Гиперболическое уравнение в частных производных

В математике гиперболическое уравнение в частных производных порядка $n$ — это уравнение в частных производных (УЧП), которое, грубо говоря, имеет корректную начальную задачу для первого $n-1$ производные. ^{[ нужна ссылка ]} Точнее, задача Коши может быть решена локально для произвольных начальных данных вдоль любой нехарактерной гиперповерхности . Многие уравнения механики являются гиперболическими, поэтому изучение гиперболических уравнений представляет существенный современный интерес. Модельное гиперболическое уравнение представляет собой волновое уравнение . В одном пространственном измерении это ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$ Уравнение обладает тем свойством, что если $u$ и его первая производная по времени являются произвольно заданными начальными данными на линии $t = 0$ (с достаточными свойствами гладкости), то существует решение для всего времени $t$ .

Решения гиперболических уравнений являются «волнообразными». Если в исходные данные гиперболического дифференциального уравнения внесено возмущение, то возмущение ощущают не все точки пространства сразу. Относительно фиксированной временной координаты возмущения имеют конечную скорость распространения . Они путешествуют по характеристикам уравнения. Эта особенность качественно отличает гиперболические уравнения от эллиптических уравнений в частных производных и параболических уравнений в частных производных . Возмущение исходных (или граничных) данных эллиптического или параболического уравнения ощущают сразу практически все точки области.

Хотя определение гиперболичности по сути является качественным, существуют точные критерии, которые зависят от конкретного типа рассматриваемого дифференциального уравнения. Существует хорошо разработанная теория линейных дифференциальных операторов , созданная Ларсом Гордингом в контексте микролокального анализа . Нелинейные дифференциальные уравнения гиперболичны, если их линеаризации гиперболичны в смысле Гординга. Несколько иная теория существует для систем уравнений первого порядка, вытекающих из систем законов сохранения .

Определение

Уравнение в частных производных является гиперболическим в точке $P$ при условии, что задача Коши однозначно разрешима в окрестности точки $P$ для любых исходных данных, заданных на нехарактерной гиперповерхности, проходящей через $P$ . ^[1] Здесь заданные начальные данные состоят из всех (поперечных) производных функции на поверхности до единицы меньше порядка дифференциального уравнения.

Примеры

Путем линейной замены переменных любое уравнение вида $A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0$ с $B^{2}-AC>0$ может быть преобразовано в волновое уравнение , за исключением членов низшего порядка, которые несущественны для качественного понимания уравнения. ^[2]^: 400 Это определение аналогично определению плоской гиперболы .

Одномерное волновое уравнение : ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$ является примером гиперболического уравнения. Двумерные и трехмерные волновые уравнения также попадают в категорию гиперболических УЧП. Этот тип гиперболического уравнения в частных производных второго порядка может быть преобразован в гиперболическую систему дифференциальных уравнений первого порядка. ^[2]^: 402

Гиперболическая система уравнений в частных производных

Ниже представлена система $s$ уравнения в частных производных первого порядка для $s$ неизвестные функции ${\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})$ , ${\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)$ , где ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}$ :

{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f}}^{j}({\vec {u}})=0,

( ∗ )

где ${\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d$ когда-то являются непрерывно дифференцируемыми функциями, нелинейными вообще говоря, .

Далее для каждого ${\vec {f}}^{j}$ определить $s\times s$ Матрица Якобиана $A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.$

Система ( ∗ ) является гиперболической , если для всех $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R}$ матрица $A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}$ имеет только действительные собственные значения и диагонализуема .

Если матрица $A$ имеет $s$ различных действительных собственных значений, то из этого следует, что оно диагонализуемо. В этом случае система ( ∗ ) называется строго гиперболической .

Если матрица $A$ симметрична, то, следовательно, она диагонализуема и собственные значения вещественны. В этом случае система ( ∗ ) называется симметричной гиперболической .

Гиперболическая система и законы сохранения

Существует связь между гиперболической системой и законом сохранения . Рассмотрим гиперболическую систему одного уравнения в частных производных для одной неизвестной функции. $u=u({\vec {x}},t)$ . Тогда система ( ∗ ) имеет вид

{\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.

( ∗∗ )

Здесь, $u$ можно интерпретировать как величину, которая движется в соответствии с потоком , определяемым формулой ${\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})$ . Чтобы увидеть, что количество $u$ сохраняется, проинтегрируем ( ∗∗ ) по области $\Omega$ $\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.$

Если $u$ и ${\vec {f}}$ являются достаточно гладкими функциями, мы можем воспользоваться теоремой о расходимости и изменить порядок интегрирования и $\partial /\partial t$ получить закон сохранения величины $u$ в общем виде ${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,$ это означает, что скорость изменения $u$ в домене $\Omega$ равен чистому потоку $u$ через его границу $\partial \Omega$ . Поскольку это равенство, можно сделать вывод, что $u$ сохраняется внутри $\Omega$ .

См. также

Ссылки

^ Рождественский, Б.Л. (2001) [1994], "Гиперболическое уравнение в частных производных" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Jump up to: ^а ^б Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения в частных производных , Аспирантура по математике , том. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/gsm/019 , ISBN 978-0-8218-4974-3 , МР 2597943 , OCLC 465190110

Дальнейшее чтение

А. Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Внешние ссылки

«Гиперболическое уравнение в частных производных, численные методы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Линейные гиперболические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
Нелинейные гиперболические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.

[Rozhdestvenskii-1] Рождественский, Б.Л. (2001) [1994], "Гиперболическое уравнение в частных производных" , Энциклопедия математики , EMS Press

[Evans_1998-2] Jump up to: ^а ^б Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения в частных производных , Аспирантура по математике , том. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/gsm/019 , ISBN 978-0-8218-4974-3 , МР 2597943 , OCLC 465190110

[1]

[2]