Усеченный тессеракт

Тессеракт	Усеченный тессеракт	Исправленный тессеракт	Усеченный тессеракт
Диаграммы Шлегеля с центром в [4,3] (ячейки видны в [3,3])
16-ячеечный	Усеченный 16-клеточный	Ректифицированный 16-клеточный ( 24-ячеечный )	Усеченный тессеракт
Диаграммы Шлегеля с центром в [3,3] (ячейки видны в [4,3])

В геометрии — усеченный тессеракт это однородный 4-многогранник, образованный как усечение правильного тессеракта .

Существует три усечения, включая побитовое усечение и триусечение, которое создает усеченные 16 ячеек .

Усеченный тессеракт

Усеченный тессеракт
Диаграмма Шлегеля ( тетраэдра видны ячейки )
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т{4,3,3}
Диаграммы Кокстера
Клетки	24	8 3.8.8 16 3.3.3
Лица	88	64 {3} 24 {8}
Края	128
Вершины	64
Вершинная фигура	( )v{3}
Двойной	Тетракис 16-клеточный
Группа симметрии	B 4 , [4,3,3], порядок 384
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	12 13 14

Усеченный тессеракт ограничен 24 ячейками : 8 усеченными кубами и 16 тетраэдрами .

Альтернативные названия

• Усеченный тессеракт ( Норман В. Джонсон )
• Усеченный тессеракт (аббревиатура тат) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс)

Строительство

Усеченный тессеракт может быть построен путем усечения вершин тессеракта в точках $1/({\sqrt {2}}+2)$ длины ребра. В каждой усеченной вершине образуется правильный тетраэдр.

Декартовы координаты вершин усеченного тессеракта с длиной ребра 2 задаются всеми перестановками:

$\left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)$

Прогнозы

Стереоскопическая 3D - проекция усеченного тессеракта.

В усеченном кубе первой параллельной проекции усеченного тессеракта в трехмерное пространство изображение располагается следующим образом:

• Оболочкой проекции является куб .
• Две ячейки усеченного куба проецируются на усеченный куб, вписанный в кубическую оболочку.
• Остальные 6 усеченных кубов выступают на квадратные грани конверта.
• 8 тетраэдрических объемов между оболочкой и треугольными гранями центрального усеченного куба — это образы 16 тетраэдров, по паре ячеек на каждое изображение.

Изображения

орфографические проекции

Самолет Коксетера	Б 4	Б 3 / Д 4 / А 2	Б2 / Д3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Коксетера	FF4	AА3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Многогранная сеть

Усеченный тессеракт проецируется на 3-сферу со стереографической проекцией в 3-мерное пространство.

Связанные многогранники

Усеченный — тессеракт третий в последовательности усеченных гиперкубов :

Усеченные гиперкубы

Изображение								...
Имя	Октагон	Усеченный куб	Усеченный тессеракт	Усеченный 5-куб	Усеченный 6-куб	Усеченный 7-куб	Усеченный 8-куб
Диаграмма Кокстера
Вершинная фигура	( )v( )	( )v{ }	( )v{3}	( )v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

Усеченный тессеракт

Усеченный тессеракт
Две диаграммы Шлегеля , сосредоточенные на усеченных тетраэдрических или усеченных октаэдрических ячейках со скрытыми альтернативными типами ячеек.
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	2т{4,3,3} 2т{3,3 1,1 } ч 2,3 {4,3,3}
Диаграммы Кокстера	=
Клетки	24	8 4.6.6 16 3.6.6
Лица	120	32 {3} 24 {4} 64 {6}
Края	192
Вершины	96
Вершинная фигура	Дигональный дисфеноид
Группа симметрии	B 4 , [3,3,4], порядок 384 Д 4 , [3 1,1,1 ], заказ 192
Характеристики	выпуклый , вершинно-транзитивный
Единый индекс	15 16 17

Сеть

, Усеченный по битам тессеракт усеченный по битам 16-ячеечный или тессерактигексадекашорон создается с помощью операции усечения битов, примененной к тессеракту . Его также можно назвать рунцикантическим тессерактом с половиной вершин ранцикантеллированного тессеракта с строительство.

Альтернативные названия

• Битусеченный тессеракт/Рунсикантический тессеракт ( Норман В. Джонсон )
• Тессерактигексадекашорон (аббревиатура тах) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс)

Строительство

Тессеракт усекается побитно путем усечения его ячеек за пределами их средних точек, превращая восемь кубов в восемь усеченных октаэдров . У них по-прежнему общие квадратные грани, но шестиугольные грани образуют усеченные тетраэдры, которые имеют общие треугольные грани друг с другом.

Декартовы координаты вершин усеченного тессеракта с длиной ребра 2 задаются всеми перестановками:

$\left(0,\ \pm {\sqrt {2}},\ \pm 2{\sqrt {2}},\ \pm 2{\sqrt {2}}\right)$

Структура

Усеченные октаэдры соединены друг с другом квадратными гранями, а с усеченными тетраэдрами — шестиугольными гранями. Усеченные тетраэдры соединены друг с другом треугольными гранями.

Прогнозы

орфографические проекции

Самолет Коксетера	Б 4	Б 3 / Д 4 / А 2	Б2 / Д3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Коксетера	FF4	AА3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Стереографические проекции

Проекция усеченного октаэдра битусеченного тессеракта в трехмерное пространство имеет усеченную кубическую оболочку. Две из усеченных октаэдрических ячеек выступают на усеченный октаэдр, вписанный в эту оболочку, причем квадратные грани касаются центров октаэдрических граней. 6 октаэдрических граней являются изображениями остальных 6 усеченных октаэдрических ячеек. Оставшийся зазор между вписанным усеченным октаэдром и оболочкой заполнен 8 уплощенными усеченными тетраэдрами, каждый из которых является образом пары усеченных тетраэдрических ячеек.

Стереографические проекции

Прозрачный цвет с розовыми треугольниками, синими квадратами и серыми шестиугольниками.

Связанные многогранники

Битусеченный является вторым тессеракт в последовательности битусеченных гиперкубов :

Битусеченные гиперкубы

Изображение							...
Имя	Битусеченный куб	Усеченный тессеракт	Битусеченный 5-куб	Битусеченный 6-куб	Битусеченный 7-куб	Битусеченный 8-куб
Коксетер
Вершинная фигура	( )v{ }	{ }v{ }	{ }v{3}	{ }v{3,3}	{ }v{3,3,3}	{ }v{3,3,3,3}

Усеченный 16-клеточный

Усеченный 16-клеточный Кантический тессеракт
Диаграмма Шлегеля ( видны ячейки октаэдра )
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т{4,3,3} т{3,3 1,1 } ч 2 {4,3,3}
Диаграммы Кокстера	=
Клетки	24	8 3.3.3.3 16 3.6.6
Лица	96	64 {3} 32 {6}
Края	120
Вершины	48
Вершинная фигура	квадратная пирамида
Двойной	Гексакис тессеракт
Группы Кокстера	Б 4 [3,3,4], порядок 384 Д 4 [3 1,1,1 ], заказ 192
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	16 17 18

Усеченный 16-клеточный усеченный гексадекахорон , кантический тессеракт , ограниченный 24 ячейками : 8 правильными октаэдрами и 16 усеченными тетраэдрами . Он имеет половину вершин согнутого тессеракта с построением .

многогранником, но не путать с ним Он связан с 24-клеточным , который представляет собой правильный 4-многогранник , ограниченный 24 правильными октаэдрами.

Альтернативные названия

• Усеченный 16-клеточный/кантический тессеракт ( Норман В. Джонсон )
• Усеченный гексадекашорон (аббревиатура thex) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс)

Строительство

Усеченная 16-ячейка может быть построена из 16-ячейки путем усечения ее вершин на 1/3 длины ребра. В результате получается 16 усеченных тетраэдрических ячеек и вводятся 8 октаэдров (вершинные фигуры).

(Усечение 16-ячейки на 1/2 длины ребра приводит к получению 24-ячейки , которая имеет большую степень симметрии, поскольку усеченные ячейки становятся идентичными фигурам вершин.)

Декартовы координаты вершин усеченной 16-ячейки с длиной ребра √2 задаются всеми перестановками, а комбинации знаков

(0,0,1,2)

Альтернативная конструкция начинается с демитессеракта с координатами вершин (±3,±3,±3,±3), имеющим четное количество каждого знака, и усекает его, чтобы получить перестановки

(1,1,3,3), с четным количеством каждого знака.

Структура

Усеченные тетраэдры соединены друг с другом шестиугольными гранями. Октаэдры соединены с усеченными тетраэдрами треугольными гранями.

Прогнозы

В центре октаэдра

Параллельная проекция октаэдра в трех измерениях с выделенными октаэдрическими ячейками.

Параллельная проекция усеченных 16 ячеек в трехмерное пространство с началом октаэдра имеет следующую структуру:

• Огибающая проекции представляет собой усеченный октаэдр .
• Шесть квадратных граней конверта представляют собой изображения шести октаэдрических ячеек.
• В центре оболочки лежит октаэдр, соединенный с центром шести квадратных граней шестью ребрами. Это изображение двух других октаэдрических ячеек.
• Оставшееся пространство между оболочкой и центральным октаэдром заполнено 8 усеченными тетраэдрами (искаженными проекцией). Это изображения 16 усеченных тетраэдрических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.

Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней в проекции усеченного октаэдра в 2-мерное пространство. Следовательно, усеченный 16-ячеечный можно рассматривать как 4-мерный аналог усеченного октаэдра.

В центре усеченного тетраэдра

Проекция усеченной 16-ячеечной ячейки в трех измерениях с центром в усеченной тетраэдрической ячейке, с удаленными скрытыми ячейками

Усеченный тетраэдр – первая параллельная проекция усеченной 16-ячейки в трехмерное пространство имеет следующую структуру:

• Огибающая проекции представляет собой усеченный куб .
• Ближайший к 4D-точке обзора усеченный тетраэдр выступает в центр оболочки, его треугольные грани соединены с 4 октаэдрическими объемами, которые соединяют его с 4 треугольными гранями оболочки.
• Оставшееся пространство в конверте заполнено четырьмя другими усеченными тетраэдрами.
• Эти объемы представляют собой изображения клеток, лежащих на ближней стороне усеченной 16-клетки; остальные ячейки проецируются на ту же компоновку, за исключением двойной конфигурации.
• Шесть восьмиугольных граней проекционной оболочки являются изображениями остальных 6 усеченных тетраэдрических ячеек.

Изображения

орфографические проекции

Самолет Коксетера	Б 4	Б 3 / Д 4 / А 2	Б2 / Д3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Коксетера	FF4	AА3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Сеть	Стереографическая проекция (в центре усеченного тетраэдра )

Связанные многогранники

Усеченная 16-ячейка, как кантический 4-куб, относится к размерному семейству кантических n-кубов:

Размерное семейство кантических n-кубов

н	3	4	5	6	7	8
Симметрия [1 + ,4,3 n-2 ]	[1 + ,4,3] = [3,3]	[1 + ,4,3 2 ] = [3,3 1,1 ]	[1 + ,4,3 3 ] = [3,3 2,1 ]	[1 + ,4,3 4 ] = [3,3 3,1 ]	[1 + ,4,3 5 ] = [3,3 4,1 ]	[1 + ,4,3 6 ] = [3,3 5,1 ]
Кантик фигура
Коксетер	=	=	=	=	=	=
Шлефли	ч 2 {4,3}	ч 2 {4,3 2 }	ч 2 {4,3 3 }	ч 2 {4,3 4 }	ч 2 {4,3 5 }	ч 2 {4,3 6 }

Связанные однородные многогранники

Связанные однородные многогранники в симметрии демитессеракта

показывать Д 4 равномерная полихора
{3,31,1} h{4,3,3}	2r{3,31,1} h3{4,3,3}	t{3,31,1} h2{4,3,3}	2t{3,31,1} h2,3{4,3,3}	r{3,31,1} {31,1,1}={3,4,3}	rr{3,31,1} r{31,1,1}=r{3,4,3}	tr{3,31,1} t{31,1,1}=t{3,4,3}	sr{3,31,1} s{31,1,1}=s{3,4,3}

Связанные однородные многогранники в симметрии тессеракта

показывать Многогранники симметрии B4
Name	tesseract	rectified tesseract	truncated tesseract	cantellated tesseract	runcinated tesseract	bitruncated tesseract	cantitruncated tesseract	runcitruncated tesseract	omnitruncated tesseract
Coxeter diagram		=				=
Schläfli symbol	{4,3,3}	t1{4,3,3} r{4,3,3}	t0,1{4,3,3} t{4,3,3}	t0,2{4,3,3} rr{4,3,3}	t0,3{4,3,3}	t1,2{4,3,3} 2t{4,3,3}	t0,1,2{4,3,3} tr{4,3,3}	t0,1,3{4,3,3}	t0,1,2,3{4,3,3}
Schlegel diagram
B4
Name	16-cell	rectified 16-cell	truncated 16-cell	cantellated 16-cell	runcinated 16-cell	bitruncated 16-cell	cantitruncated 16-cell	runcitruncated 16-cell	omnitruncated 16-cell
Coxeter diagram	=	=	=	=		=	=
Schläfli symbol	{3,3,4}	t1{3,3,4} r{3,3,4}	t0,1{3,3,4} t{3,3,4}	t0,2{3,3,4} rr{3,3,4}	t0,3{3,3,4}	t1,2{3,3,4} 2t{3,3,4}	t0,1,2{3,3,4} tr{3,3,4}	t0,1,3{3,3,4}	t0,1,2,3{3,3,4}
Schlegel diagram
B4

Ссылки

• Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
• ХСМ Коксетер :
  • Коксетер, Правильные многогранники (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN   0-486-61480-8 , с. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973, с. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 )
• Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
• 2. Выпуклая равномерная полихора на основе тессеракта (8-клеточного) и гексадекахорона (16-клеточного) — Модели 13, 16, 17 , Георгий Ольшевский.
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора)» . о3о3о4о - тат, о3х3х4о - тах, х3х3о4о - тех

Внешние ссылки

• Бумажная модель усеченного тессеракта, созданная с использованием сетей, созданных Stella4D. программой