Полулагранжева схема

( Полулагранжева схема SLS) — это численный метод , который широко используется в моделях численного прогноза погоды для интегрирования уравнений, управляющих движением атмосферы. Лагранжево ) фокусируется на описание системы (например, атмосферы слежении за отдельными воздушными пакетами по их траекториям, в отличие от эйлерова описания, которое учитывает скорость изменения системных переменных, фиксированных в определенной точке пространства. Полулагранжева схема использует эйлерову структуру, но дискретные уравнения исходят из лагранжевой точки зрения.

Немного предыстории

Лагранжева скорость изменения величины $F$ дается

${\frac {DF}{Dt}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot {\vec {\nabla }})F,$

где $F$ может быть скалярным или векторным полем и $\mathbf {v}$ – поле скоростей. Первый член в правой части приведенного выше уравнения представляет собой локальную или эйлерову скорость изменения $F$ а второй член часто называют термином адвекции . Обратите внимание, что скорость изменения Лагранжа также известна как материальная производная .

Можно показать, что уравнения, описывающие движение атмосферы, можно записать в лагранжевой форме

${\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=\mathbf {S} (\mathbf {V} ),$

где компоненты вектора $\mathbf {V}$ — это (зависимые) переменные, описывающие порцию воздуха (например, скорость, давление, температура и т. д.), и функция $\mathbf {S} (\mathbf {V} )$ представляет термины источника и/или приемника.

В лагранжевой схеме прослеживаются отдельные участки воздуха, но есть явно определенные недостатки: число участков может быть действительно очень большим, и часто может случиться так, что большое количество участков скапливается вместе, оставляя относительно большие области пространства совершенно пустыми. Такие пустоты могут вызвать вычислительные проблемы, например, при вычислении пространственных производных различных величин. Есть способы обойти это, например, метод, известный как гидродинамика сглаженных частиц , где зависимая переменная выражается в нелокальной форме, то есть как интеграл от самой себя, умноженный на функцию ядра.

Полулагранжевы схемы позволяют избежать проблемы наличия областей пространства, по существу свободных от участков.

Полулагранжева схема.

Полулагранжевы схемы используют регулярную (эйлерову) сетку, как и методы конечных разностей. Идея такова: на каждом временном шаге вычисляется точка, откуда пришла посылка. Затем используется схема интерполяции для оценки значения зависимой переменной в точках сетки, окружающих точку, из которой возникла частица. Перечисленные ссылки содержат более подробную информацию о том, как применяется полулагранжева схема.

См. также

Внешние ссылки

ctraj : библиотека траекторий C++, включая полулагранжевы коды трассировки.

Ссылки

Э. Калней , Атмосферное моделирование, ассимиляция данных и предсказуемость (глава 3, раздел 3.3.3), Cambridge University Press, Кембридж, 2003.
А. Перссон, Руководство пользователя по прогностической продукции ЕЦСПП (раздел 2.1.3), http://www.ecmwf.int/sites/default/files/User_Guide_V1.2_20151123.pdf.
Д. А. Рэндалл, Моделирование атмосферы (AT604, глава 5, раздел 5.11), http://kiwi.atmos.colostate.edu/group/dave/at604.html