Узел восьмерка (математика)

Эта статья о математической концепции. Чтобы узнать об узле, см. Узел «восьмерка» . Информацию о других целях см. на рис. 8 .

Узел восьмерка
Общее имя	Узел восьмерка
Инвариант Арфа	1
Длина косы	4
Оплетка нет.	3
Номер моста.	2
Номер крестика.	2
Пересечение нет.	4
Род	1
Гиперболический объем	2.02988
Палка нет.	7
Развязывание нет.	1
Обозначение Конвея	[22]
Обозначение A – B	4 1
Обозначение Даукера	4, 6, 8, 2
Последний/   следующий	3 1 /  5 1
Другой
чередующийся , гиперболический , расслоенный , простой , полностью амфихиральный , твист

Практичный узел восьмерка с соединенными концами.

В теории узлов узел восьмерка (также называемый узлом Листинга) ) — единственный узел с числом пересечений четыре. Это делает его узлом с третьим наименьшим возможным числом пересечений после развязывания и узла. узел трилистник . Узел «восьмерка» — простой узел .

Происхождение имени

Название дано потому, что завязывание на веревке обычного узла в форме восьмерки и последующее соединение концов наиболее естественным образом дает модель математического узла.

Описание

Простое параметрическое представление узла восьмерки представляет собой набор всех точек ( x , y , z ), где

${\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}$

для t , изменяющегося в пределах действительных чисел (см. 2D-визуальную реализацию внизу справа).

Узел «восьмерка» — простой , знакопеременный , рациональный с ассоциированным значением.5/3, и является ахиральным . Узел «восьмерка» также является волокнистым узлом . Это следует из других, менее простых (но очень интересных) представлений узла:

(1) Это однородная замкнутая коса (а именно замыкание 3-струнной косы σ ₁ σ ₂ ⁻¹ п ₁ п ₂ ⁻¹ ), а теорема Джона Столлингса показывает, что любая замкнутая однородная коса расслоена.

(2) Это связь в (0,0,0,0) изолированной критической точки вещественно-полиномиального отображения F : R ⁴ → R ² , поэтому (согласно теореме Джона Милнора ) отображение Милнора F на самом деле является расслоением. Бернар Перрон нашел первое такое F для этого узла, а именно:

$F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),\,\!$

где

${\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}$

Математические свойства

Узел «восьмерка» исторически играл (и продолжает играть) важную роль в теории трехмерных многообразий . Где-то в середине-конце 1970-х годов Уильям Терстон показал, что восьмерка является гиперболической , разложив ее дополнение на два идеальных гиперболических тетраэдра . (Роберт Райли и Троэльс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, ранее показали, что узел восьмерка был гиперболическим, другими способами.) Эта конструкция, новая для того времени, привела его ко многим мощным результатам и методам. Например, он смог показать, что все операции Дена на узле восьмерки, за исключением десяти, приводили к образованию нехакеновских , незейфертовских нерасслоенных неприводимых трехмерных многообразий; это были первые подобные примеры. Многие другие были открыты путем обобщения конструкции Терстона на другие узлы и связи.

Узел-восьмерка также является гиперболическим узлом, дополнение которого имеет минимально возможный объем . $6\Lambda (\pi /3)\approx 2.02988...$ (последовательность A091518 в OEIS ), где $\Lambda$ – функция Лобачевского . С этой точки зрения узел восьмерка можно считать простейшим гиперболическим узлом. Дополнение к узлу восьмерки является двойным накрытием многообразия Гизекинга , которое имеет наименьший объем среди некомпактных гиперболических 3-многообразий.

Узел-восьмерка и (-2,3,7)-крендель - единственные два гиперболических узла, которые, как известно, имеют более 6 исключительных операций , операций Дена, приводящих к негиперболическому трехмерному многообразию; у них 10 и 7 соответственно. Теорема Лакенби и Мейерхоффа, доказательство которой опирается на гипотезу геометризации и помощь компьютера , утверждает, что 10 — это максимально возможное количество исключительных операций любого гиперболического узла. Однако в настоящее время неизвестно, является ли узел восьмерка единственным, который достигает границы 10. Хорошо известная гипотеза состоит в том, что граница (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6.

Простое изображение восьмерки в квадрате.

Симметричное изображение, созданное параметрическими уравнениями.

Математическая поверхность, иллюстрирующая узел восьмерка

Узел «восьмерка» имеет род 1 и является расслоенным. Следовательно, его дополнительные слои над кругом представляют собой поверхности Зейферта , которые представляют собой двумерные торы с одной граничной компонентой. Тогда отображение монодромии является гомеоморфизмом 2-тора, который в этом случае может быть представлен матрицей $({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}})$.

Инварианты

Полином Александера узла восьмерки равен

$\Delta (t)=-t+3-t^{-1},\$

полином Конвея ​

$\nabla (z)=1-z^{2},\$

и Джонса полином

$V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.\$

Симметрия между $q$ и $q^{-1}$ в полиноме Джонса отражает тот факт, что узел восьмерка является ахиральным.

Duration: 20 seconds.0:20

Узел восьмерка

Дальнейшее чтение

• Ян Эйгол , Границы исключительного заполнения Дена , Геометрия и топология 4 (2000), 431–449. МИСТЕР 1799796
• Чун Цао и Роберт Мейерхофф, Ориентируемые гиперболические трехмерные многообразия с точками минимального объема , Inventiones Mathematicae, 146 (2001), вып. 3, 451–478. МИСТЕР 1869847
• Марк Лакенби , Гиперболическая хирургия Дена , Inventiones Mathematicae 140 (2000), вып. 2, 243–282. МИСТЕР 1756996
• Марк Лакенби и Роберт Мейерхофф, Максимальное количество исключительных операций Дена , arXiv:0808.1176
• Робион Кирби , Проблемы низкоразмерной топологии (см. проблему 1.77, принадлежащую Кэмерону Гордону , об исключительных наклонах)
• Уильям Терстон, Геометрия и топология трехмерных многообразий , конспекты лекций Принстонского университета (1978–1981).

Внешние ссылки

• « 4_1 », Узелковый Атлас . Доступ: 7 мая 2013 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Узел восьмерка» . Математический мир .