Стохастический метод Эйлера Лагранжа

В вычислительной гидродинамике используется стохастический метод Эйлера Лагранжа (SELM). ^[1] Это подход, позволяющий выявить существенные особенности взаимодействия жидкости со структурой, подверженными термическим флуктуациям , с одновременным введением приближений, которые облегчают анализ и разработку удобных численных методов. SELM — это гибридный подход, использующий эйлерово описание непрерывных гидродинамических полей и лагранжево описание упругих структур. Тепловые флуктуации вводятся через стохастические движущие поля. Также представлены подходы к стохастическим полям СПДЭ для получения численных методов, учитывающих артефакты числовой дискретизации для поддержания статистических принципов, таких как баланс флуктуационно-диссипации и других свойств статистической механики. ^[1]

Обычно используемые уравнения структуры жидкости SELM:

\rho {\frac {d{u}}{d{t}}}=\mu \,\Delta u-\nabla p+\Lambda [\Upsilon (V-\Gamma {u})]+\lambda +f_{\mathrm {thm} }(x,t)

m{\frac {d{V}}{d{t}}}=-\Upsilon (V-\Gamma {u})-\nabla \Phi [X]+\xi +F_{\mathrm {thm} }

{\frac {d{X}}{d{t}}}=V.

Давление p определяется условием несжимаемости жидкости

\nabla \cdot u=0.\,

The $\Gamma ,\Lambda$ операторы связывают эйлерову и лагранжеву степени свободы. $X,V$ обозначают составные векторы полного набора лагранжевых координат структур. $\Phi$ – потенциальная энергия конфигурации структур. $f_{\mathrm {thm} },F_{\mathrm {thm} }$ представляют собой стохастические движущие поля, учитывающие тепловые флуктуации. $\lambda ,\xi$ являются множителями Лагранжа, налагающими ограничения, такие как локальные деформации твердого тела . Чтобы гарантировать, что рассеивание происходит только через $\Upsilon$ связь, а не как следствие взаимного преобразования операторов $\Gamma ,\Lambda$ накладываются следующие сопряженные условия

\Gamma =\Lambda ^{T}.

Тепловые флуктуации вводятся через гауссовы случайные поля с нулевым средним и ковариационной структурой.

\langle f_{\mathrm {thm} }(s)f_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-\left(2k_{B}{T}\right)\left(\mu \Delta -\Lambda \Upsilon \Gamma \right)\delta (t-s).

\langle F_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =2k_{B}{T}\Upsilon \delta (t-s).

\langle f_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-2k_{B}{T}\Lambda \Upsilon \delta (t-s).

Чтобы получить упрощенные описания и эффективные численные методы, рассматривались аппроксимации в различных предельных физических режимах, позволяющие исключить динамику на малых временных масштабах или инерционных степенях свободы. В различных предельных режимах структура SELM может быть связана с методом погруженных границ , ускоренной стоксовой динамикой и произвольным лагранжевым методом Эйлера . Было показано, что подход SELM дает стохастическую динамику структуры жидкости, которая согласуется со статистической механикой. В частности, было показано, что динамика SELM удовлетворяет детальному балансу ансамбля Гиббса – Больцмана . Также были введены различные типы операторов связи, позволяющие описывать структуры, включающие обобщенные координаты и дополнительные поступательные или вращательные степени свободы. Для численной дискретизации СЭЛМ СПДЭ также были представлены общие методы получения числовых стохастических полей для СПДЭ, которые учитывают артефакты дискретизации для соблюдения статистических принципов, таких как баланс флуктуационно-диссипации и других свойств статистической механики. ^[1]

Методы SELM использовались для моделирования вязкоупругие жидкости и мягкие материалы ^[2], включения частиц внутри изогнутых границ раздела жидкостей ^[3]^[4]и другие микроскопические системы и инженерные устройства. ^[5]^[6]^[7].

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Ацбергер, Пол (2011). «Стохастические эйлеровы лагранжевы методы исследования взаимодействия структур жидкости с тепловыми флуктуациями». Журнал вычислительной физики . 230 (8): 2821–2837. arXiv : 1009.5648 . Бибкод : 2011JCoPh.230.2821A . дои : 10.1016/j.jcp.2010.12.028 . S2CID 6067032 .
^ Ацбергер, Пол (2013), «Включение сдвига в стохастические эйлеровы лагранжевы методы для реологических исследований сложных жидкостей и мягких материалов», Physica D , 265 : 57–70, arXiv : 2212.10651 , doi : 10.1016/j.physd.2013.09.002
^ Роуер, Дэвид А.; Падидар, Миша; Ацбергер, Пол Дж. (апрель 2022 г.). «Методы поверхностно-колебательной гидродинамики для динамики дрейфа-диффузии частиц и микроструктур внутри искривленных границ раздела жидкостей». Журнал вычислительной физики . 455 : 110994. arXiv : 1906.01146 . дои : 10.1016/j.jcp.2022.110994 .
^ Ацбергер, Пол (2016). «Гидродинамическая связь включений частиц, встроенных в изогнутые липидные двухслойные мембраны». Мягкая материя, Королевское химическое общество . 12 : 6685–6707. arXiv : 1601.06461 . дои : 10.1039/C6SM00194G .
^ Ацбергер, Пол Дж. (2011). «Стохастические эйлеровы лагранжевы методы исследования взаимодействия структур жидкости с тепловыми флуктуациями». Журнал вычислительной физики . 230 (8): 2821–2837. arXiv : 1009.5648 . Бибкод : 2011JCoPh.230.2821A . дои : 10.1016/j.jcp.2010.12.028 . S2CID 6067032 .
^ Ван, Ю.; Лей, Х.; Ацбергер, П.Дж. (январь 2018 г.). «Флуктуационные гидродинамические методы взаимодействия жидкости со структурой в каналах с ограниченной геометрией». Прикладная математика и механика . 39 (1): 125–152. дои : 10.1007/s10483-018-2253-8 .
^ Ван, Ю.; Сигурдссон, Дж. К.; Ацбергер, П.Дж. (январь 2016 г.). «Методы флуктуационной гидродинамики для динамического крупнозернистого моделирования неявным растворителем в LAMMPS». Журнал SIAM по научным вычислениям . 38 (5): С62–С77. дои : 10.1137/15M1026390 .

Ацбергер, П.Дж.; Крамер, PR; Пескин, CS (2007). «Стохастический метод погруженных границ для динамики жидкой структуры на микроскопических масштабах длины». Журнал вычислительной физики . 224 (2): 1255–92. arXiv : 0910.5748 . Бибкод : 2007JCoPh.224.1255A . дои : 10.1016/j.jcp.2006.11.015 . S2CID 17977915 .
Пескин, К.С. (2002). «Метод погруженной границы» . Акта Нумерика . 11 : 479–517. дои : 10.1017/S0962492902000077 . S2CID 53517954 .

Программное обеспечение: числовые коды и пакеты моделирования.

Mango-Selm: стохастический эйлеров лагранжев и методы погруженных границ, пакет трехмерного моделирования, (интерфейс Python, интеграция LAMMPS MD), П. Ацбергер, UCSB

[Atzberger-1] Jump up to: ^а ^б ^с Ацбергер, Пол (2011). «Стохастические эйлеровы лагранжевы методы исследования взаимодействия структур жидкости с тепловыми флуктуациями». Журнал вычислительной физики . 230 (8): 2821–2837. arXiv : 1009.5648 . Бибкод : 2011JCoPh.230.2821A . дои : 10.1016/j.jcp.2010.12.028 . S2CID 6067032 .

[2] Ацбергер, Пол (2013), «Включение сдвига в стохастические эйлеровы лагранжевы методы для реологических исследований сложных жидкостей и мягких материалов», Physica D , 265 : 57–70, arXiv : 2212.10651 , doi : 10.1016/j.physd.2013.09.002

[3] Роуер, Дэвид А.; Падидар, Миша; Ацбергер, Пол Дж. (апрель 2022 г.). «Методы поверхностно-колебательной гидродинамики для динамики дрейфа-диффузии частиц и микроструктур внутри искривленных границ раздела жидкостей». Журнал вычислительной физики . 455 : 110994. arXiv : 1906.01146 . дои : 10.1016/j.jcp.2022.110994 .

[4] Ацбергер, Пол (2016). «Гидродинамическая связь включений частиц, встроенных в изогнутые липидные двухслойные мембраны». Мягкая материя, Королевское химическое общество . 12 : 6685–6707. arXiv : 1601.06461 . дои : 10.1039/C6SM00194G .

[5] Ацбергер, Пол Дж. (2011). «Стохастические эйлеровы лагранжевы методы исследования взаимодействия структур жидкости с тепловыми флуктуациями». Журнал вычислительной физики . 230 (8): 2821–2837. arXiv : 1009.5648 . Бибкод : 2011JCoPh.230.2821A . дои : 10.1016/j.jcp.2010.12.028 . S2CID 6067032 .

[6] Ван, Ю.; Лей, Х.; Ацбергер, П.Дж. (январь 2018 г.). «Флуктуационные гидродинамические методы взаимодействия жидкости со структурой в каналах с ограниченной геометрией». Прикладная математика и механика . 39 (1): 125–152. дои : 10.1007/s10483-018-2253-8 .

[7] Ван, Ю.; Сигурдссон, Дж. К.; Ацбергер, П.Дж. (январь 2016 г.). «Методы флуктуационной гидродинамики для динамического крупнозернистого моделирования неявным растворителем в LAMMPS». Журнал SIAM по научным вычислениям . 38 (5): С62–С77. дои : 10.1137/15M1026390 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]