Траектория (механика жидкости)

В жидкости , метеорологии (погоде) и океанографии траектория механике отслеживает движение одной точки, часто называемой пакетом , в потоке.

Траектории полезны для отслеживания атмосферных загрязнителей, таких как дымовые шлейфы, а также в качестве составляющих лагранжевого моделирования, такого как контурная адвекция или полулагранжевы схемы .

Предположим, у нас есть изменяющееся во времени поле потока: ${\vec {v}}({\vec {x}},~t)$ . Движение жидкого пакета или траектории задается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений :

{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {v}}({\vec {x}},~t)

Хотя уравнение выглядит простым, при попытке его численного решения возникают как минимум три проблемы . Во-первых, это схема интеграции . Обычно это Рунге-Кутта , ^[1] хотя и другие могут быть полезны, например, чехарда . Второй – метод определения вектора скорости, ${\vec {v}}$ в заданной позиции, ${\vec {x}}$ , и время, т . Обычно он неизвестен во всех положениях и времени, поэтому какой-то метод интерполяции требуется . Если скорости распределены по координатной сетке в пространстве и времени, то подходит билинейная , трилинейная или многомерная линейная интерполяция. Бикубическая , трикубическая и т. д. также используется интерполяция, но, вероятно, она не стоит дополнительных вычислительных затрат .

Поля скорости могут быть определены путем измерения, например, с помощью метеозондов , численных моделей или, в особенности, их комбинации, например, моделей ассимиляции .

Последняя проблема — метрические поправки. Они необходимы для потоков геофизической жидкости на сферической Земле. Дифференциальные уравнения для отслеживания двумерной атмосферной траектории в координатах долгота-широта следующие:

{\frac {d\theta }{dt}}={\frac {u}{r\cos \phi }}

{\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v}{r}}

где, $\theta$ и $\phi$ – соответственно долгота и широта в радианах , r – радиус Земли , u – зональный ветер и v – меридиональный ветер.

Одной из проблем этой формулировки является полярная сингулярность: обратите внимание, как знаменатель в первом уравнении обращается в ноль, когда широта равна 90 градусам – плюс-минус. Одним из способов решения этой проблемы является использование локально декартовой системы координат, близкой к полюсам. Другой способ — выполнить интегрирование по паре азимутальных эквидистантных проекций — одной для Северного полушария и одной для Южного полушария. ^[2]

Траектории можно проверить с помощью воздушных шаров в атмосфере и буев в океане .

Внешние ссылки

ctraj : интегратор траекторий, написанный на C++.

Ссылки

^ Уильям Х. Пресс; Брайан П. Фланнери; Саул Алексеевич Теукольский; Уильям Т. Веттерлинг (1992). Численные рецепты на C: искусство научных вычислений (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521437202 .
^ Миллс, Питер (2012). «Анализ трассировки прокси-сервера основных компонентов». arXiv : 1202.1999 [ physical.ao-ph ].

[Press_etal1992-1] Уильям Х. Пресс; Брайан П. Фланнери; Саул Алексеевич Теукольский; Уильям Т. Веттерлинг (1992). Численные рецепты на C: искусство научных вычислений (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521437202 .

[Mills2012-2] Миллс, Питер (2012). «Анализ трассировки прокси-сервера основных компонентов». arXiv : 1202.1999 [ physical.ao-ph ].

[1]

[2]