Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения

Файл:Лагранжиан против Эйлера

В классических теориях поля лагранжева спецификация поля потока — это способ рассмотрения движения жидкости, при котором наблюдатель следует за отдельным пакетом жидкости , когда он движется в пространстве и времени. ^[1]^[2] Нанесение на график положения отдельной посылки во времени дает путь посылки. Это можно представить себе как сидящего в лодке и плывущего по реке.

Эйлерова спецификация поля потока — это способ рассмотрения движения жидкости, который фокусируется на определенных местах в пространстве, через которые жидкость течет с течением времени. ^[1]^[2] Это можно визуализировать, сидя на берегу реки и наблюдая, как вода течет в фиксированном месте.

Лагранжевы и эйлеровы характеристики поля потока иногда условно обозначаются как лагранжева и эйлерова система отсчета . Однако в целом как лагранжева, так и эйлерова спецификация поля потока может применяться в любой системе отсчета наблюдателя и в любой системе координат, используемой в выбранной системе отсчета.

Эти характеристики отражены в вычислительной гидродинамике , где в «эйлеровом» моделировании используется фиксированная сетка , а в «лагранжевом» моделировании (например, в моделировании без сетки ) используются узлы моделирования, которые могут перемещаться в соответствии с полем скоростей .

Описание

В эйлеровой спецификации поля поле представлено как функция позиции x и времени t . Например, скорость потока представляется функцией $\mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right).$

С другой стороны, в лагранжевой спецификации отдельные порции жидкости отслеживаются во времени. Жидкие пакеты помечены некоторым (независимым от времени) векторным полем x ₀ . (Часто x ₀ выбирается как положение центра масс посылок в некоторый начальный момент времени t ₀ . Он выбирается таким образом, чтобы учесть возможные изменения формы с течением времени. Поэтому центр масс является хорошей параметризацией скорости потока u посылки.) ^[1] В лагранжевом описании поток описывается функцией $\mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0},t\right),$ давая положение частицы, обозначенной x _0, в момент времени t .

Эти две спецификации связаны следующим образом: ^[2] $\mathbf {u} \left(\mathbf {X} (\mathbf {x} _{0},t),t\right)={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} _{0},t\right),$ потому что обе стороны описывают скорость частицы, обозначенной x _0, в момент времени t .

В выбранной системе координат x ₀ и x называются лагранжевыми координатами и эйлеровыми координатами потока соответственно.

Производная материала

Лагранжевы и эйлеровы характеристики кинематики и динамики поля потока связаны материальной производной (также называемой производной Лагранжа, конвективной производной, существенной производной или производной частицы). ^[1]

Предположим, у нас есть поле потока u , а также нам дано общее поле с эйлеровой спецификацией F ( x , t ). Теперь можно задаться вопросом об общей скорости изменения F, испытываемой конкретным участком потока. Это можно вычислить как ${\frac {\mathrm {D} \mathbf {F} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} ,$ где ∇ обозначает оператор набла относительно x оператор u ⋅∇ должен применяться к каждому компоненту F. , а Это говорит нам о том, что общая скорость изменения функции F при движении частиц жидкости через поле потока, описываемое ее эйлеровой спецификацией u, равна сумме локальной скорости изменения и конвективной скорости изменения F . Это следствие цепного правила , поскольку мы дифференцируем функцию F ( X ( x ₀ , t ), t ) по t .

Законы сохранения единицы массы имеют лагранжеву форму, что вместе с сохранением массы приводит к сохранению Эйлера; наоборот, когда частицы жидкости могут обмениваться величиной (например, энергией или импульсом), существуют только эйлеровы законы сохранения. ^[3]

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бэтчелор, ГК (1973). Введение в гидродинамику . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. 71–73. ISBN 978-0-521-09817-5 . OCLC 847527173 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Лэмб, Х. (1994) [1932]. Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. §3–§7 и §13–§16. ISBN 978-0-521-45868-9 .
^ Фалькович, Григорий (2011). Механика жидкости (Краткий курс для физиков) . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00575-4 .

Ссылки

Бадин, Г.; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка жидкости и геофизическая гидродинамика - механика, симметрия и законы сохранения . Спрингер. п. 218. дои : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5 . S2CID 125902566 .
Ландау, Лев ; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики, том 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0750627672 .

Внешние ссылки

[1] Объективность в классической механике сплошных сред: движения, функции Эйлера и Лагранжа; Градиент деформации; Производные Лиги; Формула сложения скоростей, Кориолиса; Объективность.

[Batchelor-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бэтчелор, ГК (1973). Введение в гидродинамику . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. 71–73. ISBN 978-0-521-09817-5 . OCLC 847527173 .

[Lamb-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Лэмб, Х. (1994) [1932]. Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. §3–§7 и §13–§16. ISBN 978-0-521-45868-9 .

[Falkovich-3] Фалькович, Григорий (2011). Механика жидкости (Краткий курс для физиков) . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00575-4 .

[1]

[2]

[3]