Тессеракт
Тессеракт 8-ячеечный (4-куб.) | |
---|---|
Тип | Выпуклый правильный 4-многогранник |
Символ Шлефли | {4,3,3} t 0,3 {4,3,2} или {4,3}×{ } т 0,2 {4,2,4} или {4}×{4} t 0,2,3 {4,2,2} или {4}×{ }×{ } t 0,1,2,3 {2,2,2} или { }×{ }×{ }×{ } |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | 8 {4,3} |
Лица | 24 {4} |
Края | 32 |
Вершины | 16 |
Вершинная фигура | Тетраэдр |
Полигон Петри | восьмиугольник |
Группа Коксетера | Б 4 , [3,3,4] |
Двойной | 16-ячеечный |
Характеристики | выпуклый , изогональный , изотоксальный , изоэдральный , многогранник Ханнера |
Единый индекс | 10 |
В геометрии тессеракт — или 4-куб это четырёхмерный гиперкуб , аналог двумерного квадрата и трёхмерного куба . [1] Подобно тому, как периметр квадрата состоит из четырех ребер, а поверхность куба — из шести квадратных граней , гиперповерхность тессеракта состоит из восьми кубических ячеек , сходящихся под прямым углом . Тессеракт — один из шести выпуклых правильных 4-многогранников .
Тессеракт также называют 8-клеточным , C 8 , (правильным) октахороном или кубической призмой . Это четырехмерный многогранник меры , принятый за единицу гиперобъема. [2] Коксетер называет его многогранником γ 4 . [3] Термин «гиперкуб» без ссылки на измерение часто рассматривается как синоним этого конкретного многогранника .
Оксфордский словарь английского языка относит слово «тессеракт» к книге Чарльза Говарда Хинтона 1888 года «Новая эра мысли» . Этот термин происходит от греческого tessara ( τέσσαρα «четыре») и aktis ( ἀκτίς «луч»), обозначая четыре ребра, идущие от каждой вершины к другим вершинам. Хинтон первоначально написал это слово как тессаракт . [4]
Геометрия
[ редактировать ]Как правильный многогранник с тремя сложенными вместе вокруг каждого ребра кубами , он имеет символ Шлефли {4,3,3} с гипероктаэдрической симметрией порядка 384. Построенный как 4D- гиперпризма, состоящая из двух параллельных кубов, он может быть назван составным Шлефли. символ {4,3} × {} с порядком симметрии 96. Как дуопризма 4-4 , декартово произведение двух квадратов , его можно назвать составным символом Шлефли {4}×{4} с порядком симметрии 64. В качестве ортотопа его можно представить составным символом Шлефли { } × { } × { } × { } или { }. 4 , с порядком симметрии 16.
Поскольку к каждой вершине тессеракта примыкают четыре ребра, вершинная фигура тессеракта представляет собой правильный тетраэдр . Двойной многогранник тессеракта представляет собой 16-ячеечный символ Шлефли {3,3,4}, с которым его можно объединить, образуя соединение тессеракта и 16-ячеечного .
Все ребра правильного тессеракта имеют одинаковую длину. Это представляет интерес при использовании тессерактов в качестве основы топологии сети для соединения нескольких процессоров в параллельных вычислениях : расстояние между двумя узлами не превышает 4, и существует множество различных путей, позволяющих балансировать вес.
Тессеракт ограничен восемью трехмерными гиперплоскостями . Каждая пара непараллельных гиперплоскостей пересекается, образуя 24 квадратных грани. Три куба и три квадрата пересекаются по каждому ребру. В каждой вершине сходятся четыре куба, шесть квадратов и четыре ребра. Всего тессеракт состоит из 8 кубов, 24 квадратов, 32 ребер и 16 вершин.
Координаты
[ редактировать ]Единичный тессеракт имеет длину стороны 1 и обычно считается базовой единицей гиперобъема в 4-мерном пространстве. Единичный тессеракт в декартовой системе координат для 4-мерного пространства имеет две противоположные вершины с координатами [0, 0, 0, 0] и [1, 1, 1, 1] и другие вершины с координатами во всех возможных комбинациях 0. с и 1 с. Это декартово произведение замкнутого единичного интервала [0, 1] по каждой оси.
Иногда единичный тессеракт центрируется в начале координат, поэтому его координаты более симметричны. Это декартово произведение замкнутого интервала в каждой оси.
Другой обычно удобный тессеракт — это декартово произведение замкнутого интервала [−1, 1] по каждой оси с вершинами в координатах (±1, ±1, ±1, ±1) . Этот тессеракт имеет длину стороны 2 и гиперобъем 2. 4 = 16 .
Сеть
[ редактировать ]Развертка многогранника называется сетью . Существует 261 отдельная сеть тессеракта. [5] Развертки тессеракта можно подсчитать, сопоставив сети с парными деревьями ( дерево вместе с идеальным паросочетанием в его дополнении ).
Строительство
[ редактировать ]Построение гиперкубов можно представить следующим образом:
- Одномерное: две точки A и B могут быть соединены в линию, образуя новый отрезок AB.
- Двумерный: два параллельных отрезка AB и CD, разделенные расстоянием AB, можно соединить и образовать квадрат с углами, отмеченными как ABCD.
- Трехмерное изображение: два параллельных квадрата ABCD и EFGH, разделенные расстоянием AB, можно соединить в куб с углами, отмеченными как ABCDEFGH.
- 4-мерное: два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP, разделенные расстоянием AB, можно соединить, образуя тессеракт с углами, отмеченными как ABCDEFGHIJKLMNOP. Однако такое параллельное расположение двух кубов, при котором каждая из восьми соответствующих пар вершин находится на расстоянии AB, может быть достигнуто только в пространстве с четырьмя или более измерениями.
Восемь ячеек тессеракта можно рассматривать (три разных способа) как два переплетенных кольца из четырех кубов. [6]
Тессеракт можно разложить на меньшие 4-многогранники. Это выпуклая оболочка соединения двух полутессерактов ( 16-клеток ). Его также можно триангулировать в 4-мерные симплексы ( неправильные 5-ячейки ), которые имеют общие вершины с тессерактом. Известно, что 92 487 256. таких триангуляций [7] и что наименьшее количество 4-мерных симплексов в любом из них равно 16. [8]
Разложение тессеракта на экземпляры его характерного симплекса (частная ортосхема с диаграммой Коксетера). ) — это самая простая возможная прямая конструкция тессеракта. Характеристическая 5-ячейка 4-куба является фундаментальной областью тессеракта определяющей группы симметрии , группы, которая порождает B 4 многогранники . Характерный симплекс тессеракта непосредственно порождает тессеракт посредством действий группы, отражаясь в собственных ограничивающих гранях ( зеркальных стенках ).
Радиальная равносторонняя симметрия
[ редактировать ]Радиус гиперсферы , описанной вокруг правильного многогранника, — это расстояние от центра многогранника до одной из вершин, а для тессеракта этот радиус равен длине его ребра; диаметр сферы, длина диагонали между противоположными вершинами тессеракта, в два раза превышает длину ребра. Лишь немногие однородные многогранники обладают этим свойством, включая четырехмерный тессеракт и 24-клеточный , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . В частности, тессеракт — единственный гиперкуб (кроме нульмерной точки), который является радиально равносторонним . Самая длинная диагональ между вершинами -мерный гиперкуб с единичной длиной ребра равен что для квадрата потому что куб и только для тессеракта длины ребер.
Тессеракт, ориентированный по оси, вписанный в трехмерную сферу единичного радиуса, имеет вершины с координатами.
Характеристики
[ редактировать ]Для тессеракта с длиной стороны s :
- Гиперобъем (4D):
- Поверхностный «объем» (3D):
- Диагональ лица :
- Диагональ ячейки :
- 4-мерная диагональ:
В качестве конфигурации
[ редактировать ]Эта матрица конфигурации представляет собой тессеракт. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всем тессеракте. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. [9] Например, цифра 2 в первом столбце второй строки указывает на то, что на каждом ребре (т. е. на крайних точках) имеется по две вершины; цифра 4 во втором столбце первой строки означает, что в каждой вершине сходятся 4 ребра.
Прогнозы
[ редактировать ]Тессеракты можно проецировать в трехмерное и двумерное пространство аналогично проектированию куба в двумерное пространство.
Параллельная ячейку . проекция тессеракта на в трехмерное пространство имеет кубическую оболочку Ближайшая и самая дальняя ячейки проецируются на куб, а оставшиеся шесть ячеек проецируются на шесть квадратных граней куба.
Параллельная проекция тессеракта лицевой стороной вперед в трехмерное пространство имеет кубовидную оболочку. Две пары ячеек выступают на верхнюю и нижнюю половины этой оболочки, а четыре оставшиеся ячейки выступают на боковые грани.
Параллельная параллельная с края, проекция тессеракта в трехмерное пространство, имеет оболочку в форме шестиугольной призмы . Шесть ячеек проецируются на ромбические призмы, которые расположены в шестиугольной призме аналогично тому, как грани трехмерного куба проецируются на шесть ромбов в шестиугольной оболочке при проекции «сначала вершина». Две оставшиеся ячейки выступают на основания призм.
имеет параллельная сначала вершине, Параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство, ромбическую додекаэдрическую оболочку. Две вершины тессеракта проецируются в начало координат. Существует ровно два способа разрезать ромбдодекаэдр на четыре конгруэнтных ромбоэдра , что дает в общей сложности восемь возможных ромбоэдров, каждый из которых представляет собой проецируемый куб тессеракта. Эта проекция также имеет максимальный объем. Одним набором векторов проекции являются u = (1,1,−1,−1) , v = (−1,1,−1,1) , w = (1,−1,−1,1) .
Самолет Коксетера | Б 4 | Б 4 --> А 3 | AА3 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [8] | [4] | [4] |
Самолет Коксетера | Другой | Б 3 / Д 4 / А 2 | Б2 / Д3 |
График | |||
Двугранная симметрия | [2] | [6] | [4] |
Трехмерная проекция тессеракта, выполняющая простое вращение вокруг плоскости в четырехмерном пространстве. Плоскость делит фигуру пополам спереди слева, сзади справа и сверху вниз. | Трехмерная проекция тессеракта, совершающая двойное вращение вокруг двух ортогональных плоскостей в четырехмерном пространстве. |
Перспектива с устранением скрытого объема . Красный угол является ближайшим в 4D , вокруг него встречаются 4 кубические ячейки. |
Тетраэдр . образует выпуклую оболочку центральной проекции тессеракта, центрированной по вершинам Показаны четыре из 8 кубических ячеек. 16-я вершина проецируется на бесконечность и четыре ребра к ней не показаны. | Стереографическая проекция (Ребра проецируются на 3-сферу ) |
Стереоскопическая 3D-проекция тессеракта (параллельный вид) |
Стереоскопический 3D обезвреженный гиперкуб |
Тесселяция
[ редактировать ]Тессеракт, как и все гиперкубы , замощает евклидово пространство . Самодвойственная тессерактическая сота, состоящая из 4 тессерактов вокруг каждой грани, имеет Шлефли символ {4,3,3,4} . Следовательно, тессеракт имеет двугранный угол 90°. [10]
тессеракта Радиальная равносторонняя симметрия делает его мозаику уникальной регулярной объемноцентрированной кубической решеткой из сфер одинакового размера в любом количестве измерений.
Связанные многогранники и соты
[ редактировать ]Тессеракт является четвертым в серии гиперкубов :
Отрезок линии | Квадрат | Куб | 4-кубовый | 5-куб | 6-куб. | 7-куб | 8-кубовый |
Тессеракт (8-клеточный) является третьим в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности).
Правильные выпуклые 4-многогранники |
---|
Как однородная дуопризма , тессеракт существует в последовательности однородных дуопризм : { p }×{4}.
Правильный тессеракт, наряду с 16-клеточным , существует в наборе из 15 однородных 4-многогранников с одинаковой симметрией . Тессеракт {4,3,3} существует в последовательности правильных 4-многогранников и сот { p ,3,3} с тетраэдрическими вершинными фигурами , {3,3}. Тессеракт также представляет собой последовательность правильных 4-многогранников и сот {4,3, p } с кубическими ячейками .
Ортогональный | Перспектива |
---|---|
4 {4} 2 , с 16 вершинами и 8 4-ребрами, причем 8 4-ребер показаны здесь как 4 красных и 4 синих квадрата |
Правильный комплексный многогранник 4 {4} 2 , , в имеет реальное представление в виде тессеракта или 4-4- дуопризмы в 4-мерном пространстве. 4 {4} 2 имеет 16 вершин и 8 4-ребер. Его симметрия равна 4 [4] 2 , порядок 32. Он также имеет конструкцию более низкой симметрии, , или 4 {}× 4 {}, с симметрией 4 [2] 4 , порядок 16. Это симметрия, если красные и синие 4-ребра считаются различными. [11]
В популярной культуре
[ редактировать ]С момента своего открытия четырехмерные гиперкубы стали популярной темой в искусстве, архитектуре и научной фантастике. Яркие примеры включают:
- « И он построил кривой дом » — научно-фантастический рассказ Роберта Хайнлайна 1940 года, в котором показано здание в форме четырехмерного гиперкуба. [12] Эта книга, а также книга Мартина Гарднера «Несторонний профессор», опубликованная в 1946 году, являются одними из первых произведений научной фантастики, знакомящих читателей с лентой Мебиуса , бутылкой Клейна и гиперкубом (тессерактом).
- Распятие (Corpus Hypercubus) , картина маслом Сальвадора Дали 1954 года, изображающая четырехмерный гиперкуб, развернутый в трехмерный латинский крест . [13]
- Большая Арка , памятник и здание недалеко от Парижа, Франция, завершенное в 1989 году. По словам инженера памятника Эрика Райтцеля , Большая Арка была спроектирована так, чтобы напоминать проекцию гиперкуба. [14]
- Fez , видеоигра, в которой вы играете за персонажа, который может видеть за пределами двух измерений, которые видят другие персонажи, и должен использовать эту способность для решения платформерных головоломок. Включает «Точку», тессеракт, который помогает игроку ориентироваться в мире и рассказывает, как использовать способности, что соответствует теме видения за пределами человеческого восприятия известного многомерного пространства. [15]
Слово «тессеракт» использовалось во многих других целях в популярной культуре, в том числе в качестве сюжета в произведениях научной фантастики, часто практически не связанных с четырехмерным гиперкубом; см. Тессеракт (значения) .
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ «Тессеракт — четырехмерный куб» . www.cut-the-knot.org . Проверено 9 ноября 2020 г.
- ^ Эльте, ЭЛ (1912). Полуправильные многогранники гиперпространств . Гронинген: Гронингенский университет. ISBN 1-4181-7968-Х .
- ^ Коксетер 1973 , стр. 122–123, §7.2. иллюстрация Рис. 7.2 C .
- ^ «тессеракт» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . 199669. (Требуется подписка или членство в участвующей организации .)
- ^ «Разворачивание 8-клетки» . Unfolding.apperceptual.com . Проверено 21 января 2018 г.
- ^ Коксетер 1970 , с. 18.
- ^ Пурнен, Лайонел (2013), «Флип-граф четырехмерного куба связен», Discrete & Computational Geometry , 49 (3): 511–530, arXiv : 1201.6543 , doi : 10.1007/s00454-013-9488- y , MR 3038527 , S2CID 30946324
- ^ Коттл, Ричард В. (1982), «Минимальная триангуляция 4-куба», Discrete Mathematics , 40 : 25–29, doi : 10.1016/0012-365X(82)90185-6 , MR 0676709
- ^ Коксетер 1973 , с. 12, §1.8 Конфигурации.
- ^ Коксетер 1973 , с. 293.
- ^ Коксетер, HSM, Правильные комплексные многогранники , второе издание, Cambridge University Press, (1991).
- ^ Фаулер, Дэвид (2010), «Математика в научной фантастике: математика как научная фантастика», World Literature Today , 84 (3): 48–52, doi : 10.1353/wlt.2010.0188 , JSTOR 27871086 , S2CID 115769478
- ^ Кемп, Мартин (1 января 1998 г.), «Измерения Дали», Nature , 391 (27): 27, Бибкод : 1998Natur.391...27K , doi : 10.1038/34063 , S2CID 5317132
- ^ Урсин, Анна (2016), «Визуализация знаний и визуальная грамотность в естественнонаучном образовании» , Визуализация знаний и визуальная грамотность в естественнонаучном образовании , Справочник по информатике, стр. 91, ISBN 9781522504818
- ^ «Точка (Персонаж) — Гигантская Бомба» . Гигантская бомба . Проверено 21 января 2018 г.
Ссылки
[ редактировать ]- Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. стр. 122–123 .
- Ф. Артур Шерк, Питер МакМаллен, Энтони К. Томпсон, Азия Ивик Вайс (1995) Калейдоскопы: избранные сочинения HSM Coxeter , Wiley-Interscience Publication ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , Mathematical Journal 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
- Коксетер, HSM (1970), «Витые соты», Совет конференции серии региональных конференций математических наук по математике , 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
- Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 n1 )
- Т. Госсет (1900) О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан.
- Холл, Т. Проктор (1893). «Проекция четверной фигуры на трехмерную». Американский журнал математики . 15 : 179–189. JSTOR 2369565 .
- Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
- Виктор Шлегель (1886) О проекционных моделях правильных четырехмерных тел , Варен.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) x4o3o3o - tes» .
- Домашняя страница Кена Перлина «Способ визуализации гиперкубов», Кен Перлин
- «Некоторые заметки о четвертом измерении» по нескольким различным аспектам тессеракта. включают анимированные уроки Давида П. Червоне
- Анимация Тессеракта с устранением скрытого объема