Трикубическая интерполяция

В математического подполя анализе численном трикубическая интерполяция представляет собой метод получения значений в произвольных точках трехмерного пространства функции, определенной на регулярной сетке . Подход предполагает локальное приближение функции выражением вида $f(x,y,z)=\sum _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}\sum _{k=0}^{3}a_{ijk}x^{i}y^{j}z^{k}.$

Эта форма имеет 64 коэффициента. $a_{ijk}$ ; Требование, чтобы функция имела заданное значение или заданную производную по направлению в точке, накладывает одно линейное ограничение на 64 коэффициента.

Термин трикубическая интерполяция используется более чем в одном контексте; в некоторых экспериментах измеряются как значение функции, так и ее пространственные производные, и желательно интерполировать, сохраняя значения и измеренные производные в точках сетки. Они обеспечивают 32 ограничения на коэффициенты, а еще 32 ограничения могут быть обеспечены требованием гладкости высших производных. ^[1]

В других контекстах мы можем получить 64 коэффициента, рассматривая сетку маленьких кубов 3×3×3, окружающую куб, внутри которого мы вычисляем функцию, и подгоняя функцию в 64 точки в углах этой сетки.

В статье о кубической интерполяции указано, что метод эквивалентен последовательному применению одномерных кубических интерполяторов. Позволять $\mathrm {CINT} _{x}(a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2})$ быть значением кубического полинома с одной переменной (например, ограниченного значениями, $a_{-1}$ , $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ из последовательных точек сетки) оценивается в $x$ . Во многих полезных случаях эти кубические многочлены имеют вид $\mathrm {CINT} _{x}(u_{-1},u_{0},u_{1},u_{2})=\mathbf {v} _{x}\cdot \left(u_{-1},u_{0},u_{1},u_{2}\right)$ для некоторого вектора $\mathbf {v} _{x}$ что является функцией $x$ один. Трикубический интерполятор эквивалентен:

${\begin{aligned}s(i,j,k)&{}={\text{The value at grid point }}(i,j,k)\\t(i,j,z)&{}=\mathrm {CINT} _{z}\left(s(i,j,-1),s(i,j,0),s(i,j,1),s(i,j,2)\right)\\u(i,y,z)&{}=\mathrm {CINT} _{y}\left(t(i,-1,z),t(i,0,z),t(i,1,z),t(i,2,z)\right)\\f(x,y,z)&{}=\mathrm {CINT} _{x}\left(u(-1,y,z),u(0,y,z),u(1,y,z),u(2,y,z)\right)\end{aligned}}$ где $i,j,k\in \{-1,0,1,2\}$ и $x,y,z\in [0,1]$ .

На первый взгляд может показаться более удобным использовать 21 вызов для $\mathrm {CINT}$ описанное выше, вместо ${64\times 64}$ матрица описана Лекином и Марсденом. ^[1] Однако правильная реализация с использованием разреженного формата матрицы (то есть довольно разреженной) делает последний более эффективным. Этот аспект еще более выражен, когда необходима интерполяция в нескольких местах внутри одного куба. В этом случае ${64\times 64}$ Матрица используется один раз для вычисления коэффициентов интерполяции для всего куба. Затем коэффициенты сохраняются и используются для интерполяции в любом месте внутри куба. Для сравнения, последовательное использование одномерных интеграторов $\mathrm {CINT} _{x}$ работает крайне плохо при повторных интерполяциях, поскольку каждый вычислительный шаг должен повторяться для каждого нового местоположения.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Лекин, Ф.; Марсден, Дж. (21 мая 2005 г.). «Трикубическая интерполяция в трех измерениях» . Журнал численных методов в технике . 63 (3): 455–471. дои : 10.1002/nme.1296 . ISSN 0029-5981 .

Внешние ссылки

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Лекин, Ф.; Марсден, Дж. (21 мая 2005 г.). «Трикубическая интерполяция в трех измерениях» . Журнал численных методов в технике . 63 (3): 455–471. дои : 10.1002/nme.1296 . ISSN 0029-5981 .

[1]