Хаотическое смешивание

В теории хаоса и гидродинамике . хаотическое перемешивание — это процесс с помощью которого трассеры потока действием под потока жидкости .Течение характеризуется экспоненциальным ростом нитей жидкости. ^[1]^[2]Даже очень простые потоки, такие как мигающий вихрь ,или конечно разрешенные поля ветра могут генерировать исключительно сложныешаблоны из первоначально простых полей трассировки. ^[3]

Это явление до сих пор недостаточно изучено и является предметоммногих современных исследований.

Контекст хаотической адвекции

Потоки жидкости

жидкостей ответственны два основных механизма За перемешивание : диффузия и адвекция . В жидкостях сама по себе молекулярная диффузия вряд ли эффективна для смешивания. Адвекция, то есть перенос вещества потоком, необходима для лучшего перемешивания.

Поток жидкости подчиняется фундаментальным уравнениям гидродинамики (таким как сохранение массы и сохранение импульса), называемым уравнениями Навье – Стокса . Эти уравнения записаны для эйлерова поля скоростей, а не для лагранжева положения частиц жидкости. Лагранжевы траектории затем получаются путем интегрирования потока. Изучение влияния адвекции на смешивание жидкостей сводится к описанию того, как различные частицы лагранжевой жидкости исследуют область жидкости и отделяются друг от друга.

Условия хаотической адвекции

Поток жидкости можно рассматривать как динамическую систему, то есть совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений , определяющую эволюцию лагранжевой траектории . Эти уравнения называются уравнениями адвекции :

{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {v}}({\vec {x}},t)

где ${\vec {v}}=(u,v,w)$ являются компонентами поля скорости, которые считаются известными из решения уравнений, управляющих потоком жидкости, таких как уравнения Навье-Стокса ,и ${\vec {x}}=(x,y,z)$ это физическое положение. Если динамическая система, управляющая траекториями, хаотична , интеграция траектории чрезвычайно чувствительна к начальным условиям, и соседние точки экспоненциально разделяются со временем. Это явление называется хаотической адвекцией .

Динамические системы и теория хаоса утверждают, что для того, чтобы динамическая система была хаотичной, необходимо как минимум 3 степени свободы. Трехмерные потоки имеют три степени свободы, соответствующие трем координатам, и обычно приводят к хаотичной адвекции, за исключением случаев, когда поток имеет симметрию, уменьшающую количество степеней свободы. В потоках со степенью свободы менее 3 лагранжевы траектории ограничиваются закрытыми трубками, и перемешивание, вызванное сдвигом, может происходить только внутри этих трубок.

Это относится к двумерным стационарным потокам , в которых имеется только две степени свободы. $x$ и $y$ . Для стационарных (независящих от времени) течений лагранжевы траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока потока, которые являются изолиниями функции тока . В 2D линии тока представляют собой концентрические замкнутые кривые, которые пересекаются только в точках застоя . Таким образом, пятно окрашенной жидкости, подлежащее смешиванию, может исследовать только область, ограниченную наиболее внешней и внутренней линией тока, на которой оно лежит в начальный момент времени. Что касается практического применения, эта конфигурация не очень удовлетворительна.

Для двумерных нестационарных (нестационарных) течений мгновенные замкнутые линии тока и лагранжевы траектории больше не совпадают. Следовательно, лагранжевы траектории исследуют больший объем объема, что приводит к лучшему перемешиванию. Хаотическая адвекция наблюдается для большинства двумерных нестационарных потоков. Известный пример — мигающий вихревой поток, предложенный Арефом. ^[4] где две неподвижные стержнеобразные мешалки поочередно вращаются внутри жидкости. Периодическое переключение активной (вращающейся) мешалки приводит к зависимости потока от времени, что приводит к хаотичной адвекции. Таким образом, лагранжевы траектории могут выходить за пределы замкнутых линий тока и посещать большую часть жидкой области.

сдвиг

Поток способствует перемешиванию, разделяя соседние частицы жидкости. Это разделение происходит из-за скорости градиентов , явления, называемого сдвигом . Позволять ${\vec {x}}_{1}$ и ${\vec {x}}_{2}$ две соседние частицы жидкости, разделенные $\delta {\vec {x}}={\vec {x}}_{2}-{\vec {x}}_{1}$ во время т . Когда частицы переносятся потоком ${\vec {v}}$ , во время $t+\delta t$ приблизительное расстояние между частицами можно найти с помощью расширения Тейлора :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {x}}+\delta {\vec {x}})\approx {\vec {v}}+\nabla {\vec {v}}\cdot \delta {\vec {x}}

следовательно

\delta x(t+\delta t)\approx \delta x(t)+\delta t(\delta x\cdot \nabla ){\vec {v}}

и

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\delta {\vec {x}}\approx \nabla {\vec {v}}\cdot \delta {\vec {x}}

Таким образом, скорость роста отрыва определяется градиентом поля скорости в направлении отрыва. Плоский сдвиговый поток является простым примером крупномасштабного стационарного потока, который деформирует жидкие элементы из-за равномерного сдвига.

Характеристика хаотической адвекции

показатели Ляпунова

Если поток хаотичен , то небольшие начальные ошибки, $\delta {\vec {x}}$ , в траектория будет расходиться экспоненциально. Нас интересует вычисление устойчивости, т. е. того, как быстро траектории расходятся?Матрица Якоби поля скорости $\nabla {\vec {v}}$ , предоставляет информацию о локальной скорости дивергенции близлежащие траектории или локальная скорость растяжения Лагранжево пространство .

Определим матрицу H так, что:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {H}}\equiv \nabla {\vec {v}}\cdot {\boldsymbol {H}},\qquad {\boldsymbol {H}}(t=0)={\boldsymbol {I}}

где I — единичная матрица. Отсюда следует, что:

\delta {\vec {x}}(t)\approx {\boldsymbol {H}}\cdot \delta {\vec {x}}_{0}

за конечное время Показатели Ляпунова определяются как среднее по времени логарифмов длин главных компонент вектора H за время t:

{\boldsymbol {H^{T}}}\cdot {\boldsymbol {H}}\cdot \delta {\vec {x}}_{0i}=h_{i}\cdot \delta {\vec {x}}_{0i}

\lambda _{i}({\vec {x}},t)\equiv {\frac {1}{2t}}\ln {h_{i}({\vec {x}},t)}

где $\lambda _{i}({\vec {x}},t)\geq \lambda _{i+1}({\vec {x}},t)$ – i -й показатель Ляпуновасистемы, в то время как $\delta {\vec {x}}_{0i}$ - i -й главный компонент матрицы H .

Если мы начнем с набора ортонормированных векторов начальных ошибок, $\{\delta {\vec {x}}_{0i}\}$ то матрица H отобразит их в набор конечных векторов ортогональных ошибок длины $\{{\sqrt {h_{i}({\vec {x}},t)}}\}$ . Действие системы отображает бесконечно малую сферу начальная точка указывает на эллипсоид, большая ось которого задана ${\sqrt {h_{1}({\vec {x}},t)}}$ в то время как малая ось определяется выражением ${\sqrt {h_{N}({\vec {x}},t)}}$ , где N — количество измерений. ^[5]^[6]

Такое определение показателей Ляпунова и более изящно, и более уместно.к реальным, динамическим системам непрерывного времени, чем более обычные, основанные на определениях.на дискретных функциональных картах. Хаос определяется как существование хотя бы одного положительного показателя Ляпунова.

В хаотической системе мы называем показателем Ляпунова асимптотическое значение наибольшего собственного значения H :

\lambda =\lim _{t\to \infty }\lambda _{1}({\vec {x}},t)

Если между показателями Ляпунова существует какая-либо значительная разница, то по мере развития вектора ошибки вперед во времени любое смещение в направлении наибольшего роста будет иметь тенденцию увеличиваться. Таким образом:

|\delta {\vec {x}}|\approx |\delta {\vec {x}}_{0}|e^{\lambda _{1}t}.

Показатель Ляпунова потока – это уникальная величина, характеризующая асимптотическое разделение частиц жидкости в данном потоке. Его часто используют в качестве меры эффективность смешивания, поскольку она измеряет, насколько быстро траектории отделяются друг от друга из-за хаотической адвекции. Показатель Ляпунова можно вычислить разными методами:

следуя одной траектории в течение очень долгого времени и вычисляя $\lambda =\lim _{t\to \infty }\lambda _{1}({\vec {x}},t)$ .
или следуя ансамблю траекторий за заданный период времени и вычисляя среднее значение по ансамблю: $<\lambda >_{trajectories}$

Эквивалентность двух методов обусловлена эргодичностью хаотической системы.

Рост нитей в зависимости от эволюции градиента трассера

Следующее точное уравнение может быть получено из уравнения адвекции-диффузии диффузионным членом ( D=0 (см. ниже) с нулевым ):

{\frac {\mathrm {d} \nabla q}{\mathrm {d} t}}=-\nabla q\cdot \nabla {\vec {v}}

Параллельно с определением показателя Ляпунова определим матрицу ${\boldsymbol {H}}^{\prime }$ , следующее:

{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {H^{\prime }}}}{\mathrm {d} t}}=-\nabla {\boldsymbol {H^{\prime }}}\cdot \nabla {\vec {v}}\qquad {\boldsymbol {H^{\prime }}}(t=0)={\boldsymbol {I}}

Легко показать, что:

{\boldsymbol {H^{\prime }}}={\boldsymbol {H}}^{-1}

Если мы определим $\lbrace h_{i}^{\prime }\rbrace$ как квадраты длин главных компонент трассераградиентная матрица, ${\boldsymbol {H}}^{\prime }$ , затем:

h_{i}^{\prime }=1/h_{i}

где $\lbrace h_{i}^{\prime }\rbrace$ Располагаются, как и раньше, от большего к меньшему.Поэтому,рост вектора ошибок приведет к соответствующему уменьшению трассераградиент и наоборот. Это можно очень просто и интуитивно понять, еслиучитывая две близлежащие точки: поскольку разница в концентрации трассера будетфиксированы, единственным источником изменения градиентов между ними будут ихразлука. ^[5]^[7]

Контурная адвекция

Контурная адвекция — еще один полезный метод описания хаотического перемешивания.В хаотических потоках адвектируемые контуры со временем будут экспоненциально расти.На рисунке выше показана покадровая эволюция контура, адвектируемого понесколько дней. На рисунке справа показана длина этого контура.как функция времени.

Связь между экспоненциальным контурным ростом и положительными показателями Ляпуновалегко увидеть. Скорость роста контура определяется как:

{\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=\int |\nabla {\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}|

где $\mathrm {d} {\vec {s}}$ это путь а интеграл производится по длине контура. Темпы роста контура будут приближаться к среднему значению больших показателей Ляпунова: ^[5]

L\approx L_{0}\exp({\bar {\lambda }}_{1}t)

Сечения Пуанкаре

При хаотической адвекции частица жидкости движется внутри большой области и встречает другие частицы, которые изначально находились далеко от нее. Тогда можно считать, что частица смешана с частицами, движущимися в той же области. Однако область, охватываемая траекторией, не всегда охватывает всю область жидкости. Сечения Пуанкаре используются для выделения областей хорошего и плохого перемешивания.

Отображение Пуанкаре определяется как преобразование

{\begin{aligned}{\boldsymbol {M}}\colon {\vec {x_{i}}}(t_{i})&\to {\vec {x}}_{i+1}(t_{i+1}=t_{i}+T,{\vec {x_{i}}}).\end{aligned}}

${\boldsymbol {M}}$ преобразует точечную частицу в положение частицы после интервала времени T. В частности, для периодического во времени потока с периодом T применение карты несколько раз к частице дает последовательные положения частицы период за периодом. Сечение Пуанкаре строится, начиная с нескольких различных начальных условий и отображая соответствующие итерации. Это сводится к построению стробоскопических траекторий каждого T.

В качестве примера на представленном здесь рисунке (левая часть) изображено сечение Пуанкаре, полученное при периодическом приложении к круглому смесительному стержню движения, подобного восьмерке. Некоторые траектории охватывают большую область: это область хаотического перемешивания, где происходит хорошее перемешивание. Однако есть и две «дыры»: в этих регионах траектории закрыты. Их называют эллиптическими островами, поскольку траектории внутри них представляют собой эллиптические кривые. Эти области не смешиваются с остальной жидкостью. При смешивании эллиптических островков следует избегать по двум причинам:

Частицы жидкости не могут пересекать границы островов (кроме как за счет медленной диффузии), что приводит к сегрегации.
Смешивание внутри этих областей неэффективно, поскольку траектории замкнуты и, следовательно, не хаотичны.

Чтобы избежать нехаотичных островов, необходимо понять физическое происхождение этих регионов. Вообще говоря, изменение геометрии потока может изменить наличие или отсутствие островов. Например, в потоке в форме восьмерки для очень тонкого стержня влияние стержня не ощущается далеко от его местоположения, и внутри витков восьмерки существуют почти круговые траектории. При использовании стержня большего размера (правая часть рисунка) частицы могут выходить из этих петель и островков больше не существует, что приводит к лучшему перемешиванию.

С помощью сечения Пуанкаре качество перемешивания потока можно проанализировать, различая хаотичные и эллиптические области. Однако это грубая мера процесса смешивания, поскольку свойства растяжения не могут быть выведены из этого метода отображения. Тем не менее, этот метод очень полезен для изучения перемешивания периодических потоков и может быть распространен на трехмерную область.

Фрактальное измерение

Благодаря непрерывному процессу растяжения и складывания, подобно «карте пекаря »,трассеры, переносимые хаотическими потоками, разовьются в сложные фракталы.Фрактальная размерность одного контура будет между 1 и 2.Экспоненциальный рост обеспечивает то, что контур в пределе оченьдлительная интеграция становится фрактальной.Фракталы, состоящие из одной кривой, имеют бесконечную длину, и когдаформируются итеративно, имеют экспоненциальную скорость роста, подобноадвектируемый контур. Например, снежинка Коха растет со скоростью 4/3 за итерацию.

На рисунке ниже показана фрактальная размерность адвектируемого контура как функциявремени, измеренного четырьмя различными способами. Хороший метод измеренияфрактальная размерность адвектируемого контура является показателем неопределенности .

Эволюция полей концентрации трассеров при хаотической адвекции

При смешивании жидкостей часто требуется гомогенизировать вещество, которое можно охарактеризовать полем концентрации q . Часто этот вид можно рассматривать как пассивный индикатор, не изменяющий поток. Разновидностями могут быть, например, красители, подлежащие смешиванию.Эволюция концентрационного поля $q$ подчиняется уравнению адвекции-диффузии , также называемому уравнением конвекции-диффузии :

{\big .}{\frac {\partial q}{\partial t}}=\nabla \cdot D\nabla q-{\vec {v}}\cdot \nabla q.

По сравнению с простым уравнением диффузии член, пропорциональный полю скорости ${\vec {v}}$ представляет собой эффект адвекции.

При перемешивании пятна трассера адвективный член доминирует в эволюции поля концентрации в начале процесса перемешивания. Хаотическая адвекция превращает пятно в пучок тонких нитей. Ширина нити красителя экспоненциально уменьшается со временем, пока не будет достигнут равновесный масштаб, при котором эффект диффузии становится значительным. Эта шкала называется шкалой Бэтчелора . Он определяется как квадратный корень из отношения коэффициента диффузии к показателю Ляпунова.

w_{B}={\sqrt {\frac {D}{\lambda }}}

где $\lambda$ – показатель Ляпунова, D – коэффициент диффузии.Эта шкала измеряет баланс между растяжением и диффузией в эволюции поля концентрации: растяжение имеет тенденцию уменьшать ширину нити, а диффузия — увеличивать ее. Шкала Бэтчелора — это наименьшая шкала длины, которую можно наблюдать в поле концентрации, поскольку диффузия быстро размывает любые более мелкие детали.

Когда большинство нитей красителя достигают шкалы Бэтчелора, диффузия начинает значительно уменьшать контраст концентрации между нитью и окружающим доменом. Поэтому время, за которое нить достигает шкалы Бэтчелора, называется временем ее смешивания. Разрешение уравнения адвекции-диффузии показывает, что после времени перемешивания нити уменьшение колебаний концентрации из-за диффузии является экспоненциальным, что приводит к быстрой гомогенизации с окружающей жидкостью.

История хаотической адвекции

Рождение теории хаотической адвекции обычно относят к статье 1984 года. ^[4]Хасан Ареф . В этой работе Ареф исследовал перемешивание, вызванное двумя вихрями, попеременно включающимися и выключающимися внутри невязкой жидкости . Эта плодотворная работа стала возможной благодаря более ранним разработкам в области динамических систем и механики жидкости, произошедшим в предыдущие десятилетия. Владимир Арнольд ^[8]и Мишель Энон ^[9]уже заметил, что траектории, перемещаемые трехмерными потоками, сохраняющими площадь, могут быть хаотичными. Однако практический интерес хаотической адвекции для задач смешивания жидкостей оставался незамеченным до работы Арефа в 80-х годах. С тех пор весь набор инструментов динамических систем и теории хаоса использовался для характеристики перемешивания жидкостей посредством хаотической адвекции. ^[1] В недавних работах, например, использовались топологические методы для характеристики растяжения частиц жидкости. ^[10] Другие недавние направления исследований касаются изучения хаотической адвекции в сложных потоках, таких как зернистые потоки. ^[11]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Дж. М. Оттино (1989). Кинематика смешивания: растяжение, хаос и перенос . Издательство Кембриджского университета .
^ Ареф, Хасан; Блейк, Джон Р.; Будишич, Марко; Кардосо, Сильвана СС; Картрайт, Джулиан HE ; Клерк, Герман Дж. Х.; Эль Омари, Камаль; Фейдель, Ульрика; Голестанян, Рамин (14 июня 2017 г.). «Границы хаотической адвекции». Обзоры современной физики . 89 (2): 025007. arXiv : 1403.2953 . Бибкод : 2017RvMP...89b5007A . дои : 10.1103/RevModPhys.89.025007 . S2CID 117496075 .
^ Дж. Метвен и Б. Хоскинс (1999). «Адвекция трассеров высокого разрешения ветрами низкого разрешения» . Журнал атмосферных наук . 56 (18): 3262–3285. Бибкод : 1999JAtS...56.3262M . doi : 10.1175/1520-0469(1999)056<3262:taohrt>2.0.co;2 .
^ Jump up to: ^а ^б Ареф, Х. (июнь 1984 г.). «Перемешивание хаотичной адвекцией». Журнал механики жидкости . 143 : 1–21. Бибкод : 1984JFM...143....1A . дои : 10.1017/S0022112084001233 . S2CID 122846084 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Питер Миллс (2004). По следу пара: исследование хаотического смешивания водяного пара в верхней тропосфере (PDF) (Диссертация). Университет Бремена. Архивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2011 г. Проверено 16 декабря 2010 г.
^ Эдвард Отт (1993). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета.
^ Арженду К. Паттанаяк (2001). «Характеристика метастабильного баланса между хаосом и диффузией». Физика Д. 148 (1–2): 1–19. Бибкод : 2001PhyD..148....1P . дои : 10.1016/S0167-2789(00)00186-X .
^ Арнольд, Владимир Игоревич (1965-07-05). «К топологии установившихся течений идеальных жидкостей» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук (на французском языке). 261 . Французская академия наук : 17–20. дои : 10.1007/978-3-642-31031-7_3 . ISBN 978-3-642-31030-0 . ISSN 0001-4036 .
^ Энон, Мишель (31 января 1966 г.). «О топологии линий тока в частном случае» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук . А (на французском языке). 262 . Французская академия наук : 312–4. ISSN 0997-4482 .
^ Ж.-Л. Тиффо и доктор медицинских наук Финн (2006). «Топология, косы и смешивание жидкостей». Философские труды Королевского общества А. 364 (1849): 3251–3266. arXiv : nlin/0603003 . Бибкод : 2006RSPTA.364.3251T . дои : 10.1098/rsta.2006.1899 . ПМИД 17090458 . S2CID 10401399 .
^ Дж. М. Оттино и Д. В. Хахар (2000). «Смешивание и разделение сыпучих материалов». Ежегодный обзор механики жидкости . 32 : 55–91. Бибкод : 2000AnRFM..32...55O . дои : 10.1146/annurev.fluid.32.1.55 . S2CID 5862876 .

Внешние ссылки

ctraj : Инструменты для изучения хаотической адвекции.

[Ottino1989-1] Jump up to: ^а ^б Дж. М. Оттино (1989). Кинематика смешивания: растяжение, хаос и перенос . Издательство Кембриджского университета .

[2] Ареф, Хасан; Блейк, Джон Р.; Будишич, Марко; Кардосо, Сильвана СС; Картрайт, Джулиан HE ; Клерк, Герман Дж. Х.; Эль Омари, Камаль; Фейдель, Ульрика; Голестанян, Рамин (14 июня 2017 г.). «Границы хаотической адвекции». Обзоры современной физики . 89 (2): 025007. arXiv : 1403.2953 . Бибкод : 2017RvMP...89b5007A . дои : 10.1103/RevModPhys.89.025007 . S2CID 117496075 .

[Methven_Hoskins1999-3] Дж. Метвен и Б. Хоскинс (1999). «Адвекция трассеров высокого разрешения ветрами низкого разрешения» . Журнал атмосферных наук . 56 (18): 3262–3285. Бибкод : 1999JAtS...56.3262M . doi : 10.1175/1520-0469(1999)056<3262:taohrt>2.0.co;2 .

[Aref1984-4] Jump up to: ^а ^б Ареф, Х. (июнь 1984 г.). «Перемешивание хаотичной адвекцией». Журнал механики жидкости . 143 : 1–21. Бибкод : 1984JFM...143....1A . дои : 10.1017/S0022112084001233 . S2CID 122846084 .

[Mills2004-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Питер Миллс (2004). По следу пара: исследование хаотического смешивания водяного пара в верхней тропосфере (PDF) (Диссертация). Университет Бремена. Архивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2011 г. Проверено 16 декабря 2010 г.

[Ott1993-6] Эдвард Отт (1993). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета.

[Pattanayak2001-7] Арженду К. Паттанаяк (2001). «Характеристика метастабильного баланса между хаосом и диффузией». Физика Д. 148 (1–2): 1–19. Бибкод : 2001PhyD..148....1P . дои : 10.1016/S0167-2789(00)00186-X .

[Arnold1965-8] Арнольд, Владимир Игоревич (1965-07-05). «К топологии установившихся течений идеальных жидкостей» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук (на французском языке). 261 . Французская академия наук : 17–20. дои : 10.1007/978-3-642-31031-7_3 . ISBN 978-3-642-31030-0 . ISSN 0001-4036 .

[Henon1966-9] Энон, Мишель (31 января 1966 г.). «О топологии линий тока в частном случае» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук . А (на французском языке). 262 . Французская академия наук : 312–4. ISSN 0997-4482 .

[Thiffeault2006-10] Ж.-Л. Тиффо и доктор медицинских наук Финн (2006). «Топология, косы и смешивание жидкостей». Философские труды Королевского общества А. 364 (1849): 3251–3266. arXiv : nlin/0603003 . Бибкод : 2006RSPTA.364.3251T . дои : 10.1098/rsta.2006.1899 . ПМИД 17090458 . S2CID 10401399 .

[Ottino2000-11] Дж. М. Оттино и Д. В. Хахар (2000). «Смешивание и разделение сыпучих материалов». Ежегодный обзор механики жидкости . 32 : 55–91. Бибкод : 2000AnRFM..32...55O . дои : 10.1146/annurev.fluid.32.1.55 . S2CID 5862876 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]