Хиральный узел
В математической области теории узлов киральный узел — это узел , который не эквивалентен своему зеркальному изображению (когда он идентичен, но перевернут). Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному изображению, является амфихейральным узлом , также называемым ахиральным узлом . Киральность . узла является узла инвариантом Киральность узла можно далее классифицировать в зависимости от того, является ли он обратимым .
Существует только пять типов симметрии узлов, обозначаемых киральностью и обратимостью: полностью хиральный, обратимый, положительно амфихейрный необратимый, отрицательно амфихейрный необратимый и полностью амфихейрный обратимый. [1]
Фон
[ редактировать ]О возможной киральности некоторых узлов подозревали с 1847 года, когда Иоганн Листинг утверждал, что трилистник хиральный. [2] и это было доказано Максом Деном в 1914 г. П. Г. Тейт нашел все амфихейральные узлы до 10 пересечений и предположил, что все амфихейральные узлы имеют четное число пересечений . Мэри Гертруда Хейсман обнаружила все 12-перекрещивающиеся и множество 14-перекрещивающихся амфихейральных узлов в конце 1910-х годов. [3] [4] Но контрпример гипотезе Тейта — амфихейральный узел с 15 пересечениями — был найден Джимом Хостом , Морвен Тистлтуэйт и Джеффом Уиксом в 1998 году. [5] Однако гипотеза Тейта оказалась верной для простых , знакопеременных узлов . [6]
| Количество пересечений | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | OEIS Последовательность |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Хиральные узлы | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 49 | 152 | 552 | 2118 | 9988 | 46698 | 253292 | 1387166 | Н/Д |
| Обратимые узлы | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 47 | 125 | 365 | 1015 | 3069 | 8813 | 26712 | 78717 | А051769 |
| Полностью хиральные узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 27 | 187 | 1103 | 6919 | 37885 | 226580 | 1308449 | А051766 |
| Амфихейральные узлы | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 5 | 0 | 13 | 0 | 58 | 0 | 274 | 1 | 1539 | А052401 |
| Положительные амфихейральные необратимые узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 65 | А051767 |
| Отрицательные амфихейральные необратимые узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 40 | 0 | 227 | 1 | 1361 | А051768 |
| Полностью амфихейральные узлы. | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 7 | 0 | 17 | 0 | 41 | 0 | 113 | А052400 |
- Оба возможных узла-трилистника .
Левый узел-трилистник.
Правый узел-трилистник.
Простейшим киральным узлом является узел-трилистник , хиральность которого была показана Максом Деном . Все нетривиальные торические узлы киральны. Полином Александера не может отличить узел от его зеркального отображения, а полином Джонса в некоторых случаях может; если V k ( q ) ≠ V k ( q −1 ), то узел киральный, однако обратное неверно. Полином ХОМФЛИ еще лучше обнаруживает киральность, но не существует известного инварианта полиномиального узла , который мог бы полностью обнаружить киральность. [7]
Обратный узел
[ редактировать ]Киральный узел, который можно плавно деформировать в противоположную сторону, классифицируется как обратимый узел. [8] Примеры включают узел трилистник.
Полностью хиральный узел
[ редактировать ]Если узел не эквивалентен своему обратному или зеркальному изображению, то это полностью киральный узел, например узел 9 32 . [8]
Амфихейральный узел
[ редактировать ]
Амфихейральный узел — это узел, который имеет ориентацию обращающий самогомеоморфизм α 3-сферы , фиксирующий узел по множеству. Все амфихейральные знакопеременные узлы имеют четное число пересечений . Первый амфихейральный узел с нечетным числом пересечений — это узел с 15 пересечениями, открытый Хосте и др. [6]
Полностью амфихейральный
[ редактировать ]Если узел изотопен как своему обратному, так и зеркальному изображению, он полностью амфихейральный. Самый простой узел, обладающий этим свойством, — узел «восьмерка» .
Положительная амфихейра
[ редактировать ]Если самогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, его называют положительным амфихейралом. Это эквивалентно тому, что узел изотопен своему зеркалу. Никакие узлы с числом пересечений меньше двенадцати не являются положительными амфихейральными и необратимыми. [8]
Отрицательный амфихейральный
[ редактировать ]
Если самогомеоморфизм α меняет ориентацию узла на противоположную, его называют отрицательным амфихейралом. Это эквивалентно тому, что узел изотопен обратному своему зеркальному изображению. Необратимый узел с этим свойством, имеющий наименьшее количество пересечений, — это узел 8 17 . [8]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Хосте, Джим; Тистлтуэйт, Морвен; Уикс, Джефф (1998), «Первые 1 701 936 узлов» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 20 (4): 33–48, doi : 10.1007/BF03025227 , MR 1646740 , S2CID 18027155 , заархивировано из оригинала (PDF) на 15 декабря 2013 г.
- ^ Пшитицкий, Юзеф Х. (1998). «Классические корни теории узлов» . Хаос, солитоны и фракталы . 9 (4/5): 531–45. Бибкод : 1998CSF.....9..531P . дои : 10.1016/S0960-0779(97)00107-0 .
- ^ Хасман, Мэри Гертруда (1918). «XI.— О узлах с переписью амфихейралов с двенадцатью перекрещиваниями» . Пер. Р. Сок. Эдинб . 52 (1): 235–55. дои : 10.1017/S0080456800012102 . S2CID 123957148 .
- ^ Хасман, Мэри Гертруда (1920). «XXIII. — Амфихейральные узлы» . Пер. Р. Сок. Эдинб . 52 (3): 597–602. дои : 10.1017/S0080456800004476 . S2CID 124014620 .
- ^ Хосте, Джим; Тистлтуэйт, Морвен; Уикс, Джефф (1998). «Первые 1 701 936 узлов» . Математика. Интелл . 20 (4): 33–48. дои : 10.1007/BF03025227 . S2CID 18027155 .
- ^ Jump up to: а б Вайсштейн, Эрик В. «Амфихиральный узел» . Математический мир . Доступ: 5 мая 2013 г.
- ^ Рамадеви, П.; Говиндараджан, ТР; Каул, РК (1994). «Хиральность узлов 9 42 и 10 71 и теория Черна-Саймонса» . Mod. Phys. Lett. A. 9 ( 34): 3205–18. arXiv : hep-th/9401095 . Bibcode : 1994MPLA....9.3205 Р. / дои : 10.1142 . S2CID 119143024 S0217732394003026
- ^ Jump up to: а б с д « Трехмерные инварианты », Атлас узлов .
