Кантеллированный тессеракт

Четыре кантелляции
Ортогональные проекции в _{A 4} плоскости Кокстера
тессеракт	Кантеллированный тессеракт	Согнутый 16-клеточный ( Выпрямленный 24-клеточный )
16-ячеечный	Кантитусеченный тессеракт	Кантиусеченный 16-ячеечный ( Усеченное 24-ячеечное )

В четырехмерной геометрии согнутый тессеракт представляет собой выпуклый однородный 4-многогранник , являющийся кантелляцией (усечением 2-го порядка) правильного тессеракта .

Существует четыре степени кантелляции тессеракта, в том числе с перестановочными усечениями. Два из них также происходят из 24-клеточного семейства.

Кантеллированный тессеракт

Кантеллированный тессеракт
Диаграмма Шлегеля В центре ромбокубооктаэдра. показаны октаэдрические ячейки
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	рр{4,3,3} $r{\begin{Bmatrix}4\\3,3\end{Bmatrix}}$
Диаграмма Кокстера
Клетки	56	8 3.4.4.4 16 3.3.3.3 32 3.4.4
Лица	248	128 {3} 120 {4}
Края	288
Вершины	96
Вершинная фигура	Квадратный клин
Группа симметрии	B ₄ , [3,3,4], порядок 384
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	13 14 15

Кантеллярный тессеракт , двояковыпуклый 16-клеточный или малый ромбированный тессеракт — выпуклый однородный 4-многогранник или 4-мерный многогранник, ограниченный 56 ячейками : 8 малыми ромбокубооктаэдрами , 16 октаэдрами и 32 треугольными призмами .

Строительство

В процессе кантелляции 2-грани многогранника эффективно сжимаются. Ромбокубооктаэдр можно назвать согнутым кубом, поскольку, если его шесть граней сжать в соответствующих плоскостях, каждая вершина разделится на три вершины треугольников ромбокубооктаэдра, а каждое ребро разделится на два из противоположных ребер двенадцати не -осевые квадраты.

Если тот же процесс применить к тессеракту, каждый из восьми кубов описанным способом становится ромбокубооктаэдром. Кроме того, поскольку ребро каждого куба ранее было общим с двумя другими кубами, разделяющие ребра образуют три параллельных ребра треугольной призмы — 32 треугольные призмы, поскольку ребер было 32. Кроме того, поскольку каждая вершина ранее была общей с тремя другими кубами, вершина разделилась бы на 12, а не на три новых вершины. Однако, поскольку некоторые из сморщенных граней по-прежнему являются общими, определенные пары из этих 12 потенциальных вершин идентичны друг другу, и, следовательно, из каждой исходной вершины создается только 6 новых вершин (отсюда и 96 вершин усеченного тессеракта по сравнению с 16 вершинами тессеракта). ). Эти шесть новых вершин образуют вершины октаэдра — 16 октаэдров, поскольку в тессеракте было 16 вершин.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин согнутого тессеракта с длиной ребра 2 задаются всеми перестановками:

\left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)

Структура

8 маленьких ромбокубооктаэдрических ячеек соединены друг с другом осевыми квадратными гранями. Их неосевые квадратные грани, соответствующие ребрам куба, соединены с треугольными призмами. Треугольные грани малых ромбокубооктаэдров и треугольные призмы соединены с 16 октаэдрами.

Его структуру можно представить с помощью самого тессеракта: ромбокубооктаэдры аналогичны ячейкам тессеракта, треугольные призмы аналогичны ребрам тессеракта, а октаэдры аналогичны вершинам тессеракта.

Изображения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	Б ₄	Б ₃ / Д ₄ / А ₂	Б2 / _Д3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Коксетера	F_F4	A_А3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Каркас	Показаны 16 октаэдров .	Показаны 32 треугольные призмы .

Прогнозы

Ниже показано расположение ячеек зубчатого тессеракта в параллельной проекции в трехмерное пространство, сначала небольшой ромбокубооктаэдр:

Огибающая проекции представляет собой усеченный куб .
Ближайшие и самые дальние маленькие ромбокубооктаэдрические ячейки с точки зрения 4D проецируются на объем той же формы, вписанный в оболочку проекции.
Осевые квадраты этого центрального малого ромбокубооктаэдра соприкасаются с центрами шести восьмиугольников оболочки. Восьмиугольники — это изображения остальных шести маленьких ромбокубооктаэдрических ячеек.
12 клиновидных объемов, соединяющих неосевые квадратные грани центрального малого ромбокубооктаэдра с соседними восьмиугольниками, являются изображениями 24 треугольных призм.
Остальные 8 треугольных призм выступают на треугольные грани конверта.
Между треугольными гранями оболочки и треугольными гранями центрального малого ромбокубооктаэдра расположены 8 октаэдрических объемов, которые являются изображениями 16 октаэдрических ячеек.

Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней в проекции усеченного куба на 2 измерения. Следовательно, согнутый тессеракт можно рассматривать как аналог усеченного куба в четырех измерениях. (Это не единственный возможный аналог; еще одним близким кандидатом является усеченный тессеракт .)

Еще один однородный 4-многогранник с похожим расположением ячеек — это усеченный 16-клеточный .

Кантитусеченный тессеракт

Кантитусеченный тессеракт
Диаграмма Шлегеля сосредоточена на усеченного кубооктаэдра ячейке со скрытыми восьмиугольными гранями.
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	тр{4,3,3} $t{\begin{Bmatrix}4\\3,3\end{Bmatrix}}$
Диаграммы Кокстера
Клетки	56	8 4.6.8 16 3.6.6 32 3.4.4
Лица	248	64 {3} 96 {4} 64 {6} 24 {8}
Края	384
Вершины	192
Вершинная фигура	клиновидная
Группа симметрии	B ₄ , [3,3,4], порядок 384
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	17 18 19

В геометрии кантиусеченный тессеракт или большой ромбический тессеракт представляет собой однородный 4-мерный многогранник (или однородный 4-мерный многогранник ), ограниченный 56 ячейками : 8 усеченными кубооктаэдрами , 16 усеченными тетраэдрами и 32 треугольными призмами .

Строительство

Кантиусеченный тессеракт создается путем кантиусечения тессеракта .Кантитрусирование часто рассматривают как исправление, за которым следует усечение. Однако результатом этой конструкции будет многогранник, структура которого, хотя и будет очень похожа на структуру, полученную при кантитурке, не все его грани будут однородными.

Альтернативно, однородный усеченный тессеракт можно построить, разместив 8 однородных усеченных кубооктаэдров в гиперплоскостях ячеек тессеракта, смещенных вдоль осей координат так, чтобы их восьмиугольные грани совпадали. Для длины ребра, равной 2, эта конструкция дает декартовы координаты его вершин как все перестановки:

\left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)

Структура

8 усеченных кубооктаэдров соединены друг с другом восьмиугольными гранями, образуя расположение, соответствующее 8 кубическим ячейкам тессеракта. Они соединены с 16 усеченными тетраэдрами посредством своих шестиугольных граней, а их квадратные грани соединены с квадратными гранями 32 треугольных призм. Треугольные грани треугольных призм соединены с усеченными тетраэдрами.

Усеченные тетраэдры соответствуют вершинам тессеракта, а треугольные призмы соответствуют ребрам тессеракта.

Изображения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	Б ₄	Б ₃ / Д ₄ / А ₂	Б2 / _Д3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Коксетера	F_F4	A_А3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Стереографическая проекция кантиусеченного тессеракта в виде мозаики на трехмерной сфере с 64 синими треугольниками, 96 зелеными квадратами и 64 красными шестиугольными гранями (восьмиугольные грани не нарисованы).

Прогнозы

В первой параллельной трехмерной проекции усеченного кубооктаэдра ячейки кантиусеченного тессеракта располагаются следующим образом:

Огибающая проекции представляет собой неоднородный усеченный куб с более длинными ребрами между восьмиугольниками и более короткими ребрами в восьми треугольниках.
Неправильные восьмиугольные грани оболочки соответствуют изображениям 6 из 8 усеченных кубооктаэдрических ячеек.
Две другие усеченные кубооктаэдрические ячейки проецируются на усеченный кубооктаэдр, вписанный в оболочку проекции. Восьмиугольные грани касаются неправильных восьмиугольников конверта.
В пространствах, соответствующих ребрам куба, лежат 12 объемов в форме неправильных треугольных призм. Это изображения, по одному на пару, 24 ячеек треугольной призмы.
Остальные 8 треугольных призм выступают на треугольные грани проекционной оболочки.
Остальные 8 пространств, соответствующие углам куба, представляют собой изображения 16 усеченных тетраэдров, по паре на каждое пространство.

Такое расположение ячеек в проекции похоже на расположение зубчатых тессерактов.

Альтернативные названия

Кантиусеченный тессеракт ( Норман В. Джонсон )
Количественный усеченный 4-куб
Кантитусеченный 8-клеточный
Кантитусеченный октахорон
Большой призматотессерактигексадекашорон (Георгий Ольшевский)
Grit (Джонатан Бауэрс: за большой ромбовидный тессеракт)
012-амбо тессеракт ( Джон Конвей )

Связанные однородные многогранники

Многогранники симметрии B4
Name	tesseract	rectified tesseract	truncated tesseract	cantellated tesseract	runcinated tesseract	bitruncated tesseract	cantitruncated tesseract	runcitruncated tesseract	omnitruncated tesseract
Coxeter diagram		=				=
Schläfli symbol	{4,3,3}	t₁{4,3,3} r{4,3,3}	t_0,1{4,3,3} t{4,3,3}	t_0,2{4,3,3} rr{4,3,3}	t_0,3{4,3,3}	t_1,2{4,3,3} 2t{4,3,3}	t_0,1,2{4,3,3} tr{4,3,3}	t_0,1,3{4,3,3}	t_0,1,2,3{4,3,3}
Schlegel diagram
B₄

Name	16-cell	rectified 16-cell	truncated 16-cell	cantellated 16-cell	runcinated 16-cell	bitruncated 16-cell	cantitruncated 16-cell	runcitruncated 16-cell	omnitruncated 16-cell
Coxeter diagram	=	=	=	=		=	=
Schläfli symbol	{3,3,4}	t₁{3,3,4} r{3,3,4}	t_0,1{3,3,4} t{3,3,4}	t_0,2{3,3,4} rr{3,3,4}	t_0,3{3,3,4}	t_1,2{3,3,4} 2t{3,3,4}	t_0,1,2{3,3,4} tr{3,3,4}	t_0,1,3{3,3,4}	t_0,1,2,3{3,3,4}
Schlegel diagram
B₄

Это второй в серии скошенных гиперкубов:

полигонов Петри Проекции

Усеченный кубооктаэдр	Кантитусеченный тессеракт	Количественный усеченный 5-куб	Количественный усеченный 6-куб	Количественный усеченный 7-куб	Количественный усеченный 8-куб

Ссылки

Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
ХСМ Коксетер :
- Коксетер, Правильные многогранники (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 , с. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973, стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 )
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
2. Выпуклая равномерная полихора на основе тессеракта (8-клеточного) и гексадекахорона (16-клеточного) — Модель 14, 18 , Георгий Ольшевский.
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора)» . o3x3o4x - срит, o3x3x4x - зернистость
Бумажная модель кантиусеченного тессеракта, созданная с использованием сетей, созданных с помощью Stella4D. программного обеспечения

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.