $G$ нонабелианский .
• Ранг . — это количество неприводимых слагаемых $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ в полупростом модуле Йеттера–Дринфельда $V$.
• Неприводимые слагаемые $V_{i}={\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }$ каждый связан с классом сопряженности $[g]\subset G$ и неприводимое представление $\chi$ центратора $\operatorname {Cent} (g)$.
• Для любой алгебры Николса существует прикрепил
  • обобщенная корневая система и группоид Вейля. Они классифицируются в.
  • В частности, несколько диаграмм Дынкина (для неэквивалентных типов камер Вейля). В каждой диаграмме Дынкина на каждую неприводимую вершину приходится одна вершина. $V_{i}$ и ребра, зависящие от их плетеных коммутаторов в алгебре Николса.
• Ряд Гильберта градуированной алгебры ${\mathfrak {B}}(V)$ дано. Наблюдение состоит в том, что в каждом случае он факторизуется в полиномы. $(n)_{t}:=1+t+t^{2}+\cdots +t^{n-1}$. Мы приводим только ряд Гильберта и размерность алгебры Николса в характеристике $0$.

Обратите внимание, что алгебра Николса зависит только от сплетенного векторного пространства $V$ и поэтому может быть реализован во многих различных группах. Иногда встречаются две или три алгебры Николса с разными $V$ и неизоморфная алгебра Николса, которые тесно связаны (например, повороты коциклов друг друга). Они даны разными классами сопряженности в одном столбце.

Состояние классификации

(по состоянию на 2015 год)

Установленные результаты классификации

• Конечномерные диагональные алгебры Николса над комплексными числами были классифицированы Хекенбергером в. Случай произвольной характеристики является продолжающейся работой Хекенбергера и Ванга.
• Конечномерные алгебры Николса полупростых модулей Йеттера – Дринфельда ранга > 1 над конечными неабелевыми группами (порожденными носителем) были классифицированы Хекенбергером и Вендрамином в .

Отрицательные критерии

Случай ранга 1 (неприводимый модуль Йеттера–Дринфельда) над неабелевой группой все еще в значительной степени открыт, и известно лишь несколько примеров.

Большой прогресс был достигнут Андрускевичем и другими в поиске подстоев (например, диагональных), которые привели бы к бесконечномерным алгебрам Николса. По состоянию на 2015 год известными группами, не допускающими конечномерных алгебр Николса, являются:

• для чередующихся групп $\mathbb {A} _{n\geq 5}$
• для симметричных групп $\mathbb {S} _{n\geq 6}$ кроме краткого списка примеров
• какая-то группа типа Лжи, такая как большинство $PSL_{n}(\mathbb {F} _{q})$ и большинство унисильных классов в $Sp_{2n}(\mathbb {F} _{q})$
• все спорадические группы, за исключением короткого списка возможностей (соответственно классов сопряженности в нотации ATLAS), которые все действительны или j = 3-квазивещественны:
  • ...для группы Фишер $Fi_{22}\;$ классы $22A,22B\;$
  • ...для малышки-монстра группы Б классы $16C,\;16D,\;32A,\;32B,\;32C,\;32D,\;34A,\;46A,\;46B\;$
  • ...для группы монстров M классы $32A,\;32B,\;46A,\;46B,\;92A,\;92B,\;94A,\;94B\;$

Обычно большое количество классов сопряженности относятся к типу D («недостаточно коммутативны»), тогда как остальные имеют тенденцию обладать достаточными абелевыми подстойками и могут быть исключены при их рассмотрении. Некоторые случаи приходится выполнять вручную. Обратите внимание, что открытые случаи, как правило, имеют очень маленькие централизаторы (обычно циклические) и представления χ (обычно одномерное знаковое представление). Существенным исключением являются классы сопряженности порядка 16, 32, имеющие в качестве централизаторов p-группы порядка 2048 соотв. 128 и в настоящее время нет ограничений на χ.

Над абелевыми группами

Конечномерные диагональные алгебры Николса над комплексными числами были классифицированы Хекенбергером в работе с точки зрения матрицы оплетки $q_{ij}$, точнее данные $q_{ii},q_{ij}q_{ji}$. Малые квантовые группы $u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}$ являются особым случаем $q_{ij}=q^{(\alpha _{i},\alpha _{j})}$, но есть несколько исключительных примеров с простыми числами 2,3,4,5,7.

В последнее время наблюдается прогресс в понимании других примеров как исключительных алгебр Ли и супералгебр Ли конечной характеристики.

Над неабелевой группой, ранг > 1

Алгебры Николса из групп Кокстера

Для каждой конечной системы Кокстера $(W,S)$ алгебра Николса над классом(ами) сопряженности отражений изучалась в (рассуждения о корнях разной длины не сопряжены, см. четвертый пример). Таким образом они открыли следующие первые алгебры Николса над неабелевыми группами:

Ранг, Тип корневой системы ${\mathfrak {B}}(V)$	$A_{1}$	$A_{1}$	$A_{1}$	$A_{2}$
Размерность $V$	$3$	$6$	$10$	$2+2$
Размерность алгебры Николса	$12$	$576\;=24^{2}$	$8294400$	$64$
ряд Гильберта	$(2)_{t}^{2}(3)_{t}$	$(2)_{t}^{2}(3)_{t}^{2}(4)_{t}^{2}$	$(4)_{t}^{4}(5)_{t}^{2}(6)_{t}^{4}$	$(2)_{t}^{4}(2)_{t^{2}}^{2}$
Наименьшая реализующая группа	Симметричная группа $\;\mathbb {S} _{3}$	Симметричная группа $\;\mathbb {S} _{4}$	Симметричная группа $\;\mathbb {S} _{5}$	Группа диэдра $\;\mathbb {D} _{4}$
... и классы сопряженности	${\mathcal {O}}_{(12)}^{-1}$	${\mathcal {O}}_{(1234)}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1\otimes \operatorname {sgn} }$	${\mathcal {O}}_{(12)}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1\otimes \operatorname {sgn} }$	${\mathcal {O}}_{b}^{\epsilon }\oplus {\mathcal {O}}_{a^{2}b}^{\epsilon },\quad {\mathcal {O}}_{b}^{sgn}\oplus {\mathcal {O}}_{a^{2}b}^{sgn}$
Источник
Комментарии	Kirilov–Fomin algebras			Эта наименьшая неабелева алгебра Николса ранга 2 представляет собой случай $\Gamma _{2}$ в классификации. Его можно построить как наименьший пример бесконечной серии. $A_{n}$ от $A_{n}\cup A_{n}$, видеть.

Дело $\mathbb {S} _{2}\cong \mathbb {Z} _{2}$ — диагональная алгебра Николса ранга 1 $u_{i}(A_{1})^{+}$ размерности 2.

Другие алгебры Николса ранга 1

Ранг, Тип корневой системы ${\mathfrak {B}}(V)$	$A_{1}$	$A_{1}$	$A_{1}$	$A_{1}$
Размерность $V$	$4$	$4$	$5$	$7$
Размерность алгебры Николса	$72$	$5,184$	$1,280$	$326,592$
ряд Гильберта	$(2)_{t}^{2}(3)_{t}(6)_{t}$	$(6)_{t}^{4}(2)_{t^{2}}^{2}$	$(4)_{t}^{4}(5)_{t}$	$(6)_{t}^{6}(7)_{t}$
Наименьшая реализующая группа	Специальная линейная группа $SL_{2}(3)$ расширение чередующейся группы $\mathbb {A} _{4}$		Аффинная линейная группа $\mathbb {Z} _{5}\rtimes \mathbb {Z} _{5}^{\times }$	Аффинная линейная группа $\mathbb {Z} _{7}\rtimes \mathbb {Z} _{7}^{\times }$
... и классы сопряженности	${\mathcal {O}}_{\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}$	${\mathcal {O}}_{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}^{\zeta _{6}}$	${\mathcal {O}}_{i\rtimes 2}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{i\rtimes 3}^{-1}$	${\mathcal {O}}_{i\rtimes 3}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{i\rtimes 5}^{-1}$
Источник
Комментарии	Существует алгебра Николса ранга 2, содержащая эту алгебру Николса	Единственный пример со многими кубическими (но не многими квадратичными) отношениями.	Аффинные стойки

Алгебры Николса ранга 2 типа Гамма-3

Эти алгебры Николса были открыты во время классификации Хекенбергера и Вендрамина.

			только в характеристике 2
Ранг, Тип корневой системы ${\mathfrak {B}}(V)$	$B_{2},B_{2}$	$B_{2},B_{2}$	${\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}2&-2\\-1&2\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}}$
Размерность $V$	$3+2$	$3+1$ соотв. $3+2$	$3+1$ соотв. $3+2$
Размерность алгебры Николса	$2,304$	$10,368$	$2,239,488$
ряд Гильберта	$(2)_{t}^{2}(3)_{t}\cdot (2)_{t}^{2}$	$(2)_{t}^{2}(3)_{t}\cdot (6)_{t}$$\cdot (2)_{t^{2}}^{2}(3)_{t^{2}}\cdot (2)_{t^{3}}(6)_{t^{3}}$
Наименьшая реализующая группа и класс сопряженности	$\mathbb {S} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {S} _{3}\times \mathbb {Z} _{6}$
... и классы сопряженности	${\mathcal {O}}_{(12)}^{-1,1}\oplus {\mathcal {O}}_{\{z\}}^{1,\sigma _{2}}$	${\mathcal {O}}_{(12)}^{-1,\zeta _{6}}\oplus {\mathcal {O}}_{\{z\}}^{1,\zeta _{6}^{-1}}$
Источник
Комментарии	Единственный пример с двумерным неприводимым представлением $\sigma$	Существует алгебра Николса ранга 3, расширяющая эту алгебру Николса	Только по признаку 2. Имеет корневую систему нелиева типа с 6 корнями.

Алгебра Николса ранга 2 типа Гамма-4

Эта алгебра Николса была открыта во время классификации Хекенбергера и Вендрамина.

Корневая система	$B_{2}$
Размерность $V$	$2+4$
Размерность алгебры Николса	$262,144\;=2^{18}$
ряд Гильберта	$(2)_{t}^{2}(2)_{t^{2}}\cdot (2)_{t}^{4}(2)_{t^{2}}^{2}\cdot (2)_{t^{2}}^{4}(2^{2})_{t^{4}}^{2}\cdot (2)_{t^{3}}^{2}(2)_{t^{6}}$
Наименьшая реализующая группа	${\tilde {\mathbb {D} }}_{8}$ (полудиэдрическая группа)
...и класс сопряженности	${\mathcal {O}}_{[h]}^{-1}\oplus {\mathcal {O}}_{[g]}^{\zeta _{8}}$
Комментарии	Обе алгебры Николса ранга 1, содержащиеся в этой алгебре Николса, разлагаются над своим соответствующим носителем: левый узел алгебры Николса над группой Кокстера. $\mathbb {D} _{4}$, правый узел диагональной алгебры Николса типа $A_{2}$.

Алгебра Николса ранга 2 типа T

Эта алгебра Николса была открыта во время классификации Хекенбергера и Вендрамина.

Корневая система	$G_{2}$
Размерность $V$	$1+4$
Размерность алгебры Николса	$80,621,568$
ряд Гильберта	$(6)_{t}\cdot (2)_{t}^{2}(3)_{t}(6)_{t}\cdot (2)_{t^{2}}^{2}(3)_{t^{2}}(6)_{t^{2}}\cdot (2)_{t^{3}}^{2}(3)_{t^{3}}(6)_{t^{3}}\cdot (6)_{t^{4}}\cdot (6)_{t^{5}}$
Наименьшая реализующая группа	$\mathbb {Z} _{6}\times SL_{2}(3)$
...и класс сопряженности	${\mathcal {O}}_{\{z\}}^{\zeta _{6},\zeta _{6}^{-1}}\oplus {\mathcal {O}}_{\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{1,-1}$
Комментарии	Алгебра Николса ранга 1, содержащаяся в этой алгебре Николса, неприводима над своим носителем. $SL_{2}(3)$ и можно найти выше.

Алгебра Николса ранга 3, включающая Гамму-3.

Эта алгебра Николса была последней алгеброй Николса, открытой во время классификации Хекенбергера и Вендрамина.

Корневая система	Ранг 3 Число 9 с 13 корнями
Размерность $V$	$3+2+1$ соотв. $3+1+1$
Размерность алгебры Николса	$1,671,768,834,048$
ряд Гильберта	$(2)_{t}^{2}(3)_{t}\cdot (6)_{t}\cdot (6)_{t}\cdot (2)_{t^{2}}^{2}(3)_{t^{2}}\cdot (6)_{t^{2}}\cdot (2)_{t^{3}}(6)_{t^{3}}\cdot (2)_{t^{3}}^{2}(3)_{t^{3}}$$\cdot (2)_{t^{4}}(6)_{t^{4}}\cdot (2)_{t^{5}}(6)_{t^{5}}\cdot (2)_{t^{6}}^{2}(3)_{t^{6}}\cdot (6)_{t^{7}}\cdot (6)_{t^{8}}\cdot (6)_{t^{9}}$
Наименьшая реализующая группа	$\mathbb {S} _{3}\times \mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{6}$
...и класс сопряженности	${\mathcal {O}}_{(12)}^{-1,\zeta _{6},1}\oplus {\mathcal {O}}_{\{z\}}^{1,\zeta _{6}^{-1},1}\oplus {\mathcal {O}}_{\{w\}}^{1,\zeta _{6},\zeta _{6}^{-1}}$
Комментарии	Алгебра Николса ранга 2, порожденная двумя крайними левыми узлами, имеет тип $\Gamma _{3}$ и можно найти выше. Алгебра Николса ранга 2, порожденная двумя крайними правыми узлами, является диагональю типа $A_{2}$ или $A_{3}$.

Алгебры Николса из свертки диаграмм

Следующие семейства алгебр Николса были построены Лентнером с использованием свертывания диаграмм: четвертый пример, фигурирующий только в признаке 3, был обнаружен при классификации Хекенбергера и Вендрамина.

Конструкция начинается с известной алгебры Николса (в данном случае диагональной, связанной с квантовыми группами) и дополнительного автоморфизма диаграммы Дынкина. Следовательно, два основных случая заключаются в том, меняет ли этот автоморфизм две несвязные копии или является собственным автоморфизмом диаграммы связной диаграммы Дынкина. Образующаяся корневая система представляет собой складчатость/сужение исходной корневой системы. По построению генераторы и соотношения известны из диагонального случая.

				только характеристика 3
Ранг, Тип корневой системы ${\mathfrak {B}}(V)$	$A_{n},\;n\geq 2$	$D_{n},\;n\geq 4$	$E_{6},E_{7},E_{8}$	$B_{n},\;n\geq 2$
Построенная из этой диагональной алгебры Никола с $q_{ij}=\pm 1$	$A_{n}\times A_{n}$	$D_{n}\times D_{n}$	$E_{n}\times E_{n}$	$B_{n}\times B_{n}$ в характеристике 3.
Размерность $V$	$2+2+\cdots$	$2+2+\cdots$	$2+2+\cdots$	$2+2+\cdots$
Размерность алгебры Николса	$\left(2^{n+1 \choose 2}\right)^{2}$	$\left(2^{n(n-1)}\right)^{2}$	$\left(2^{36}\right)^{2},\;\left(2^{63}\right)^{2},\;\left(2^{120}\right)^{2}$	$\left(3^{n(n-1)}2^{n}\right)^{2}$
ряд Гильберта	То же, что и соответствующая диагональная алгебра Николса.
Наименьшая реализующая группа	Экстраспециальная группа (соответственно почти экстраспециальная) с $2^{n+1}$ элементы, за исключением того, что $D_{n},\;2|n$ требуется аналогичная группа с большим центром порядка $2^{3}$.
Источник
Комментарии				Предположительно, это свертка диагональной алгебры Николса типа $B_{n}$ с $q=\pm 1$ что в исключительных случаях проявляется в признаке 3.

Следующие два получаются собственными автоморфизмами связных диаграмм Дынкина. ${^{2}}A_{2n-1},{^{2}}E_{6}$

Ранг, Тип корневой системы ${\mathfrak {B}}(V)$	$C_{n},\;n\geq 3$	$F_{4}$
Построенная из этой диагональной алгебры Никола с $q_{ij}=\pm 1$	$A_{2n-1}$	$E_{6}$
Размерность $V$	$1+2+\cdots$	$1+1+2+2$
Размерность алгебры Николса	$2^{2n \choose 2}$	$2^{36}=68,719,476,736$
ряд Гильберта	То же, что и соответствующая диагональная алгебра Николса.	То же, что и соответствующая диагональная алгебра Николса. $(2)_{t}^{6}(2)_{t^{2}}^{5}(2)_{t^{3}}^{5}(2)_{t^{4}}^{5}(2)_{t^{5}}^{4}(2)_{t^{6}}^{3}$$\cdot (2)_{t^{7}}^{3}(2)_{t^{8}}^{2}(2)_{t^{9}}(2)_{t^{10}}(2)_{t^{11}}$
Наименьшая реализующая группа	Группа заказа $2^{n+1}$ с большим центром порядка $2^{2}$ соотв. $2^{3}$ (для $n$ даже соотв. странный)	Группа заказа $2^{4+1}$ с большим центром порядка $2^{3}$ т.е. $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {D} _{4}$
... и класс сопряженности		${\mathcal {O}}_{\{z_{1}\}}\oplus {\mathcal {O}}_{\{z_{2}\}}\oplus {\mathcal {O}}_{[x_{1}]}\oplus {\mathcal {O}}_{[y_{1}]}$
Источник

Обратите внимание, что есть еще несколько складок, например ${^{3}}D_{4},{^{2}}D_{n}$ а также некоторые не типа Лжи, но они нарушают условие, что поддержка порождает группу.

Плакат со всеми известными на данный момент алгебрами Николса

(Саймон Лентнер, Университет Гамбурга, пожалуйста, не стесняйтесь писать комментарии/исправления/пожелания по этому поводу: simon.lentner на uni-hamburg.de)