Фазовая скорость

Дисперсия частот в группах гравитационных волн на поверхности глубокой воды. Красный ■ квадрат движется с фазовой скоростью, а ● зеленые кружки распространяются с групповой скоростью . В этом глубоководном случае *фазовая скорость в два раза превышает групповую скорость* . Красный квадрат обгоняет два зеленых круга при движении слева направо от фигуры.
Новые волны, кажется, возникают в задней части группы волн, растут по амплитуде, пока не оказываются в центре группы, и исчезают на фронте группы волн.
Для поверхностных гравитационных волн скорости частиц воды в большинстве случаев намного меньше фазовой скорости.

Фазовая скорость волны — это скорость , с которой волна распространяется в любой среде . Это скорость , с которой движется фаза любой частотной составляющей волны. Для такого компонента любая данная фаза волны (например, гребень ) будет двигаться с фазовой скоростью. Фазовая скорость выражается через длину волны $λ$ (лямбда) и период времени $T$ как

v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.

волны Эквивалентно, с точки зрения угловой частоты $ω$ , которая определяет угловое изменение в единицу времени, и волнового числа (или углового волнового числа) $k$ , которое представляет угловое изменение на единицу пространства,

v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.

Чтобы получить некоторое представление об этом уравнении, мы рассмотрим распространяющуюся (косинусную) волну $A cos(kx - ωt)$ . Мы хотим увидеть, как быстро распространяется определенная фаза волны. Например, мы можем выбрать $kx - ωt = 0$ , фазу первого гребня. Отсюда следует, что $kx = ωt$ , и поэтому $v = x / t = ω / k$ .

Формально положим фазу $φ = kx - ωt$ и сразу увидим, что $ω = -dφ/d t$ и $k = dφ/d x$ . Итак, сразу следует, что

{\frac {\partial x}{\partial t}}=-{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\frac {\partial x}{\partial \phi }}={\frac {\omega }{k}}.

В результате мы наблюдаем обратную зависимость между угловой частотой и волновым вектором . Если волна имеет колебания более высокой частоты, длину волны необходимо сократить, чтобы фазовая скорость оставалась постоянной. ^[2] Кроме того, фазовая скорость электромагнитного излучения может – при определенных обстоятельствах (например, аномальная дисперсия ) – превышать скорость света в вакууме, но это не указывает на какую-либо сверхсветовую информацию или передачу энергии. ^{[ нужна ссылка ]} Его теоретически описали такие физики, как Арнольд Зоммерфельд и Леон Бриллюэн .

Предыдущее определение фазовой скорости было продемонстрировано для изолированной волны. Однако такое определение можно распространить на биение волн или на сигнал, состоящий из нескольких волн. Для этого необходимо математически записать ритм или сигнал как огибающую низкой частоты, умножающую несущую. Таким образом, фазовая скорость несущей определяет фазовую скорость волнового набора. ^[3]

Групповая скорость

Суперпозиция одномерных плоских волн (синего цвета), каждая из которых движется с разной фазовой скоростью (отмечена синими точками), приводит к образованию гауссовского волнового пакета (красного цвета), который распространяется с групповой скоростью (отмечена красной линией).

Групповая скорость совокупности волн определяется как

v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.

Когда несколько синусоидальных волн распространяются вместе, результирующая суперпозиция волн может привести к образованию волны «огибающей», а также волны «несущей», лежащей внутри огибающей. Это обычно происходит в беспроводной связи, когда для отправки данных используется модуляция (изменение амплитуды и/или фазы). Чтобы получить некоторое представление об этом определении, мы рассмотрим суперпозицию (косинусных) волн $f(x, t)$ с их соответствующими угловыми частотами и волновыми векторами.

{\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}

Итак, мы имеем произведение двух волн: огибающей, образованной $f 1$ и несущей, образованной $f 2$ . Скорость огибающей волны мы называем групповой скоростью. Мы видим, что скорость f $фазовая 1$ равна

{\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.

В непрерывном дифференциальном случае это становится определением групповой скорости.

Показатель преломления

В контексте электромагнетизма и оптики частота — это некоторая функция $ω (k)$ волнового числа, поэтому в целом фазовая скорость и групповая скорость зависят от конкретной среды и частоты. Отношение между скоростью света c и фазовой скоростью известно _vp как показатель преломления , $n = c / v p = ck / ω$ .

Таким образом, мы можем получить другую форму групповой скорости для электромагнетизма. Записывая $n = n (ω)$ , быстрый способ получить эту форму — наблюдать

k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .

Затем мы можем переставить приведенное выше, чтобы получить

v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.

Из этой формулы мы видим, что групповая скорость равна фазовой скорости только тогда, когда показатель преломления не зависит от частоты. ${\textstyle \partial n/\partial \omega =0}$ . В этом случае среду называют недисперсионной, в отличие от дисперсионной , где различные свойства среды зависят от частоты $ω$ . Отношение $\omega (k)$ называется законом дисперсии среды.

См. также

Ссылки

Сноски

^ Немировский, Джонатан; Рехтсман, Микаэль С; Сегев, Мордехай (9 апреля 2012 г.). «Отрицательное радиационное давление и отрицательный эффективный показатель преломления за счет диэлектрического двойного лучепреломления» . Оптика Экспресс . 20 (8): 8907–8914. Бибкод : 2012OExpr..20.8907N . дои : 10.1364/OE.20.008907 . ПМИД 22513601 .
^ «Фаза, группа и скорость сигнала» . Mathpages.com . Проверено 24 июля 2011 г.
^ «Фазовая скорость: волны и сигналы» . электроповестка дня.com.

Библиография

Кроуфорд-младший, Фрэнк С. (1968). Волны (Курс физики Беркли, Том 3) , МакГроу-Хилл, ISBN 978-0070048607 Бесплатная онлайн-версия
Бриллюэн, Леон (1960), Распространение волн и групповая скорость , Нью-Йорк и Лондон: Academic Press Inc., ISBN 978-0-12-134968-4
Мэйн, Иэн Г. (1988), Вибрации и волны в физике (2-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, стр. 214–216, ISBN. 978-0-521-27846-1
Типлер, Пол А.; Ллевеллин, Ральф А. (2003), Современная физика (4-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. 222–223, ISBN 978-0-7167-4345-3

[nemirovsky2012negative-1] Немировский, Джонатан; Рехтсман, Микаэль С; Сегев, Мордехай (9 апреля 2012 г.). «Отрицательное радиационное давление и отрицательный эффективный показатель преломления за счет диэлектрического двойного лучепреломления» . Оптика Экспресс . 20 (8): 8907–8914. Бибкод : 2012OExpr..20.8907N . дои : 10.1364/OE.20.008907 . ПМИД 22513601 .

[mathpages1-2] «Фаза, группа и скорость сигнала» . Mathpages.com . Проверено 24 июля 2011 г.

[electroagenda-3] «Фазовая скорость: волны и сигналы» . электроповестка дня.com.

[1]

[2]

[3]