Форма сохранения

Форма сохранения или эйлерова форма относится к расположению уравнения или системы уравнений , обычно представляющих гиперболическую систему , которая подчеркивает, что представленное свойство сохраняется, то есть тип уравнения непрерывности . Этот термин обычно используется в контексте механики сплошных сред .

Общая форма

Уравнения в форме сохранения принимают вид ${\frac {d\xi }{dt}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} (\xi )=0$ для любого сохраняющегося количества $\xi$ , с подходящей функцией $\mathbf {f}$ . Уравнение такого вида можно преобразовать в интегральное уравнение ${\frac {d}{dt}}\int _{V}\xi ~dV=-\oint _{\partial V}\mathbf {f} (\xi )\cdot {\boldsymbol {\nu }}~dS$ используя теорему о дивергенции . Интегральное уравнение гласит, что скорость изменения интеграла величины $\xi$ по произвольному контрольному объему $V$ определяется потоком $\mathbf {f} (\xi )$ через границу контрольного объема, при этом ${\boldsymbol {\nu }}$ будучи внешней поверхностью, нормалью к границе. $\xi$ не производится и не потребляется внутри $V$ и, следовательно, сохраняется. Типичный выбор для $\mathbf {f}$ является $\mathbf {f} (\xi )=\xi \mathbf {u}$ , со скоростью $\mathbf {u}$ , что означает, что количество $\xi$ течет с заданным полем скоростей.

Интегральная форма таких уравнений обычно является физически более естественной формулировкой, а дифференциальное уравнение возникает в результате дифференцирования. Поскольку интегральное уравнение также может иметь недифференцируемые решения, равенство обеих формулировок может в некоторых случаях нарушаться, что приводит к слабым решениям и серьезным численным трудностям при моделировании таких уравнений.

Пример

Примером системы уравнений, записанных в форме сохранения, являются уравнения Эйлера потока жидкости: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ ${\frac {\partial \rho \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=0$ ${\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+pV))=0$

Каждый из них представляет собой сохранение массы , импульса и энергии соответственно.

См. также

Дальнейшее чтение

Торо, EF (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-65966-8 .
Рэндалл Дж. Левек: Методы конечных объемов для гиперболических задач. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002 г., ISBN 0-521-00924-3 ( Кембриджские тексты по прикладной математике ).