Усеченные 24 ячейки

24-ячеечный	Усеченный 24-клеточный	Усеченный 24-ячеечный
Диаграммы Шлегеля с центром в одной [3,4] (ячейки напротив [4,3])

В геометрии усеченный 24-клеточный — это однородный 4-мерный многогранник (4-мерный однородный многогранник ), образованный как усечение обычного 24-клеточного .

Существует две степени усечения, включая побитовое усечение .

Усеченный 24-клеточный

Диаграмма Шлегеля
Усеченный 24-клеточный
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символы Шлефли	т{3,4,3} тр{3,3,4}= $t\left\{{\begin{array}{l}3\\3,4\end{array}}\right\}$ т{3 ^1,1,1} = $t\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}$
Диаграмма Кокстера
Клетки	48	24 4.6.6 24 4.4.4
Лица	240	144 {4} 96 {6}
Края	384
Вершины	192
Вершинная фигура	равносторонняя треугольная пирамида
Группа симметрии	Ф ₄ [3,4,3], порядок 1152
Подгруппа вращения	[3,4,3] ⁺, заказать 576
Подгруппа коммутатора	[3 ⁺,4,3 ⁺], заказ 288
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	23 24 25

Усеченный 24-клеточный или усеченный икоситетрахорон — это однородный 4-мерный многогранник (или однородный 4-многогранник ), который ограничен 48 ячейками : 24 кубами и 24 усеченными октаэдрами . Каждая вершина соединяет три усеченных октаэдра и один куб в равностороннюю треугольную вершинную фигуру пирамиды .

Строительство

Усеченную 24-клетку можно построить из многогранников с тремя группами симметрии:

F ₄ [3,4,3]: усечение ячеечного 24- .
B ₄ [3,3,4]: Кантитукция с 16-клеточной клетки двумя семействами усеченных октаэдрических ячеек.
Д ₄ [3 ^1,1,1]: Омниусечение демитессеракта с тремя семействами усеченных октаэдрических ячеек.

Группа Коксетера	${F}_{4}$ = [3,4,3]	${C}_{4}$ = [4,3,3]	${D}_{4}$ = [3,3 ^1,1]
Символ Шлефли	т{3,4,3}	тр{3,3,4}	т{3 ^1,1,1}
Заказ	1152	384	192
Полный симметрия группа	[3,4,3]	[4,3,3]	<[3,3 ^1,1]> = [4,3,3] [3[3 ^1,1,1]] = [3,4,3]
Диаграмма Кокстера
Фасеты	3: 1:	2: 1: 1:	1,1,1: 1:
Вершинная фигура

Зонотоп

Это также зонотоп : он может быть сформирован как сумма Минковского шести отрезков, соединяющих противоположные пары среди двенадцати перестановок вектора (+1,-1,0,0).

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин усеченной 24-ячейки с длиной ребра sqrt(2) представляют собой перестановки координат и комбинации знаков:

(0,1,2,3) [4!×2 ³ = 192 вершины]

Двойная конфигурация имеет координаты при всех перестановках координат и знаки

(1,1,1,5) [4×2 ⁴ = 64 вершины]

(1,3,3,3) [4×2 ⁴ = 64 вершины]

(2,2,2,4) [4×2 ⁴ = 64 вершины]

Структура

24 кубические ячейки соединены своими квадратными гранями с усеченными октаэдрами; и 24 усеченных октаэдра соединены друг с другом своими шестиугольными гранями.

Прогнозы

Параллельная проекция усеченных 24 ячеек в трехмерное пространство, сначала усеченный октаэдр, имеет следующую схему:

Оболочка проекции представляет собой усеченный кубооктаэдр .
Два усеченных октаэдра выступают на усеченный октаэдр, лежащий в центре оболочки.
Шесть кубических объемов соединяют квадратные грани этого центрального усеченного октаэдра с центром восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра. Это изображения 12 кубических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.
12 квадратных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями остальных 12 кубов.
Шесть восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями шести усеченных октаэдров.
8 (неоднородных) усеченных октаэдрических объемов, лежащих между шестиугольными гранями проекционной оболочки и центральным усеченным октаэдром, являются образами остальных 16 усеченных октаэдров, по паре ячеек на каждое изображение.

Изображения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	F_F4
График
Двугранная симметрия	[12]
Самолет Коксетера	Б3 ₎ /А2 ₍ а	Б ₃ / А ₂ (б)
График
Двугранная симметрия	[6]	[6]
Самолет Коксетера	Б ₄	Б2 / _А3
График
Двугранная симметрия	[8]	[4]

Диаграмма Шлегеля ( видны кубические ячейки)	Диаграмма Шлегеля Видны 8 из 24 усеченных октаэдрических ячеек.
Стереографическая проекция В центре усеченного тетраэдра

Сети
Усеченный 24-клеточный	От двух до усеченных 24 ячеек

Связанные многогранники

Выпуклая оболочка усеченной 24-клетки и ее двойника (в предположении, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 480 ячеек: 48 кубов , 144 квадратных антипризм , 288 тетраэдров (в виде тетрагональных дисфеноидов) и 384 вершин. Его вершинная фигура представляет собой шестигранный треугольный купол .

Вершинная фигура

Усеченный 24-ячеечный

Усеченный 24-ячеечный
Диаграмма Шлегеля с центром в усеченном кубе со скрытыми чередующимися ячейками.
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	2т{3,4,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	48 ( 3.8.8 )
Лица	336	192 {3} 144 {8}
Края	576
Вершины	288
Краевая фигура	3.8.8
Вершинная фигура	тетрагональный дисфеноид
двойной многогранник	Дисфеноидальный 288-клеточный
Группа симметрии	Аут (F ₄ ), [[3,4,3]], заказ 2304
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , изохорный
Единый индекс	26 27 28

Усеченный 24-ячеечный . 48-клеточный , или тетраконтоктахорон — это 4-мерный однородный многогранник (или однородный 4-многогранник ), полученный из 24-клеточного .

Э. Л. Эльте идентифицировал его в 1912 г. как полуправильный многогранник.

Он создается путем усечения 24 ячеек (усечения на полпути к глубине, которая дает двойную 24 ячейки).

Будучи однородным 4-многогранником, он вершинно-транзитивен . Кроме того, он является клеточно-транзитивным , состоящим из 48 усеченных кубов , а также реберно-транзитивным , с 3 ячейками усеченных кубов на ребро и с одним треугольником и двумя восьмиугольниками вокруг каждого ребра.

48 ячеек усеченной 24-ячейки соответствуют 24 ячейкам и 24 вершинам 24-ячейки. Таким образом, центры 48 клеток образуют корневую систему типа F ₄ .

Его вершинная фигура представляет собой тетрагональный дисфеноид , тетраэдр с двумя противоположными ребрами длиной 1 и всеми четырьмя боковыми ребрами длиной √(2+√2).

Альтернативные названия

Усеченная 24 ячейки ( Норман В. Джонсон )
48-ячеечный как клеточно-транзитивный 4-многогранник
Двуусеченный икоситетрахорон
Двуусеченный полиоктаэдр
Тетраконтаоктахорон (продолжение) (Джонатан Бауэрс)

Структура

Усеченные кубы соединены друг с другом восьмиугольными гранями в противоположной ориентации; я. т. е. два смежных усеченных куба повернуты на 45 градусов относительно друг друга так, что никакие две треугольные грани не имеют общего ребра.

Последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом противоположными восьмиугольными гранями, образует цикл из 8. Каждый усеченный куб принадлежит 3 таким циклам. С другой стороны, последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом противоположными треугольными гранями, образует цикл из 6. Каждый усеченный куб принадлежит 4 таким циклам.

В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгрупповый порядок путем удаления одного зеркала за раз. Ребра существуют в 4 положениях симметрии. У квадрата 3 позиции, у шестиугольника 2 позиции, у восьмиугольника одна. Наконец, существуют 4 типа ячеек, сосредоточенных в 4 углах фундаментального симплекса. ^[1]

F_F4	к -лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁		f_f2			f ₃		к -фигура	Примечания
А ₁ А ₁	( )	ж ₀	288	2	2	1	4	1	2	2	с{2,4}	Ф ₄ /А ₁ А ₁ = 288
	{ }	ж ₁	2	288	*	1	2	0	2	1	{ }v( )
	{ }	ж ₁	2	*	288	0	2	1	1	2	{ }v( )
А ₂ А ₁	{3}	f_f2	3	3	0	96	*	*	2	0	{ }	Ф ₄ /А ₂ А ₁ = 1152/6/2 = 96
B_Б2	т{4}		8	4	4	*	144	*	1	1		Ф ₄ /Б ₂ = 1152/8 = 144
А ₂ А ₁	{3}		3	0	3	*	*	96	0	2		Ф ₄ /А ₂ А ₁ = 1152/6/2 = 96
B_Б3	т{4,3}	f ₃	24	24	12	8	6	0	24	*	( )	Ф ₄ /Б ₃ = 1152/48 = 24
B_Б3	т{4,3}	f ₃	24	12	24	0	6	8	*	24	( )	Ф ₄ /Б ₃ = 1152/48 = 24

Координаты

Все декартовы координаты усеченной 24-ячейки с длиной ребра 2 представляют собой перестановки координат и знака:

(0, 2+√2, 2+√2, 2+2√2)

(1, 1+√2, 1+√2, 3+2√2)

Прогнозы

Проекция в 2 измерения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	F_F4	Б ₄
График
Двугранная симметрия	[[12]] = [24]	[8]
Самолет Коксетера	Б3 / _А2	Б2 / _А3
График
Двугранная симметрия	[6]	[[4]] = [8]

Проекция в 3 измерения

орфографический	Перспектива
Следующая анимация показывает ортогональную проекцию усеченных 24 ячеек в 3 измерения. Сама анимация представляет собой перспективную проекцию статического трехмерного изображения в двухмерное с добавлением вращения, чтобы сделать ее структуру более наглядной. Изображения 48 усеченных кубиков расположены следующим образом: Центральный усеченный куб — это ячейка, ближайшая к точке обзора 4D, выделенная, чтобы ее было легче увидеть. Чтобы уменьшить визуальный беспорядок, вершины и ребра, лежащие на этом центральном усеченном кубе, опущены. Этот центральный усеченный куб окружают 6 усеченных кубов, прикрепленных восьмиугольными гранями, и 8 усеченных кубов, прикрепленных треугольными гранями. Эти ячейки сделаны прозрачными, чтобы была видна центральная ячейка. 6 внешних квадратных граней проекционной оболочки — это изображения еще 6 усеченных кубов, а 12 продолговатых восьмиугольных граней проекционной оболочки — изображения еще 12 усеченных кубов. Остальные ячейки были исключены, поскольку они лежат на дальней стороне усеченных 24 ячеек и скрыты с точки зрения 4D. К ним относятся антиподальный усеченный куб, который проецировался бы в тот же объем, что и выделенный усеченный куб, с шестью другими усеченными кубами, окружающими его и прикрепленными восьмиугольными гранями, и восемью другими окружающими его усеченными кубами, прикрепленными через треугольные грани.	Следующая анимация показывает перспективную проекцию усеченных 24 ячеек в трех измерениях. Ее структура такая же, как и у предыдущей анимации, за исключением некоторого ракурса из -за перспективной проекции.

Стереографическая проекция

Связанный правильный косой многогранник

Правильный косой многогранник {8,4|3} существует в 4-мерном пространстве с 4 восьмиугольниками вокруг каждой вершины в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти восьмиугольные грани можно увидеть на 24-ячейке с усеченными битами, в которой используются все 576 ребер и 288 вершин. 192 треугольные грани усеченной 24-ячейки можно рассматривать как удаленные. Двойственный правильный косой многогранник {4,8|3} аналогичным образом связан с квадратными гранями 24-клеточного сусечатого многогранника .

Дисфеноидальный 288-клеточный

Дисфеноидальный 288-клеточный
Тип	идеальный ^[2] полихорон
Символ	ф _1,2 Ф ₄^[2] (1,0,0,0) _{Ф ₄} ⊕ (0,0,0,1) _{Ф ₄}^[3]
Коксетер
Клетки	288 конгруэнтных тетрагональных дисфеноидов.
Лица	576 конгруэнтных равнобедренных (2 коротких края)
Края	336	192 длины $\scriptstyle 1$ 144 длины $\scriptstyle {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$
Вершины	48
Вершинная фигура	( Октаэдр Триакиса )
Двойной	Усеченный 24-ячеечный
Группа Коксетера	Аут (F ₄ ), [[3,4,3]], заказ 2304
Вектор орбиты	(1, 2, 1, 1)
Характеристики	выпуклый , изохорный

Дисфеноидальная 288-ячеечная является двойником усеченной 24-клеточной . Это 4-мерный многогранник (или полихорон ), полученный из 24-клеточного . Он создается путем удвоения и вращения 24-ячеечной ячейки, а затем построения выпуклой оболочки .

Будучи двойником однородного полихорона, он клеточно-транзитивен и состоит из 288 конгруэнтных тетрагональных дисфеноидов . Кроме того, он вершинно-транзитивен относительно группы Aut(F ₄ ). ^[3]

Изображения

Ортогональные проекции
Самолеты Кокстера	B_Б2	B_Б3	F_F4
дисфеноидальный 288-ячеечный
Битусеченный 24-ячеечный

Геометрия

Вершины 288-ячейки представляют собой в точности 24 единичных кватерниона Гурвица с квадратом нормы 1, объединенные с 24 вершинами двойственной 24-клетки с квадратом нормы 2, спроецированными на единичную 3-сферу . Эти 48 вершин соответствуют бинарной октаэдрической группе 2O или <2,3,4>, порядка 48.

Таким образом, 288-ячейка - единственный неправильный 4-многогранник, который представляет собой выпуклую оболочку кватернионной группы, игнорируя бесконечное количество дициклических (так же, как бинарные диэдральные) группы; обычные - 24-ячеечные (≘ 2T или <2,3,3>, порядок 24) и 600-ячеечные (≘ 2I или <2,3,5>, порядок 120). ( 16-ячейка соответствует группе двоичных диэдра 2D ₂ или <2,2,2>, порядок 16.)

Вписанная 3-сфера имеет радиус 1/2+ √ 2/4 ≈ 0,853553 и касается 288-ячейки в центрах 288-тетраэдров, которые являются вершинами двойственно усеченной 24-ячейки.

Вершины можно раскрасить в два цвета , скажем, в красный и желтый, причем 24 единицы Гурвица — в красный, а 24 двойные — в желтый, причем желтая 24-ячейка конгруэнтна красной. Таким образом, произведение двух кватернионов одинакового цвета имеет красный цвет, а произведение двух кватернионов смешанных цветов — желтый.

Область	Слой	Широта	красный		желтый
Северное полушарие	3	1	1	$1$	0
	2	√ 2 /2	0		6	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{\;\;\;1\pm \mathrm {i} ,\;\;\;1\pm \mathrm {j} ,\;\;\;1\pm \mathrm {k} \}$
	1	1/2	8	${\tfrac {1}{2}}\{1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}$	0
Экватор	0	0	6	$\{\pm \mathrm {i} ,\pm \mathrm {j} ,\pm \mathrm {k} \}$	12	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{\,\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} ,\,\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {k} ,\,\pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}$
Южное полушарие	–1	–1/2	8	$-{\tfrac {1}{2}}\{1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}$	0
	–2	– √ 2 /2	0		6	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{-1\pm \mathrm {i} ,-1\pm \mathrm {j} ,-1\pm \mathrm {k} \}$
	–3	–1	1	$-1$	0
Общий			24		24

/2,x,y,z) появятся 6 желтых вершин Разместив фиксированную красную вершину на северном полюсе (1,0,0,0), в следующей, более глубокой «широте» в точке ( √ 2 , за которыми следуют 8 красных вершин. на широте (1/2,x,y,z). Полные координаты заданы как линейные комбинации кватернионных единиц. $1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ , которые одновременно можно принять за элементы группы 2O . Следующая, более глубокая широта — это гиперплоскость экватора, пересекающая 3-сферу в 2-сфере, населенной 6 красными и 12 желтыми вершинами.

Слой 2 представляет собой 2-сферу, описывающую правильный октаэдр, ребра которого имеют длину 1. У тетраэдра с вершиной северного полюса одно из этих ребер является длинным ребром, 2 вершины которого соединены короткими ребрами с северным полюсом. Еще одно длинное ребро идет от северного полюса в слой 1 , а короткое ребро 2 оттуда - в слой 2 .

Имеется 192 длинных ребра длиной 1, соединяющих одинаковые цвета, и 144 коротких ребра длиной √ 2– √ 2 ≈ 0,765367, соединяющих смешанные цвета. 192*2/48 = 8 длинных и 144*2/48 = 6 коротких, то есть вместе в любой вершине сходятся 14 ребер.

576 граней равнобедренные, с 1 длинным и 2 короткими краями, все конгруэнтны. Углы при основании arccos( √ 4+ √ 8/4 ) ≈ 49,210°. 576*3/48 = 36 граней сходятся в вершине, 576*1/192 = 3 на длинном ребре и 576*2/144 = 8 на коротком.

288 ячеек представляют собой тетраэдры с 4 короткими рёбрами и 2 антиподальными и перпендикулярными длинными рёбрами, одно из которых соединяет 2 красные, а другое 2 жёлтые вершины. Все клетки конгруэнтны. 288*4/48 = 24 ячейки встречаются в вершине. 288*2/192 = 3 клетки сходятся по длинному краю, 288*4/144 = 8 по короткому. 288*4/576 = 2 клетки встречаются в треугольнике.

Связанные многогранники

Д ₄ равномерная полихора


{3,3^1,1} h{4,3,3}	2r{3,3^1,1} h₃{4,3,3}	t{3,3^1,1} h₂{4,3,3}	2t{3,3^1,1} h_2,3{4,3,3}	r{3,3^1,1} {3^1,1,1}={3,4,3}	rr{3,3^1,1} r{3^1,1,1}=r{3,4,3}	tr{3,3^1,1} t{3^1,1,1}=t{3,4,3}	sr{3,3^1,1} s{3^1,1,1}=s{3,4,3}

B _{4 :}Семейство однородных многогранников

Многогранники симметрии B4
Name	tesseract	rectified tesseract	truncated tesseract	cantellated tesseract	runcinated tesseract	bitruncated tesseract	cantitruncated tesseract	runcitruncated tesseract	omnitruncated tesseract
Coxeter diagram		=				=
Schläfli symbol	{4,3,3}	t₁{4,3,3} r{4,3,3}	t_0,1{4,3,3} t{4,3,3}	t_0,2{4,3,3} rr{4,3,3}	t_0,3{4,3,3}	t_1,2{4,3,3} 2t{4,3,3}	t_0,1,2{4,3,3} tr{4,3,3}	t_0,1,3{4,3,3}	t_0,1,2,3{4,3,3}
Schlegel diagram
B₄

Name	16-cell	rectified 16-cell	truncated 16-cell	cantellated 16-cell	runcinated 16-cell	bitruncated 16-cell	cantitruncated 16-cell	runcitruncated 16-cell	omnitruncated 16-cell
Coxeter diagram	=	=	=	=		=	=
Schläfli symbol	{3,3,4}	t₁{3,3,4} r{3,3,4}	t_0,1{3,3,4} t{3,3,4}	t_0,2{3,3,4} rr{3,3,4}	t_0,3{3,3,4}	t_1,2{3,3,4} 2t{3,3,4}	t_0,1,2{3,3,4} tr{3,3,4}	t_0,1,3{3,3,4}	t_0,1,2,3{3,3,4}
Schlegel diagram
B₄

F _{4 :}Семейство однородных многогранников

24-клеточные семейные многогранники
Name	24-cell	truncated 24-cell	snub 24-cell	rectified 24-cell	cantellated 24-cell	bitruncated 24-cell	cantitruncated 24-cell	runcinated 24-cell	runcitruncated 24-cell	omnitruncated 24-cell
Schläfli symbol	{3,4,3}	t_0,1{3,4,3} t{3,4,3}	s{3,4,3}	t₁{3,4,3} r{3,4,3}	t_0,2{3,4,3} rr{3,4,3}	t_1,2{3,4,3} 2t{3,4,3}	t_0,1,2{3,4,3} tr{3,4,3}	t_0,3{3,4,3}	t_0,1,3{3,4,3}	t_0,1,2,3{3,4,3}
Coxeter diagram
Schlegel diagram
F₄
B₄
B₃(a)
B₃(b)
B₂

Ссылки

^ Клитцинг, Ричард. «o3x4x3o — продолжение» .
^ Jump up to: ^а ^б О совершенных 4-многогранниках. Габор Жеве. Вклад в алгебру и геометрию. Том 43 (2002), № 1, 243–259.] Таблица 2, стр. 252
^ Jump up to: ^а ^б Кватернионное построение многогранников W(F4) с их двойственными многогранниками и ветвлением по подгруппам W(B4) и W(B3) × W(A1) Мехмет Коджа 1, Мудхахир Аль-Аджми 2 и Назифе Оздес Коджа 3 Факультет физики, Колледж науки, Университет Султана Кабуса, а/я 36, Аль-Худ 123, Маскат, Султанат Оман, стр. 18. 5.7 Двойственный многогранник многограннику (0, 1, 1, 0)F ₄ = W(F ₄ )(ω ₂ +ω ₃ )

ХСМ Коксетер :
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора)» . x3x4o3o=x3x3x4o - тико, o3x4x3o - продолжение
3. Выпуклая равномерная полихора на основе икоситетрахора (24-клеточного) — Модель 24, 27 , Георгий Ольшевский.

[1] Клитцинг, Ричард. «o3x4x3o — продолжение» .

[Gevay-2] Jump up to: ^а ^б О совершенных 4-многогранниках. Габор Жеве. Вклад в алгебру и геометрию. Том 43 (2002), № 1, 243–259.] Таблица 2, стр. 252

[Koca-3] Jump up to: ^а ^б Кватернионное построение многогранников W(F4) с их двойственными многогранниками и ветвлением по подгруппам W(B4) и W(B3) × W(A1) Мехмет Коджа 1, Мудхахир Аль-Аджми 2 и Назифе Оздес Коджа 3 Факультет физики, Колледж науки, Университет Султана Кабуса, а/я 36, Аль-Худ 123, Маскат, Султанат Оман, стр. 18. 5.7 Двойственный многогранник многограннику (0, 1, 1, 0)F ₄ = W(F ₄ )(ω ₂ +ω ₃ )

[1]

[2]

[3]