Стоксова динамика

Стоксова динамика — это метод решения уравнения Ланжевена , которое является соответствующей формой второго закона Ньютона для броуновской частицы . В этом методе взвешенные частицы рассматриваются дискретно, в то время как приближение континуума остается справедливым для окружающей жидкости, т. е. обычно предполагается, что взвешенные частицы значительно крупнее молекул растворителя. Затем частицы взаимодействуют посредством гидродинамических сил, передаваемых через сплошную жидкость, и когда число Рейнольдса частицы мало, эти силы определяются с помощью линейных уравнений Стокса (отсюда и название метода). Кроме того, этот метод также позволяет учитывать негидродинамические силы, такие как броуновские силы, возникающие в результате колебательного движения жидкости, а также межчастичные или внешние силы. Таким образом, стоксова динамика может быть применена к множеству проблем, включая седиментацию, диффузию и реологию, и она направлена ​​на обеспечение того же уровня понимания многофазных систем частиц, что и молекулярная динамика для статистических свойств материи. Для $N$ твердые частицы радиуса $a$ взвешены в несжимаемой ньютоновской жидкости вязкости $\eta$ и плотность $\rho$движение жидкости описывается уравнениями Навье–Стокса, а движение частиц описывается связанным уравнением движения:

$\mathbf {m} {\frac {d\mathbf {U} }{dt}}=\mathbf {F} ^{\mathrm {H} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {P} }.$

В приведенном выше уравнении $\mathbf {U}$ - скорость поступательного/вращательного движения частицы вектор размерности 6 N . $\mathbf {F} ^{\mathrm {H} }$ – гидродинамическая сила, т. е. сила, действующая жидкостью на частицу вследствие относительного движения между ними. $\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }$ – стохастическая броуновская сила, обусловленная тепловым движением частиц жидкости. $\mathbf {F} ^{\mathrm {P} }$ – это детерминированная негидродинамическая сила, которая может быть практически любой формой межчастичной или внешней силы, например, электростатическим отталкиванием между одинаково заряженными частицами. Броуновская динамика — один из популярных методов решения уравнения Ланжевена , но гидродинамическое взаимодействие в броуновской динамике сильно упрощено и обычно включает только сопротивление изолированного тела. С другой стороны, стоксова динамика включает в себя гидродинамические взаимодействия многих тел. Гидродинамическое взаимодействие очень важно для неравновесных суспензий, таких как сдвиговая суспензия , где оно играет жизненно важную роль в ее микроструктуре и, следовательно, в ее свойствах. Стоксова динамика используется в основном для неравновесных суспензий, где было показано, что она дает результаты, согласующиеся с экспериментами.

Гидродинамическое взаимодействие

Когда движение в масштабе частицы таково, что число Рейнольдса частицы мало, гидродинамическая сила, действующая на частицы в суспензии, подвергающиеся объемному линейному сдвиговому потоку, равна:

$\mathbf {F} ^{\mathrm {H} }=-\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }(\mathbf {U} -\mathbf {U} ^{\infty })+\mathbf {R} ^{\mathrm {FE} }:\mathbf {E} ^{\infty }.$

Здесь, $\mathbf {U} ^{\infty }$ - скорость объемного сдвигового потока, оцененная на частице центр, $\mathbf {E} ^{\infty }$ – симметричная часть тензора градиента скорости; $\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }$ и $\mathbf {R} _{\mathrm {FE} }$ — это матрицы сопротивления, зависящие от конфигурации, которые определяют гидродинамическую силу/крутящий момент, действующую на частицы из-за их движения относительно жидкости ( $\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }$) и из-за наложенного сдвигового потока ( $\mathbf {R} _{\mathrm {FE} }$). Обратите внимание, что нижние индексы у матриц указывают на связь между кинематическими ( $\mathbf {U}$) и динамический ( $\mathbf {F}$) количества.

Одной из ключевых особенностей стоксовской динамики является ее обработка гидродинамических взаимодействий, которая достаточно точна, но не требует вычислительных затрат (как методы граничного интеграла ) для большого числа частиц. Классическая стоксова динамика требует $O(N^{3})$ операции, где N — количество частиц в системе (обычно ящике Менделеева). Последние достижения позволили сократить вычислительные затраты примерно до $O(N^{1.25}\,\log N).$

Броуновская сила

Стохастическая или броуновская сила $\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }$ возникает вследствие тепловых колебаний в жидкости и характеризуется:

$\left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }\right\rangle =0$

$\left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(0)\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(t)\right\rangle =2kT\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }\delta (t)$

Угловые скобки обозначают среднее значение по ансамблю, $k$ – постоянная Больцмана, $T$ абсолютная температура и $\delta (t)$ это дельта-функция. Амплитуда корреляции между броуновскими силами во времени $0$ и во время $t$ следует из теоремы о флуктуации-диссипации для системы N тел.

См. также

• Метод погруженных границ
• Стохастический метод Эйлера Лагранжа