Плоская кривая

В математике плоская кривая — это кривая на плоскости , которая может быть евклидовой , аффинной или проективной плоскостью . Наиболее часто изучаемыми случаями являются гладкие плоские кривые (в том числе кусочно- гладкие плоские кривые) и алгебраические плоские кривые .Плоские кривые также включают кривые Жордана (кривые, которые ограничивают область плоскости, но не обязательно должны быть гладкими) и графики непрерывных функций .

Символическое представление

Плоская кривая часто может быть представлена в декартовых координатах неявным уравнением вида $f(x,y)=0$ для некоторой конкретной функции f . Если это уравнение можно решить явно относительно y или x , то есть переписать в виде $y=g(x)$ или $x=h(y)$ для конкретной функции g или h – тогда это обеспечивает альтернативную, явную форму представления. Плоскую кривую также часто можно представить в декартовых координатах параметрическим уравнением вида $(x,y)=(x(t),y(t))$ для конкретных функций $x(t)$ и $y(t).$

Плоские кривые иногда также могут быть представлены в альтернативных системах координат , таких как полярные координаты , которые выражают местоположение каждой точки через угол и расстояние от начала координат.

Гладкая плоская кривая

Гладкая плоская кривая — это кривая на действительной евклидовой плоскости ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ и является одномерным гладким многообразием . Это означает, что гладкая плоская кривая — это плоская кривая, которая «локально выглядит как линия » в том смысле, что вблизи каждой точки она может быть отображена в линию с помощью гладкой функции .Эквивалентно, гладкая плоская кривая может быть локально задана уравнением $f(x,y)=0,$ где ⁠ $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ⁠ — гладкая функция , а частные производные ⁠ $\partial f/\partial x$ ⁠ и ⁠ $\partial f/\partial y$ ⁠ никогда не равны 0 в точке кривой.

Алгебраическая плоская кривая

Алгебраическая плоская кривая — это кривая на аффинной или проективной плоскости, заданная одним полиномиальным уравнением. $f(x,y)=0$ (или $F(x,y,z)=0,$ где $F$ — однородный многочлен в проективном случае.)

Алгебраические кривые широко изучаются с 18 века.

Всякая алгебраическая плоская кривая имеет степень — степень определяющего уравнения, которая в случае алгебраически замкнутого поля равна числу пересечений кривой с прямой общего положения . Например, круг, заданный уравнением $x^{2}+y^{2}=1$ имеет степень 2.

Неособые . алгебраические кривые степени 2 называются коническими сечениями , и все их проективные пополнения изоморфны плоские проективному пополнению окружности $x^{2}+y^{2}=1$ (это проективная кривая уравнения $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ ). Плоские кривые степени 3 называются кубическими плоскими кривыми , а если они неособые, то эллиптическими кривыми . Кривые степени 4 называются плоскими кривыми четвертой степени .

Примеры

Многочисленные примеры плоских кривых показаны в Галерее кривых и перечислены в Списке кривых . Здесь показаны алгебраические кривые степени 1 или 2 (алгебраическая кривая степени меньше 3 всегда содержится в плоскости):

Имя	Неявное уравнение	Параметрическое уравнение	Как функция
Прямая линия	$ax+by=c$	$(x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)$	$y=mx+c$
Круг	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$(x,y)=(r\cos t,r\sin t)$
Парабола	$y-x^{2}=0$	$(x,y)=(t,t^{2})$	$y=x^{2}$
Эллипс	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$
Гипербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)$

См. также

Ссылки

Кулидж, Дж. Л. (28 апреля 2004 г.), Трактат об алгебраических плоских кривых , Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0 .
Йейтс, Р.К. (1952), Справочник по кривым и их свойствам , Дж. Эдвардс, ASIN B0007EKXV0 .
Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых , Дувр, ISBN 0-486-60288-5 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Плоская кривая» . Математический мир .