Плетеная алгебра Хопфа

В математике плетеная алгебра Хопфа — это алгебра Хопфа в косой моноидальной категории . Наиболее распространенными плетеными алгебрами Хопфа являются объекты в категории Йеттера – Дринфельда алгебры Хопфа H , особенно алгебры Николса плетеного векторного пространства в этой категории.

Это понятие не следует путать с квазитреугольной алгеброй Хопфа .

Определение

Пусть H — алгебра Хопфа над полем k и предположим, что антипод H биективен. Модуль Йеттера–Дринфельда R над H называется сплетенной биалгеброй в категории Йеттера–Дринфельда. ${}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$ если

• $(R,\cdot ,\eta )$ — ассоциативная алгебра с единицей , где отображение умножения $\cdot :R\times R\to R$ и единица $\eta :k\to R$ являются отображениями модулей Йеттера–Дринфельда,
• $(R,\Delta ,\varepsilon )$ является коассоциативной коалгеброй с единицей $\varepsilon$и оба $\Delta$ и $\varepsilon$ являются отображениями модулей Йеттера–Дринфельда,
• карты $\Delta :R\to R\otimes R$ и $\varepsilon :R\to k$ являются алгебраическими отображениями в категории ${}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$, где алгебраическая структура $R\otimes R$ определяется единицей $\eta \otimes \eta (1):k\to R\otimes R$ и карта умножения

$(R\otimes R)\times (R\otimes R)\to R\otimes R,\quad (r\otimes s,t\otimes u)\mapsto \sum _{i}rt_{i}\otimes s_{i}u,\quad {\text{and}}\quad c(s\otimes t)=\sum _{i}t_{i}\otimes s_{i}.$

Здесь c — каноническое расплетение в категории Йеттера–Дринфельда ${}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$.

Скрученная биалгебра в ${}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$ называется плетеной алгеброй Хопфа , если существует морфизм $S:R\to R$ модулей Йеттера–Дринфельда таких, что

$S(r^{(1)})r^{(2)}=r^{(1)}S(r^{(2)})=\eta (\varepsilon (r))$ для всех $r\in R,$

где $\Delta _{R}(r)=r^{(1)}\otimes r^{(2)}$ в слегка измененных обозначениях Свидлера - изменение обозначений выполнено во избежание путаницы в бипродукте Рэдфорда ниже.

Примеры

• Любая алгебра Хопфа является также косой алгеброй Хопфа над $H=k$
• Супералгебра Хопфа — это не что иное, как плетеная алгебра Хопфа над групповой алгеброй. $H=k[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ]$.
• Тензорная алгебра $TV$ модуля Йеттера–Дринфельда $V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$ всегда является косой алгеброй Хопфа. Побочный продукт $\Delta$ из $TV$ определяется таким образом, что элементы V примитивны, то есть

$\Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1\quad {\text{for all}}\quad v\in V.$

Единица $\varepsilon :TV\to k$ тогда удовлетворяет уравнению $\varepsilon (v)=0$ для всех $v\in V.$

• Универсальный коэффициент $TV$, это по-прежнему плетеная алгебра Хопфа, содержащая $V$ в качестве примитивных элементов называется алгеброй Николса . Они берут на себя роль квантовых борелевских алгебр в классификации точечных алгебр Хопфа, аналогично классическому случаю алгебры Ли.

Бипродукт Рэдфорда

Для любой сплетенной алгебры Хопфа R в ${}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}$ существует естественная алгебра Хопфа $R\#H$ которая содержит R как подалгебру и H как подалгебру Хопфа. Его называют бипродуктом Рэдфорда , по имени его первооткрывателя, алгебраиста Хопфа Дэвида Рэдфорда. Его заново открыл Шан Маджид , который назвал это бозонизацией .

В качестве векторного пространства $R\#H$ это просто $R\otimes H$. Алгебраическая структура $R\#H$ дается

$(r\#h)(r'\#h')=r(h_{(1)}{\boldsymbol {.}}r')\#h_{(2)}h',$

где $r,r'\in R,\quad h,h'\in H$, $\Delta (h)=h_{(1)}\otimes h_{(2)}$ ( обозначение Свидлера ) является копроизведением $h\in H$, и ${\boldsymbol {.}}:H\otimes R\to R$ левое действие H на R. — Далее, копроизведение $R\#H$ определяется по формуле

$\Delta (r\#h)=(r^{(1)}\#r^{(2)}{}_{(-1)}h_{(1)})\otimes (r^{(2)}{}_{(0)}\#h_{(2)}),\quad r\in R,h\in H.$

Здесь $\Delta _{R}(r)=r^{(1)}\otimes r^{(2)}$ обозначает копроизведение r в R и $\delta (r^{(2)})=r^{(2)}{}_{(-1)}\otimes r^{(2)}{}_{(0)}$ — левое кодействие H на $r^{(2)}\in R.$

Ссылки

• Андрускевич, Николас и Шнайдер, Ханс-Юрген, Остроконечные алгебры Хопфа , Новые направления в алгебрах Хопфа, 1–68, Матем. наук. Рез. Инст. Публикация, 43, Кембриджский университет. Пресс, Кембридж, 2002.